2012年宁夏中考数学试题及答案.doc

2012年宁夏中考数学试卷（教师版）

一、选择题（下列每小题所给的四个答案中只有一个是正确的，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a2﹣a2＝3 B．（a2）3＝a5 C．a3•a6＝a9 D．（2a2）2＝4a2
【微点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【思路】根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方的性质进行计算．
【解析】解：A、应为3a2﹣a2＝2a2，故本选项错误；
B、应为（a2）3＝a2×3＝a6，故本选项错误；
C、a3•a6＝a3+6＝a9，正确；
D、应为（2a）2＝22a2+2＝4a4，故本选项错误．
故选：C．
【点拨】本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的性质，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．
2．（3分）根据人民网﹣宁夏频道2012年1月18日报道，2011年宁夏地区生产总值为2060亿元，比上年增长12%，增速高于全国平均水平，2060亿元保留两个有效数字用科学记数法表示为（　　）
A．2.0×109元 B．2.1×103元 C．2.1×1010元 D．2.1×1011元
【微点】科学记数法与有效数字．
【思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点；有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解析】解：2060亿元＝206000000000元＝2.06×1011≈2.1×1011，
故选：D．
【点拨】本题考查学生对科学记数法的掌握和有效数字的运用．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
3．（3分）一个等腰三角形两边的长分别为4和9，那么这个三角形的周长是（　　）
A．13 B．17 C．22 D．17或22
【微点】三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【思路】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解析】解：①若4为腰长，9为底边长，
由于4+4＜9，则三角形不存在；
②9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为9+9+4＝22．
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
4．（3分）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【微点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【思路】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间＝16；上坡用的时间×上坡的速度+下坡用的时间×下坡速度＝1200，把相关数值代入即可求解．
【解析】解：可根据所用时间和所走的路程和得到相应的方程组为：
故选：B．
【点拨】考查用二元一次方程组解决行程问题；得到走不同路段所用时间及所走的路程之和的等量关系是解决本题的关键．解题的关键是统一单位．
5．（3分）如图，一根5m长的绳子，一端拴在互相垂直的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动），那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　　）

A．πm2 B．πm2 C．πm2 D．πm2
【微点】扇形面积的计算．
【思路】小羊A在草地上的最大活动区域是一个扇形+一个小扇形．
【解析】解：大扇形的圆心角是90度，半径是5，
所以面积m2；
小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°，半径是1m，
则面积（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积（m2）．
故选：D．

【点拨】本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可．
6．（3分）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝（　　）

A．30° B．45° C．60° D．67.5°
【微点】切线的性质．
【思路】根据图形利用切线的性质，得到∠COD＝45°，连接AC，∠ACO＝22.5°，所以∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．
【解析】解：如图，∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
又∵OC＝CD，
∴∠COD＝45°，
∵AO＝CO，
∴∠ACO＝22.5°，
∴∠PCA＝90°﹣22.5°＝67.5°．
故选：D．
【点拨】本题考查的是切线的性质，利用切线的性质得到OC⊥PD，然后进行计算求出∠PCA的度数．
7．（3分）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是（　　）

A．24.0 B．62.8 C．74.2 D．113.0
【微点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．
【思路】由题意可知，几何体是圆锥，根据公式直接求解即可．
【解析】解：几何体为圆锥，母线长为5，底面半径为4，
则侧面积为πrl＝π×4×5＝20π≈62.8，
故选：B．
【点拨】本题考查三视图求侧面积问题，考查空间想象能力，是基础题．首先判定该立体图形是圆锥是解决此题的关键．
8．（3分）运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【微点】由实际问题抽象出分式方程．
【思路】若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解．
【解析】解：设甲种雪糕的价格为x元，则
甲种雪糕的根数：；
乙种雪糕的根数：．
可得方程：20．
故选：B．
【点拨】考查了由实际问题抽象出分式方程，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）当a　≠﹣2　时，分式有意义．
【微点】分式有意义的条件．
【思路】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解析】解：根据题意得，a+2≠0，
解得a≠﹣2．
故答案为：≠﹣2．
【点拨】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
10．（3分）已知菱形的边长为6，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是　6　．
【微点】勾股定理；菱形的性质．
【思路】因为菱形的四条边都相等，所以AB＝AD，又因为∠A＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以BD＝6．
【解析】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6．
∴菱形较短的对角线长是6．
故答案为6．

