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2013年辽宁省鞍山市中考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．（2分）3﹣1等于（　　）
A．3 B．﹣ C．﹣3 D．
2．（2分）一组数据2，4，5，5，6的众数是（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．（2分）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B＝60°，∠AED＝40°，则∠A的度数为（　　）

A．100° B．90° C．80° D．70°
4．（2分）要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤2
5．（2分）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）

A．45° B．35° C．25° D．20°
6．（2分）已知b＜0，关于x的一元二次方程（x﹣1）2＝b的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有两个实数根
7．（2分）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：
选手
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
9.2
9.2
9.2
9.2
方差（环2）
0.035
0.015
0.025
0.027
则这四人中成绩发挥最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：
①abc＞0；②b+2a＝0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．
其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．（2分）分解因式：m2﹣10m＝　 　．
10．（2分）如图，∠A+∠B+∠C+∠D＝　 　度．

11．（2分）在一次函数y＝kx+2中，若y随x的增大而增大，则它的图象不经过第　 　象限．
12．（2分）若方程组，则3（x+y）﹣（3x﹣5y）的值是　 　．
13．（2分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长　 　．
14．（2分）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1＝6．现将实数对（﹣1，3）放入其中，得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到实数是　 　．
15．（2分）如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的．两根铁棒长度之和为55cm，此时木桶中水的深度是　 　cm．

16．（2分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是　 　．

三、计算题（共2小题，每小题6分，满分12分）
17．（6分）先化简，再求值：，其中x＝．
18．（6分）某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间的函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？
四、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）小明和小亮玩一种游戏：三张大小，质地都相同的卡片上分别标有数字1，2，3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜，若和为偶数则小亮胜．
（1）用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况．
（2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由．
20．（6分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由45°降为30°，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．求：改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449）

五、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）
21．（6分）如图，已知线段a及∠O，只用直尺和圆规，求作△ABC，使BC＝a，∠B＝∠O，∠C＝2∠B（在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法）

22．（6分）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．

六、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）
23．（6分）如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．
（1）AC与CD相等吗？为什么？
（2）若AC＝2，AO＝，求OD的长度．

24．（6分）如图所示，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D．若OA＝OB＝OD＝1．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．

七、应用题（满分10分）
25．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？

八、应用题（满分10分）
26．（10分）如图，已知一次函数y＝0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次函数y＝ax2+bx+c的图象交于y轴上的一点B，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（2）设一次函数y＝0.5x+2的图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．

