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2011年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选的不给分．
1．（3分）﹣5的相反数是（　　）
A．5 B． C．﹣5 D．
2．（3分）计算a2•a3，正确的结果是（　　）
A．2a6 B．2a5 C．a6 D．a5
3．（3分）根据全国第六次人口普查统计，湖州市常住人口约为2890000人，近似数2890000用科学记数法可表示为（　　）
A．2.89×104 B．2.89×105 C．2.89×106 D．2.89×107
4．（3分）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，则tanA的值为（　　）

A．2 B． C． D．
5．（3分）数据1，2，3，4，5的平均数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）下列事件中，必然事件是（　　）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．a是实数，|a|≥0
C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米
D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品
7．（3分）下列图形中，经过折叠不能围成一个立方体的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC＝OB，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转，使得OA与OC重合，得到△OCD，则旋转的角度是（　　）

A．150° B．120° C．90° D．60°
9．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，BC＝OB，CE是⊙O的切线，切点为D，过点A作AE⊥CE，垂足为E，则CD：DE的值是（　　）

A． B．1 C．2 D．3
10．（3分）如图，已知A、B是反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的两点，BC∥x轴，交y轴于点C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形OMPN的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）当x＝2时，分式的值是　 　．
12．（4分）如图：CD平分∠ACB，DE∥AC且∠1＝30°，则∠2＝　 　°．

13．（4分）某校对初三（2）班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况进行了统计，结果如下表，
得 分
10分
9分
8分
7分
6分以下
人数（人）
20
12
5
2
1
根据表中数据，若随机抽取该班的一名学生，则该学生“立定跳远”得分恰好是10分的概率是　 　．
14．（4分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△BOC的面积之比为1：9，若AD＝1，则BC的长是　 　．

15．（4分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是　 　．

16．（4分）如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片　 　张才能用它们拼成一个新的正方形．

三、解答题（本题共有8小题，共66分）
17．（6分）计算：|﹣2|﹣2sin30°++．
18．（6分）因式分解：a3﹣9a．
19．（6分）已知：一次函数y＝kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点．
（1）求k、b的值；
（2）若一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点为A（a，0），求a的值．
20．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2．
（1）求OE和CD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．

21．（8分）班主任张老师为了了解学生课堂发言情况，对前一天本班男、女生发言次数进行了统计，并绘制成如下频数分布折线图（图1）．

（1）请根据图1，回答下列问题：
①这个班共有　 　名学生，发言次数是5次的男生有　 　人、女生有　 　人；
②男、女生发言次数的中位数分别是　 　次和　 　次；
（2）通过张老师的鼓励，第二天的发言次数比前一天明显增加，全班发言次数变化的人数的扇形统计图如图2所示，求第二天发言次数增加3次的学生人数和全班增加的发言总次数．
22．（10分）如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．

23．（10分）我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘，分别养殖甲鱼和桂鱼，有关成本、销售情况如下表：
养殖种类
成本（万元/亩）
销售额（万元/亩）
甲鱼
2.4
3
桂鱼
2
2.5
（1）2010年，王大爷养殖甲鱼20亩，桂鱼10亩，求王大爷这一年共收益多少万元？（收益＝销售额﹣成本）
（2）2011年，王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼，计划投入成本不超过70万元．若每亩养殖的成本、销售额与2010年相同，要获得最大收益，他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩？
（3）已知甲鱼每亩需要饲料500kg，桂鱼每亩需要饲料700kg，根据（2）中的养殖亩数，为了节约运输成本，实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍，结果运输养殖所需要全部饲料比原计划减少了2次，求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少千克？
24．（12分）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；
（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）

2011年浙江省湖州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选的不给分．
1．【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
【解答】解：﹣5的相反数是5．
故选：A．
【点评】本题主要考查相反数的概念和意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
2．【分析】根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加．
【解答】解：a2•a3＝a2+3＝a5．
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，理清指数的变化是解题的关键．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将2890000用科学记数法表示为2.89×106．
故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴tanA＝＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
5．【分析】根据平均数求法所有数据的和除以总个数即可，直接求出即可．
【解答】解：（1+2+3+4+5）÷5＝3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平均数的求法，此题比较简单注意认真计算即可得出答案．
6．【分析】一定会发生的事情称为必然事件．依据定义即可解答．
【解答】解：A、是随机事件，故不符合题意，
B、是必然事件，符合题意，
C、是不可能事件，故不符合题意，
D、是随机事件，故不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了必然事件为一定会发生的事件，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养，难度适中．
7．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：选项A、B、C经过折叠均能围成正方体；
D、有“田”字格，不能折成正方体．
故选：D．
【点评】本题主要考查展开图折叠成几何体的知识点，注意只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
8．【分析】∠AOC就是旋转角，根据等边三角形的性质，即可求解．
【解答】解：旋转角∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝60°+90°＝150°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，正确理解旋转角是解题的关键．
9．【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，可证得△COD∽△CAE，则＝＝＝，从而得出CD：DE的值．
【解答】解：如图，连接OD，
∵AB是⊙O的直径，BC＝OB，
∴OA＝OB＝BC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OD⊥CE，
∵AE⊥CE，
∴OD∥AE，
∴△COD∽△CAE，
∴＝＝，
∴＝2．
故选：C．

