2017年吉林省中考数学试卷（含解析版）.doc

2017年吉林省中考数学试卷
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）计算（﹣1）2的正确结果是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
2．（2分）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（　　）

A． B． C． D．
3．（2分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6 D．（ab）2=ab2
4．（2分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（　　）

A．70° B．44° C．34° D．24°
6．（2分）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为　 　．
8．（3分）苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克　 　元（用含x的代数式表示）．
9．（3分）分解因式：a2+4a+4=　 　．
10．（3分）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是　 　．

11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为　 　．

12．（3分）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为　 　m．

13．（3分）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为　 　（结果保留π）．

14．（3分）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数．例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为　 　．

三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）某学生化简分式+出现了错误，解答过程如下：
原式=+（第一步）
=（第二步）
=．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第　 　步开始出错的，其错误原因是　 　；
（2）请写出此题正确的解答过程．

16．（5分）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．

17．（5分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．

18．（5分）如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．

四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：
月份
销售额
人员
第1月
第2月
第3月
第4月
第5月
甲
7.2
9.6
9.6
7.8
9.3
乙
5.8
9.7
9.8
5.8
9.9
丙
4
6.2
8.5
9.9
9.9
（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：
统计值 数值
人员
平均数（万元）
中位数（万元）
众数（万元）
甲

9.3
9.6
乙
8.2

5.8
丙
7.7
8.5

（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．

20．（7分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．

（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）
（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．

21．（7分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．
（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）

22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD=OC，且△ACD的面积是6，连接BC．
（1）求m，k，n的值；
（2）求△ABC的面积．

五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．
（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；
（2）四边形ABC'D′的周长为　 　；
（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．

24．（8分）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．
（1）正方体的棱长为　 　cm；
（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．

六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．

（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为　 　cm（用含x的代数式表示）；
（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；
（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；
（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．

26．（10分）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=　 　．
【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．
【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．
【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．

2017年吉林省中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）计算（﹣1）2的正确结果是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：原式=1．
故选A．

2．（2分）如图是一个正六棱柱的茶叶盒，其俯视图为（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：正六棱柱的俯视图为正六边形．
故选B．

3．（2分）下列计算正确的是（　　）
A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a6 D．（ab）2=ab2
【解答】解：（A）a2与a3不是同类项，故A错误；
（B）原式=a5，故B错误；
（D）原式=a2b2，故D错误；
故选（C）

4．（2分）不等式x+1≥2的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵x+1≥2，
∴x≥1．
故选A．

5．（2分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，以BA长为半径画弧交边BC于点D，连接AD．若∠B=40°，∠C=36°，则∠DAC的度数是（　　）

A．70° B．44° C．34° D．24°
【解答】解：∵AB=BD，∠B=40°，
∴∠ADB=70°，
∵∠C=36°，
∴∠DAC=∠ADB﹣∠C=34°．
故选C．

6．（2分）如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C．若AB=12，OA=5，则BC的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：由勾股定理，得
OB==13，
CB=OB﹣OC=13﹣5=8，
故选：D．

二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）2016年我国资助各类家庭困难学生超过84 000 000人次．将84 000 000这个数用科学记数法表示为　8.4×107　．
【解答】解：84 000 000=8.4×107，
故答案为：8.4×107．

8．（3分）苹果原价是每千克x元，按8折优惠出售，该苹果现价是每千克　0.8x　元（用含x的代数式表示）．
【解答】解：依题意得：该苹果现价是每千克80%x=0.8x．
故答案是：0.8x．

9．（3分）分解因式：a2+4a+4=　（a+2）2　．
【解答】解：a2+4a+4=（a+2）2．
故答案为：（a+2）2．

10．（3分）我们学过用直尺和三角尺画平行线的方法，如图所示，直线a∥b的根据是　同位角相等，两直线平行　．

【解答】解：如图所示：
根据题意得出：∠1=∠2；∠1和∠2是同位角；
∵∠1=∠2，
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：同位角相等，两直线平行．

11．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3．矩形ABCD绕着点A逆时针旋转一定角度得到矩形AB'C'D'．若点B的对应点B'落在边CD上，则B'C的长为　1　．

【解答】解：由旋转的性质得到AB=AB′=5，
在直角△AB′D中，∠D=90°，AD=3，AB′=AB=5，
所以B′D===4，
所以B′C=5﹣B′D=1．
故答案是：1．

12．（3分）如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为　9　m．

【解答】解：
∵OD=4m，BD=14m，
∴OB=OD+BD=18m，
由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，
∴△OCD∽△OAB，
∴=，即=，解得AB=9，
即旗杆AB的高为9m．
故答案为：9．

13．（3分）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画，．若AB=1，则阴影部分图形的周长为　π+1　（结果保留π）．