2013年辽宁省鞍山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．【分析】根据负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数），进行运算即可．
【解答】解：3﹣1＝．
故选：D．
【点评】此题考查了负整数指数幂，属于基础题，关键是掌握负整数指数幂的运算法则．
2．【分析】根据众数的定义解答即可．
【解答】解：在2，4，5，5，6中，5出现了两次，次数最多，
故众数为5．
故选：C．
【点评】此题考查了众数的概念﹣﹣﹣﹣一组数据中，出现次数最多的数位众数，众数可以有多个．
3．【分析】先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．
【解答】解：∵DE∥BC，∠AED＝40°，
∴∠C＝∠AED＝40°，
∵∠B＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．
4．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2﹣x≥0，
解得x≤2．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
5．【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ACB＝∠AOB＝45°．
故选：A．
【点评】本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．【分析】根据直接开平方法可得x﹣1＝±，被开方数应该是非负数，故没有实数根．
【解答】解：∵（x﹣1）2＝b中b＜0，
∴没有实数根，
故选：C．
【点评】此题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．
7．【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【解答】解：因为S甲2＞S丁2＞S丙2＞S乙2，方差最小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
8．【分析】由开口方向、与y轴交于负半轴以及对称轴的位置，即可确定a，b，c的正负；由对称轴x＝﹣＝1，可得b+2a＝0；由抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x＝1，可得抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0；a﹣b+c＜0，b+2a＝0，即可得3a+c＜0．
【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴x＝﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0；
故①正确；
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b+2a＝0；
故②正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），对称轴为：x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；
故③正确；
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
故④错误；
∵a﹣b+c＜0，b+2a＝0，
∴3a+c＜0；
故⑤正确．
故选：B．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）
9．【分析】直接提取公因式m即可．
【解答】解：m2﹣10m＝m（m﹣10）．
故答案为：m（m﹣10）．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是找准公因式．
10．【分析】根据四边形内角和等于360°即可求解．
【解答】解：由四边形内角和等于360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D＝360度．
故答案为：360．
【点评】考查了四边形内角和等于360°的基础知识．
11．【分析】先根据函数的增减性判断出k的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵在一次函数y＝kx+2中，y随x的增大而增大，
∴k＞0，
∵2＞0，
∴此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时，函数的图象经过一、二、三象限．
12．【分析】把（x+y）、（3x﹣5y）分别看作一个整体，代入进行计算即可得解．
【解答】解：∵，
∴3（x+y）﹣（3x﹣5y）＝3×7﹣（﹣3）＝21+3＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，计算时不要盲目求解，利用整体思想代入计算更加简单．
13．【分析】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．
【解答】解：∵cosA＝，
∴AC＝AB•cosA＝8×＝6，
∴BC＝＝＝2．
故答案是：2．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
14．【分析】观察可看出未知数的值没有直接给出，而是隐含在题中，需要找出规律，代入求解．
【解答】解：根据所给规则：m＝（﹣1）2+3﹣1＝3
∴最后得到的实数是32+1﹣1＝9．
【点评】依照规则，首先计算m的值，再进一步计算即可．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
15．【分析】考查方程思想及观察图形提取信息的能力．
【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．
因为两根铁棒之和为55cm，故可列x+y＝55，
又知两棒未露出水面的长度相等，故可知x＝y，
据此可列：，
解得：，
因此木桶中水的深度为30×＝20cm．
故填20．
【点评】本题是一道能力题，注意图形与方程等量关系的结合．
16．【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，然后代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，
∴BC＝＝＝5，
∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH＝FG＝AD，EF＝GH＝BC，
∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，
又∵AD＝6，
∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．
三、计算题（共2小题，每小题6分，满分12分）
17．【分析】将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为后解答．
【解答】解：原式＝÷（﹣）﹣1
＝÷﹣1
＝•﹣1
＝﹣1．
当x＝时，原式＝﹣1，
＝﹣1
＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确进行因式分解是解题的关键．
18．【分析】（1）利用待定系数法求得y与x之间的一次函数关系式；
（2）根据“利润＝（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间的二次函数关系式，然后求出其最大值．
【解答】解：（1）由题意，可设y＝kx+b（k≠0），
把（5，30000），（6，20000）代入得：，
解得：，
所以y与x之间的关系式为：y＝﹣10000x+80000；

（2）设利润为W元，则W＝（x﹣4）（﹣10000x+80000）
＝﹣10000（x﹣4）（x﹣8）
＝﹣10000（x2﹣12x+32）
＝﹣10000[（x﹣6）2﹣4]
＝﹣10000（x﹣6）2+40000
所以当x＝6时，W取得最大值，最大值为40000元．
答：当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元．
【点评】本题主要考查利用函数模型（二次函数与一次函数）解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识．
四、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）
19．【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
（2）游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可
【解答】解：法一，列表

法二，画树形图

（1）从上面表中（树形图）可看出小明和小亮抽得的数字之和可能有是：2，3，4，5，6；
（2）因为和为偶数有5次，和为奇数有4次，所以P（小明胜）＝，P（小亮胜）＝，
所以：此游戏对双方不公平．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．【分析】在Rt△ABC中，根据AB＝5米，∠ABC＝45°，求出AC的长度，然后在Rt△ADC中，解直角三角形求AD的长度，用AD﹣AB即可求出滑板加长的长度．
【解答】解：在Rt△ABC中，
∵AB＝5，∠ABC＝45°，
∴AC＝ABsin45°＝5×＝，
在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，
∴AD＝＝5＝5×1.414＝7.07，
AD﹣AB＝7.07﹣5＝2.07（米）．
答：改善后滑滑板约会加长2.07米．
【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形公共的直角边解直角三角形是解答本题的关键．
五、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）
21．【分析】先作一个角等于已知角，即∠MBN＝∠O，在边BN上截取BC＝a，以射线CB为一边，C为顶点，作∠PCB＝2∠O，CP交BM于点A，△ABC即为所求．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的基本作图方法．
22．【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD＝BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE＝∠BEF．
又∵AF＝CE，DF＝BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．