【点拨】此题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等．
11．（3分）已知a，b为两个连续整数，且，则a+b＝　7　．
【微点】估算无理数的大小．
【思路】因为32＜13＜42，所以34，求得a、b的数值，进一步求得问题的答案即可．
【解析】解：∵32＜13＜42，
∴34，
即a＝3，b＝b，
所以a+b＝7．
故答案为：7．
【点拨】此题考查无理数的估算，利用平方估算出根号下的数值的取值，进一步得出无理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法．
12．（3分）点B（﹣3，4）关于y轴的对称点为A，则点A的坐标是　（3，4）　．
【微点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【思路】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解析】解：点B（﹣3，4）关于y轴的对称点为A（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点拨】解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
13．（3分）在△ABC中∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则tanA＝　　．
【微点】勾股定理；锐角三角函数的定义．
【思路】根据勾股定理求出AC的长度，再根据正切计算即可得解．
【解析】解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC3，
∴tanA．
故答案为：．

【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，作出图形更容易理解．
14．（3分）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB＝　70　度．

【微点】方向角．
【思路】先求出∠CAB及∠ABC的度数，再根据三角形内角和是180°即可进行解答．
【解析】解：连接AB．
∵C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏25°方向，
∴∠CAB+∠ABC＝180°﹣（45°+25°）＝110°，
∵三角形内角和是180°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝180°﹣110°＝70°．
故答案为：70．

【点拨】本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，根据题意得出∠CAB及∠ABC的度数是解答此题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠E∠EDA＝1：2，且AC＝10，则DE的长度是　　．

【微点】含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质．
【思路】根据∠E∠EDA＝1：2，可得∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，进而得出△OCD是等边三角形，再由AC＝10，求得DE．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD＝10，OA＝OCAC＝5，OB＝ODBD＝5，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠E∠EDA＝1：2，∠EDC+∠EDA＝90°，
∴∠EDC＝30°，∠EDA＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC＝90°，
∴∠DCE＝90°﹣∠EDC＝60°，
∴∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC＝180°，
∴∠COD＝60°，
∴△OCD是等边三角形，
DE＝sin60°•OD5，
故答案为．
【点拨】本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，根据已知得出三角形OCD是等边三角形是解题关键，此题难度不大．
16．（3分）如图，将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC＝3，，则BB1＝　1　．

【微点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；平移的性质．
【思路】过P作PD⊥B1C于D，根据等边三角形和平移性质得出∠PB1C＝∠C＝60°，求出△PCB1是等边三角形，设等边三角形PCB1的边长是2a，得出B1D＝CD＝a，由勾股定理求出PD，根据三角形的面积公式得出2aa，求出a即可．
【解析】解：过P作PD⊥B1C于D，
∵将等边△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，
∴∠PB1C＝∠C＝60°，
∴∠CPB1＝60°，
∴△PCB1是等边三角形，
设等边三角形PCB1的边长是2a，
则B1D＝CD＝a，
由勾股定理得：PDa，
∵，
∴2aa，
解得：a＝1，
∴B1C＝2，
∴BB1＝3﹣2＝1．
故答案为：1．

【点拨】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，解此题的关键是得出关于a的方程，题目比较典型，是一道比较好的题目．
三、解答题（共24分）
17．（6分）计算：．
【微点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【思路】根据零指数幂、负整数指数幂、特殊三角函数值和绝对值的运算法则求出各项的值，然后根据四则运算求出结果即可．
【解析】解：原式
＝6
【点拨】本题主要考查实数的运算的知识点，解答本题的关键是掌握零值数幂、负整数指数幂的运算法则，此题比较简单．
18．（6分）化简，求值：，其中x．
【微点】分式的化简求值．
【思路】将分子、分母因式分解，通分化简，再代值计算．
【解析】解：原式

当x时，
原式
【点拨】本题考查了分式的化简求值．关键是熟练掌握运算法则，先化简，再代值计算．
19．（6分）解不等式组：．
【微点】解一元一次不等式组．
【思路】分别解两个不等式，再求其公共部分即可．
【解析】解：解不等式，
由①得
x＜4，
由②得
x≤1，
∴原不等式组的解集是x≤1．
【点拨】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
20．（6分）某商场为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“30元”的字样．规定：顾客在本商场同一日内，每消费满200元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回），商场根据两小球所标金额的和返还相应价格的购物券，可以重新在本商场消费，某顾客刚好消费200元．
（1）该顾客至少可得到　10　元购物券，至多可得到　50　元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．
【微点】列表法与树状图法．
【思路】（1）如果摸到0元和10元的时候，得到的购物券是最少，一共10元．如果摸到20元和30元的时候，得到的购物券最多，一共是50元；
（2）列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
【解析】解：（1）10，50；