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
10．【分析】通过两段的判断即可得出答案，①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积不变，可以排除B、D；②点P在BC上运动时，S减小，S与t的关系为一次函数，从而排除C．
【解答】解：①点P在AB上运动时，此时四边形OMPN的面积S＝K，保持不变，故排除B、D；
②点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为a，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣at），因为l，OC，a均是常数，
所以S与t成一次函数关系．故排除C．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答此类题目并不需要求出函数解析式，只要判断出函数的增减性，或者函数的性质即可，注意排除法的运用．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．【分析】将x＝2代入分式，即可求得分式的值．
【解答】解：当x＝2时，
原式＝＝1．
故答案为：1．
【点评】本题是一个基础题，考查了分式的值，要熟练掌握．
12．【分析】已知CD平分∠ACB，∠ACB＝2∠1；DE∥AC，可推出∠ACB＝∠2，易得：∠2＝2∠1，由此求得∠2＝60°．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠1；
∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠2；
又∵∠1＝30°，
∴∠2＝60°．
故答案为：60．
【点评】本题应用的知识点为两直线平行，同位角相等；角平分线的定义．
13．【分析】先求出该班人数，再根据概率公式即可求出“立定跳远”得分恰好是10分的概率．
【解答】解：由表可知，共有学生20+12+5+2+1＝40人；
“立定跳远”得分恰好是10分的概率是＝．
故答案为：．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．【分析】根据AD∥BC，求证△AOD∽△BOC，再利用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∵△AOD与△BOC的面积之比为1：9，
∴＝，
∵AD＝1，
∴BC＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用相似三角形面积的比等于相似比的平方．
15．【分析】把（0，﹣3）代入抛物线的解析式求出c的值，在（1，0）和（3，0）之间取一个点，分别把x＝1和x＝3它的坐标代入解析式即可得出不等式组，求出答案即可．
【解答】解：把（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：c＝﹣3，
∴y＝x2+bx﹣3，
∵使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，
∴把x＝1代入y＝x2+bx﹣3得：y＝1+b﹣3＜0
把x＝3代入y＝x2+bx﹣3得：y＝9+3b﹣3＞0，
∴﹣2＜b＜2，
即在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数都符合，
故答案为：1（在﹣2＜b＜2范围内的任何一个数）．
【点评】本题主要考查对抛物线与x轴的交点的理解和掌握，能理解抛物线与x轴的交点的坐标特点是解此题的关键．
16．【分析】根据构成的新正方形的面积一定是一个完全平方数，根据三张纸片的面积即可确定．
【解答】解：甲类纸片1张，乙类纸片4张，总面积是4+4＝8，大于8的完全平方数依次是9，16，25…，而丙的面积是2，因而不可能是9；
当总面积是16时，取的丙纸片的总面积是8，因而是4张．
因而应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确理解新正方形的面积是完全平方数是解题的关键．
三、解答题（本题共有8小题，共66分）
17．【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简以及绝对值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式＝，
＝4．
【点评】此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，需熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．【分析】首先提公因式a，然后即可利用平方差公式进行分解．
【解答】解：原式＝a（a2﹣9）（3分）
＝a（a+3）（a﹣3）．（3分）
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
19．【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据图象与函数坐标轴交点坐标求法得出a的值．
【解答】解：（1）由题意得，
解得．
∴k，b的值分别是1和2；

（2）将k＝1，b＝2代入y＝kx+b中得y＝x+2．
∵点A（a，0）在 y＝x+2的图象上，
∴0＝a+2，
即a＝﹣2．
【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与坐标轴交点求法，此题比较典型应熟练掌握．
20．【分析】（1）在△OCE中，利用三角函数即可求得CE，OE的长，再根据垂径定理即可求得CD的长；
（2）根据半圆的面积减去△ABC的面积，即可求解．
【解答】解：（1）在△OCE中，
∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，
∴OE＝OC＝1，
∴CE＝OC＝，
∵OA⊥CD，
∴CE＝DE，
∴CD＝；