（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
六、应用题（共2小题，每小题6分，满分12分）
23．【分析】（1）AC＝CD，理由为：由AC为圆的切线，利用切线的性质得到∠OAC为直角，再由OC与OB垂直，得到∠BOC为直角，由OA＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）由OC＝OD+DC，DC＝AC，表示出OC，在直角三角形OAC中，利用勾股定理即可求出OD的长．
【解答】解：（1）AC＝CD，理由为：
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B，
∵直线AC为圆O的切线，
∴∠OAC＝∠OAB+∠DAC＝90°，
∵OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∴∠ODB+∠B＝90°，
∵∠ODB＝∠CDA，
∴∠CDA+∠B＝90°，
∴∠DAC＝∠CDA，
则AC＝CD；

（2）在Rt△OAC中，AC＝CD＝2，AO＝，OC＝OD+DC＝OD+2，
根据勾股定理得：OC2＝AC2+AO2，即（OD+2）2＝22+（）2，
解得：OD＝1．
【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
24．【分析】（1）根据OA＝OB＝OD＝1和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标；
（2）将A、B两点坐标分别代入y＝kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由C点在一次函数的图象上可确定C点坐标，将C点坐标代入y＝可确定反比例函数的解析式．
【解答】解：（1）∵OA＝OB＝OD＝1，
∴点A、B、D的坐标分别为A（﹣1，0），B（0，1），D（1，0）；
（2）∵点A、B在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+1．
∵点C在一次函数y＝x+1的图象上，且CD⊥x轴，
∴点C的坐标为（1，2），
又∵点C在反比例函数y＝（m≠0）的图象上，
∴m＝2；
∴反比例函数的解析式为y＝．
【点评】本题主要考查用待定系数法求函数解析式，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式．
七、应用题（满分10分）
25．【分析】（1）由DF＝BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE＝CF．
（2）由（1）得，CE＝CF，∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD即∠ECF＝∠BCD＝90°又∠GCE＝45°所以可得∠GCE＝∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG＝FG＝GD+DF．又因为DF＝BE，所以可证出GE＝BE+GD成立．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，
∵，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．
∴CE＝CF．

（2）解：GE＝BE+GD成立．
理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD＝∠DCF+∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，
又∵∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°．
∵，
∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE＝GF．
∴GE＝DF+GD＝BE+GD．

【点评】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．
八、应用题（满分10分）
26．【分析】（1）根据y＝0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2．得出可设二次函数y＝ax2+bx+c＝a（x﹣2）2，进而求出即可；
（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．
【解答】解：（1）∵y＝0.5x+2交x轴于点A，
∴0＝0.5x+2，
∴x＝﹣4，
与y轴交于点B，
∵x＝0，
∴y＝2
∴B点坐标为：（0，2），
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC＝2
∴可设二次函数y＝a（x﹣2）2或y＝a（x+2）2
把B（0，2）代入得：a＝0.5
∴二次函数的解析式：y＝0.5x2﹣2x+2或y＝0.5x2+2x+2（对称轴在y轴左侧，舍去）；

（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点
由Rt△AOB∽Rt△BOP1
∴＝，
∴＝，
得：OP1＝1，
∴P1（1，0），
（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，
将y＝0.5x+2与y＝0.5x2﹣2x+2联立求出两函数交点坐标：
D点坐标为：（5，4.5），
则AD＝，
当D为直角顶点时
∵∠DAP2＝∠BAO，∠BOA＝∠ADP2，
∴△ABO∽△AP2D，
∴＝，
＝，
解得：AP2＝11.25，
则OP2＝11.25﹣4＝7.25，
故P2点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）
则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得：，
∴，
∵方程无解，
∴点P3不存在，
∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（7.25，0）．

【点评】此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．
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