【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，
∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，
∴==•πAB=π，
∴C阴影=++BC=π+1．
故答案为：π+1．

14．（3分）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y=kx+b与y=bx+k互为交换函数．例如：y=4x+3的交换函数为y=3x+4．一次函数y=kx+2与它的交换函数图象的交点横坐标为　1　．
【解答】解：由题意可得，
，
解得，，
故答案为：1．

三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）某学生化简分式+出现了错误，解答过程如下：
原式=+（第一步）
=（第二步）
=．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第　一　步开始出错的，其错误原因是　分式的基本性质　；
（2）请写出此题正确的解答过程．
【解答】解：（1）一、分式的基本性质用错；
（2）原式=+
=
=
故答案为：（1）一、分式的基本性质用错；

16．（5分）被誉为“最美高铁”的长春至珲春城际铁路途经许多隧道和桥梁，其中隧道累计长度与桥梁累计长度之和为342km，隧道累计长度的2倍比桥梁累计长度多36km．求隧道累计长度与桥梁累计长度．
【解答】解：设隧道累计长度为x km，桥梁累计长度为y km，
根据题意得：，
解得：．
答：隧道累计长度为126km，桥梁累计长度为216km．

17．（5分）在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同．小吉从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率．
【解答】解：画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是奇数的有4种情况，
∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为．

18．（5分）如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．

【解答】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE；
又∵AB=DC，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A=∠D．

四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）某商场甲、乙、丙三名业务员5个月的销售额（单位：万元）如下表：
月份
销售额
人员
第1月
第2月
第3月
第4月
第5月
甲
7.2
9.6
9.6
7.8
9.3
乙
5.8
9.7
9.8
5.8
9.9
丙
4
6.2
8.5
9.9
9.9
（1）根据上表中的数据，将下表补充完整：
统计值
数值
人员
平均数（万元）
中位数（万元）
众数（万元）
甲
　8.7　
9.3
9.6
乙
8.2
　9.7　
5.8
丙
7.7
8.5
　9.9　
（2）甲、乙、丙三名业务员都说自己的销售业绩好，你赞同谁的说法？请说明理由．
【解答】解：（1）=（7.2+9.6+9.6+7.8+9.3）=8.7（万元）
把乙按照从小到大依次排列，可得5.8，5.8，9.7，9.8，9.9；
中位数为9.7万元．
丙中出现次数最多的数为9.9万元．
故答案为：8.7，9.7，9.9；

（2）我赞同甲的说法．甲的平均销售额比乙、丙都高．

20．（7分）图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点．线段AB的端点在格点上．

（1）在图①、图2中，以AB为边各画一个等腰三角形，且第三个顶点在格点上；（所画图形不全等）
（2）在图③中，以AB为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上．
【解答】解：（1）如图①、②所示，△ABC和△ABD即为所求；

（2）如图③所示，▱ABFE即为所求．

21．（7分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面O处发射，当火箭到达点A，B时，在雷达站C处测得点A，B的仰角分别为34°，45°，其中点O，A，B在同一条直线上．求A，B两点间的距离（结果精确到0.1km）．
（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67．）

【解答】解：由题意可得：∠AOC=90°，OC=5km．
在Rt△AOC中，
∵tan34°=，
∴OA=OC•tan34°=5×0.67=3.35km，
在Rt△BOC中，∠BCO=45°，
∴OB=OC=5km，
∴AB=5﹣3.35=1.65≈1.7km，
答：A，B两点间的距离约为1.7km．

22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与函数y=（x＞0）的图象交于点A（m，2），B（2，n）．过点A作AC平行于x轴交y轴于点C，在y轴负半轴上取一点D，使OD=OC，且△ACD的面积是6，连接BC．
（1）求m，k，n的值；
（2）求△ABC的面积．

【解答】解：（1）∵点A的坐标为（m，2），AC平行于x轴，
∴OC=2，AC⊥y轴，
∵OD=OC，
∴OD=1，
∴CD=3，
∵△ACD的面积为6，
∴CD•AC=6，
∴AC=4，即m=4，
则点A的坐标为（4，2），将其代入y=可得k=8，
∵点B（2，n）在y=的图象上，
∴n=4；

（2）如图，过点B作BE⊥AC于点E，则BE=2，

∴S△ABC=AC•BE=×4×2=4，
即△ABC的面积为4．

五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．
（1）求证：四边形AB'C'D是菱形；
（2）四边形ABC'D′的周长为　4　；
（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．

【解答】解：（1）∵BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
由平移可得，B'C'=BC=AD，∠D'B'C'=∠DBC=∠ADB=60°，
∴AD∥B'C'
∴四边形AB'C'D是平行四边形，
∵B'为BD中点，
∴Rt△ABD中，AB'=BD=DB'，
又∵∠ADB=60°，
∴△ADB'是等边三角形，
∴AD=AB'，
∴四边形AB'C'D是菱形；