（2）解法一（树状图）：

从上图可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，
因此P（不低于30元）；
解法二（列表法）：
第二次
第一次
0
10
20
30
0
﹣﹣
10
20
30
10
10
﹣﹣
30
40
20
20
30
﹣﹣
50
30
30
40
50
﹣﹣
（以下过程同“解法一”）
【点拨】本题主要考查概率知识．解决本题的关键是弄清题意，满200元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
四、解答题（共48分）
21．（6分）商场对每个营业员在当月某种商品销售件数统计如下：

解答下列问题
（1）设营业员的月销售件数为x（单位：件），商场规定：当x＜15时为不称职；当15≤x＜20时为基本称职；当20≤x＜25为称职；当x≥25时为优秀．试求出优秀营业员人数所占百分比；
（2）根据（1）中规定，计算所有优秀和称职的营业员中月销售件数的中位数和众数；
（3）为了调动营业员的工作积极性，商场决定制定月销售件数奖励标准，凡达到或超过这个标准的营业员将受到奖励．如果要使得所有优秀和称职的营业员中至少有一半能获奖，你认为这个奖励标准应定为多少件合适？并简述其理由．
【微点】条形统计图；中位数；众数．
【思路】（1）首先求出总人数与优秀营业员人数，进而求出优秀营业员人数所占百分比，
（2）根据中位数、众数的意义解答即可．
（3）如果要使得称职和优秀这两个层次的所有营业员的半数左右能获奖，月销售额奖励标准可以定为称职和优秀这两个层次销售额的中位数，因为中位数以上的人数占总人数的一半左右．
【解析】解：（1）根据条形图可以得出：优秀营业员人数为3人，总人数为：30人，
则优秀营业员人数所占百分比：；

（2）∵所有优秀和称职的营业员为21人，最中间的是第11个数据，第11个数据22，
故中位数为：22，20出现次数最多，
∴所有优秀和称职的营业员中月销售件数的中位数22、众数20．

（3）奖励标准应定为22件．中位数是一个位置代表值，它处于这组数据的中间位置，
因此大于或等于中位数的数据至少有一半．所以奖励标准应定为22件．
【点拨】本题考查的是条形统计图的综合运用以及众数与中位数定义．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22．（6分）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．

【微点】等边三角形的判定与性质；垂径定理．
【思路】连接BD，根据平行线的性质可得：BD∥CF，则∠BDC＝∠C，根据圆周角定理可得∠BDC∠BOC，则∠C∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【解析】解：方法一：连接BD．
∵AB是⊙O直径，
∴BD⊥AD．
又∵CF⊥AD，
∴BD∥CF，
∴∠BDC＝∠C．
又∵∠BDC∠BOC，
∴∠C∠BOC．
∵AB⊥CD，
∴∠C＝30°，
∴∠ADC＝60°．
方法二：设∠D＝x，
∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A＝∠A，
∴△AFO∽△AED，
∴∠D＝∠AOF＝x，
∴∠AOC＝2∠ADC＝2x，
∴x+2x＝180，
∴x＝60，
∴∠ADC＝60°．解法三：连结AC，
∵直径AB⊥CD，
∴由垂径定理得AC＝AD，
∵CF过圆心O，且CF⊥AD，同理CD＝AD，
∴AC＝AD＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠D＝60°

【点拨】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，正确得到∠C∠BOC是解题的关键．
23．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．
（1）求证：EF＝FM；
（2）当AE＝1时，求EF的长．

【微点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质．
【思路】（1）由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；
（2）由第一问的全等得到AE＝CM＝1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF＝MF＝x，可得出BF＝BM﹣FM＝BM﹣EF＝4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．
【解析】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF；

（2）设EF＝MF＝x，
∵AE＝CM＝1，且BC＝3，
∴BM＝BC+CM＝3+1＝4，
∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝4﹣x，
∵EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝x2，
解得：x，
则EF．

【点拨】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
24．（8分）直线与反比例函数（x＞0）的图象交于点A，与坐标轴分别交于M、N两点，当AM＝MN时，求k的值．