（2）∵S△ABC＝AB•EC＝×4×＝2，
∴．
【点评】本题主要考查了垂径定理以及三角函数，一些不规则的图形的面积可以转化为规则图形的面积的和或差求解．
21．【分析】（1）①男、女生人数相加即可得到全班人数，在折线统计图中分别找到发言次数是5次的男生、女生人数；
②中位数是一组数据重新排序后之间的一个数或之间两个数的平均数，由此即可求解男、女生发言次数的中位数．
（2）先求出发言次数增加3次的学生人数的百分比，乘以全班人数，可得第二天发言次数增加3次的学生人数；分别求出发言次数增加的次数，相加即可．
【解答】解：（1）①（2+1+6+4+2+3+2）+（1+2+3+2+5+4+3）＝20+20＝40名；
发言次数是5次的男生有2人、女生有5人；
②∵按从小到大排序后，男生第10个，11个都是4；女生第10个，11个都是5．
∴男、女生发言次数的中位数分别是4；5；

（2）发言次数增加3次的学生人数为：40×（1﹣20%﹣30%﹣40%）＝4（人）
全班增加的发言总次数为：
40%×40×1+30%×40×2+4×3，
＝16+24+12，
＝52次．
【点评】本题考查的是扇形统计图和折线统计图的综合运用和掌握中位数的定义．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE＝DF，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已知先证明AE＝BE，即BE＝AE＝CE，从而求出BE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC，
∴AF∥EC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形．

（2）解：∵四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝90°﹣∠2，∠4＝90°﹣∠1，
∴∠3＝∠4，
∴AE＝BE，
∴BE＝AE＝CE＝BC＝5．

【点评】此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质及菱形的性质，解题的关键是运用平行四边形的性质和菱形的性质推出结论．
23．【分析】（1）根据已知列算式求解；
（2）先设养殖甲鱼x亩，则养殖桂鱼（30﹣x）亩列不等式，求出x的取值，再表示出王大爷可获得收益y万元函数关系式，求最大值；
（3）设大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a（kg），结合（2）列分式方程求解．
【解答】解：（1）2010年王大爷的收益为：
20×（3﹣2.4）+10×（2.5﹣2）
＝17（万元），
答：王大爷这一年共收益17万元．

（2）设养殖甲鱼x亩，则养殖桂鱼（30﹣x）亩，
由题意得2.4x+2（30﹣x）≤70
解得x≤25，
又设王大爷可获得收益为y万元，
则y＝0.6x+0.5（30﹣x），
即y＝x+15．
∵函数值y随x的增大而增大，
∴当x＝25时，可获得最大收益．
答：要获得最大收益，应养殖甲鱼25亩，桂鱼5亩．

（3）设大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a（kg），
由（2）得，共需要饲料为500×25+700×5＝16000（kg），
根据题意得﹣＝2，
解得a＝4000，
把a＝4000代入原方程公分母得，2a＝2×4000＝8000≠0，
故a＝4000是原方程的解．
答：王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料4000kg．
【点评】此题考查的知识点是一次函数的应用，分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是列不等式求x的取值范围，再表示出函数关系求最大值，再列分式方程求解．
24．【分析】（1）证明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可证明DB＝2﹣m，AD＝4﹣m，从而求解；
（2）分AP＝AD，PD＝PA，PD＝DA三种情况，根据勾股定理即可求解；
（3）运动时，路线长不变，可以取当P在O点时，求解即可．
【解答】解：（1）由题意得CM＝BM，
∵∠PMC＝∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB＝PC，
∴DB＝2﹣m，AD＝4﹣m，
∴点D的坐标为（2，4﹣m）．

（2）分三种情况
①若AP＝AD，则4+m2＝（4﹣m）2，解得；
②若PD＝PA
过P作PF⊥AB于点F（如图），
则AF＝FD＝AD＝（4﹣m）
又∵OP＝AF，
∴
则
③若PD＝DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM＝PD＝AD＝（4﹣m），
∵PC2+CM2＝PM2，
∴，
解得（舍去）．
综上所述，当△APD是等腰三角形时，m的值为或或．

（3）点H所经过的路径长为；
理由是：∵P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），
∴0≤m＜2，
当O与P重合时，P点才开始运动，过P、M、B三点的抛物线y＝﹣x2+3x，
此时ME的解析式为y＝﹣x+3，则∠MEO＝45°，
又∵OH⊥EM，
∴△OHE为等腰直角三角形，
∴点O、H、B三点共线，
∴点H所经过的路径以OM为直径的劣弧的长度，
∵∠COH＝45°，
∴H转过的圆心角为90°，
∵OM＝，
则弧长＝＝＝π．

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
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