（2）由平移可得，AB=C'D'，∠ABD'=∠C'D'B=30°，
∴AB∥C'D'，
∴四边形ABC'D'是平行四边形，
由（1）可得，AC'⊥B'D，
∴四边形ABC'D'是菱形，
∵AB=AD=，
∴四边形ABC'D′的周长为4，
故答案为：4；

（3）将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形如下：

∴矩形周长为6+或2+3．

24．（8分）如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，28s时注满水槽．水槽内水面的高度y（cm）与注水时间x（s）之间的函数图象如图②所示．
（1）正方体的棱长为　10　cm；
（2）求线段AB对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）如果将正方体铁块取出，又经过t（s）恰好将此水槽注满，直接写出t的值．

【解答】解：（1）由题意可得：12秒时，水槽内水面的高度为10cm，12秒后水槽内高度变化趋势改变，
故正方体的棱长为10cm；
故答案为：10；

（2）设线段AB对应的函数解析式为：y=kx+b，
∵图象过A（12，10），B（28，20），
∴，
解得：，
∴线段AB对应的解析式为：y=x+（12≤x≤28）；

（3）∵28﹣12=16（s），
∴没有立方体时，水面上升10cm，所用时间为：16秒，
∵前12秒由立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒，
∴将正方体铁块取出，经过4秒恰好将此水槽注满．

六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm2），点P的运动时间为x（s）．

（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为　x　cm（用含x的代数式表示）；
（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；
（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；
（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，
∴∠AQP=45°，
∴PQ=AP=2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ=x，
故答案为：x；
（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP=2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ=x，
∴GP=x，
∴2x+x+2x=4，
∴x=；
（3）如图②，当0＜x≤时，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，
∴y=x2；
如图③，当＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH=AB=2，
∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，
∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，
∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ2﹣FM2，
∴y=x2﹣（5x﹣4）2=﹣x2+20x﹣8，
∴y=﹣x2+20x﹣8；
如图④，当1＜x＜2时，PQ=4﹣2x，
∴DQ=2﹣x，
∴y=S△DEQ=DQ2，
∴y=（2﹣x）2，
∴y=x2﹣2x+2；
（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，
即2x=2，
∴x=1，
当Q为BC的中点时，BQ=，
PB=1，
∴AP=3，
∴2x=3，
∴x=，
∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜．

26．（10分）《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：
【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，与x轴的另一个交点为A，则a=　　．
【操作】将图①中抛物线在x轴下方的部分沿x轴折叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为G，如图②．直接写出图象G对应的函数解析式．
【探究】在图②中，过点B（0，1）作直线l平行于x轴，与图象G的交点从左至右依次为点C，D，E，F，如图③．求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x增大而增大时x的取值范围．
【应用】P是图③中图象G上一点，其横坐标为m，连接PD，PE．直接写出△PDE的面积不小于1时m的取值范围．

【解答】解：【问题】
∵抛物线y=a（x﹣2）2﹣经过原点O，
∴0=a（0﹣2）2﹣，
a=，
故答案为：；

【操作】：如图①，抛物线：y=（x﹣2）2﹣，
对称轴是：直线x=2，由对称性得：A（4，0），
如图②，沿x轴折叠后所得抛物线为：y=﹣（x﹣2）2+
图象G对应的函数解析式为：y=；

【探究】：如图③，由题意得：
当y=1时，（x﹣2）2﹣=1，
解得：x1=2+，x2=2﹣，
∴C（2﹣，1），F（2+，1），
当y=1时，﹣（x﹣2）2+=1，
解得：x1=3，x2=1，
∴D（1，1），E（3，1），
由图象得：图象G在直线l上方的部分，当1＜x＜2或x＞2+时，函数y随x增大而增大；

【应用】：∵D（1，1），E（3，1），
∴DE=3﹣1=2，
∵S△PDE=DE•h≥1，
∴h≥1；
①当P在C的左侧或F的右侧部分时，设P[m，]，
∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，
（m﹣2）2≥10，
m﹣2≥或m﹣2≤﹣，
m≥2+或m≤2﹣，
②如图③，作对称轴交抛物线G于H，交直线CD于M，交x轴于N，
∵H（2，），
∴HM=﹣1=＜1，
∴点P不可能在DE的上方；
③∵MN=1，
且O（0，0），A（4，0），
∴P不可能在CO（除O点）、OD、EA（除A点）、AF上，
∴P与O或A重合时，符合条件，
∴m=0或m=4；
综上所述，△PDE的面积不小于1时，m的取值范围是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．

第28页（共28页）