【微点】反比例函数综合题．
【思路】过点A作AB⊥x轴，垂足为B，先求出M点的坐标得到OM；由AM＝MN，易得OM为△ABN的中位线，根据中位线的性质得到AB＝2MO＝2，得到A点的纵坐标为2，然后将y＝2代入中得x＝1，则A点坐标为（1，），然后把A（1，）代入y＝kx得到关于k的方程，再解方程即可．
【解析】解：如图，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．
对于直线y＝kx，
当x＝0时，y，即OM；
∵AM＝MN，OM∥AB，
∴OM为△ABN的中位线，
∴AB＝2MO＝2．
将y＝2代入中，得x＝1，
∴A点坐标为（1，）．
把A（1，）代入y＝kx中，
∴k，
∴k．

【点拨】本题考查了反比例函数综合题：点在函数图象上，则点的横纵坐标满足函数的解析式；三角形中位线的性质．
25．（10分）某超市销售一种新鲜“酸奶”，此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出．这种“酸奶”的保质期不超过一天，对当天未售出的“酸奶”必须全部做销毁处理．
（1）该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售．若设售出酸奶的瓶数为x（瓶），销售酸奶的利润为y（元），写出这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式．为确保超市在销售这20瓶酸奶时不亏本，当天至少应售出多少瓶？
（2）小明在社会调查活动中，了解到近10天当中，该超市每天购进酸奶20瓶的销售情况统计如下：
每天售出瓶数
17
18
19
20
频数
1
2
2
5
根据上表，求该超市这10天每天销售酸奶的利润的平均数；
（3）小明根据（2）中，10天酸奶的销售情况统计，计算得出在近10天当中，其实每天购进19瓶总获利要比每天购进20瓶总获利还多．你认为小明的说法有道理吗？试通过计算说明．
【微点】一次函数的应用．
【思路】（1）根据此“酸奶”以每瓶3元购进，5元售出，该超市某一天购进20瓶酸奶进行销售，即可得出y与x的函数关系式，再利用y大于0得出x的取值范围；
（2）根据频数分布表得出总数，进而得出平均数即可；
（3）利用每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式，得出在10天当中，利润为28元的有1天.33元的有2天.38元的有7天，进而得出总利润比较即可得出答案．
【解析】解（1）由题意知，这一天销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为：
y＝5x﹣60，
当5x﹣60≥0时．x≥12，
故当天至少应售出12瓶酸奶超市才不亏本．

（2）在这10天当中，利润为25元的有1天，30元的有2天，35元的有2天，40元的有5天，
故这10天中，每天销售酸奶的利润的平均数为：
（25+30×2+35×2+40×5）÷10＝35.5；

（3）小明说的有道理．
∵在这10天当中，每天购进20瓶获利共计355元．
而每天购进19瓶销售酸奶的利润y（元）与售出的瓶数x（瓶）之间的函数关系式为：y＝5x﹣57，
在10天当中，利润为28元的有1天.33元的有2天.38元的有7天．
总获利为28+33×2+38×7＝360＞355，
∴小明说的有道理．
【点拨】此题主要考查了一次函数的应用以及加权平均数求法，根据已知得出y与x的函数关系式进而求出是解题关键．
26．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作AP⊥PE，垂足为P，PE交CD于点E．
（1）连接AE，当△APE与△ADE全等时，求BP的长；
（2）若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式．当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，试求出此时BP的长．

【微点】一元二次方程的应用；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．
【思路】（1）根据全等三角形的对应边相等知AP＝AD＝3；然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的长度；
（2）根据相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的对应边成比例列出关于x、y的方程，通过二次函数的最值的求法来求y的最大值；
（3）如图，连接BD．利用（2）中的函数关系式设BP＝x，则CE，然后根据相似三角形△CPE∽△CBD的对应边成比例列出关于x的一元二次方程，通过解该方程即可求得此时BP的长度．
【解析】解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD＝3（已知），
∴AP＝AD＝3（全等三角形的对应边相等）；
在Rt△ABP中，BP（勾股定理）；

（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE＝∠CPE+∠PEC＝90°，
∴∠APB＝∠PEC，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴即（相似三角形的对应边成比例），
∴
∴当x时，y有最大值，最大值是；

（3）如图，连接BD．设BP＝x，
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴（相似三角形的对应边成比例），
即
化简得，3x2﹣13x+12＝0
解得，x1，x2＝3（不合题意，舍去），
∴BP．

【点拨】本题综合考查了矩形的性质、勾股定理、二次函数的最值等知识点．本题中求二次函数的最值时，采用了配方法．

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