2014年湖北省鄂州市中考数学试卷（含解析版）.doc

2014年湖北省鄂州市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•鄂州）的绝对值的相反数是（　　）

A．

B．

C．
2
D．
﹣2
2．（3分）（2014•鄂州）下列运算正确的是（　　）

A．
（﹣2x2）3=﹣6x6
B．
（3a﹣b）2=9a2﹣b2
C．
x2•x3=x5
D．
x2+x3=x5
3．（3分）（2014•鄂州）如图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是（　　）

　 A． B． C． D．
4．（3分）（2014•鄂州）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（　　）

A．
20°
B．
40°
C．
30°
D．
25°
5．（3分）（2014•鄂州）点A为双曲线y=（k≠0）上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为（　　）

A．
2
B．
±2
C．

D．
±
6．（3分）（2014•鄂州）圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为（　　）

A．
90°
B．
120°
C．
150°
D．
180°
7．（3分）（2014•鄂州）在矩形ABCD中，AD=3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，且BG∥DH，当=（　　）时，四边形BHDG为菱形．

　 A． B． C． D．
8．（3分）（2014•鄂州）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为（　　）

A．
2016（1﹣x）2=1500
B．
1500（1+x）2=2160

C．
1500（1﹣x）2=2160
D．
1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160
9．（3分）（2014•鄂州）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的是（　　）
①四边形A4B4C4D4是菱形；
②四边形A3B3C3D3是矩形；
③四边形A7B7C7D7周长为；
④四边形AnBnCnDn面积为．

A．
①②③
B．
②③④
C．
①③④
D．
①②③④
10．（3分）（2014•鄂州）已知抛物线的顶点为y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（　　）

A．
1
B．
2
C．
4
D．
3

二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2014•鄂州）的算术平方根为 　．
12．（3分）（2014•鄂州）小林同学为了在体育中考获得好成绩，每天早晨坚持练习跳绳，临考前，体育老师记载了他5次练习成绩，分别为143、145、144、146、a，这五次成绩的平均数为144．小林自己又记载了两次练习成绩为141、147，则他七次练习成绩的平均数为　 　．
13．（3分）（2014•鄂州）如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为　 ．

14．（3分）（2014•鄂州）在平面直角坐标中，已知点A（2，3）、B（4，7），直线y=kx﹣k（k≠0）与线段AB有交点，则k的取值范围为　 　．
15．（3分）（2014•鄂州）如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积　 ．

16．（3分）（2014•鄂州）如图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为　 ．

三．解答题（17-20每题8分，21-22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）（2014•鄂州）先化简，再求值：（+）÷，其中a=2﹣．

18．（8分）（2014•鄂州）在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：
（1）BH=DE．
（2）BH⊥DE．

19．（8分）（2014•鄂州）学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：
甲班：
等级
成绩（S）
频数
A
90＜S≤100
x
B
80＜S≤90
15
C
70＜S≤80
10
D
S≤70
3
合计

30
根据上面提供的信息回答下列问题
（1）表中x=　 ，甲班学生成绩的中位数落在等级　 中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角n=　 ．
（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．

20．（8分）（2014•鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．

21．（9分）（2014•鄂州）小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角∠1=75°．
（1）求AD的长．
（2）求树长AB．

22．（9分）（2014•鄂州）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cos∠DAB．

23．（10分）（2014•鄂州）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：
x（天）
1
2
3
…
50
p（件）
118
116
114
…
20
销售单价q（元/件）与x满足：当1≤x＜25时q=x+60；当25≤x≤50时q=40+．
（1）请分析表格中销售量p与x的关系，求出销售量p与x的函数关系．
（2）求该超市销售该新商品第x天获得的利润y元关于x的函数关系式．
（3）这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？

24．（12分）（2014•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x=2为对称轴的抛物线C1：y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点，并与x轴正半轴交于点B．
（1）求m的值及抛物线C1：y=ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式．
（2）设点D（0，），若F是抛物线C1：y=ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF的周长取得最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究+是否为定值？请说明理由．
（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2=﹣（x﹣h）2，h＞1．若当1＜x≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．

2014年湖北省鄂州市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2014•鄂州）的绝对值的相反数是（　　）

A．

B．

C．
2
D．
﹣2

考点：
绝对值；相反数．
分析：
根据绝对值的定义，这个数在数轴上的点到原点的距离，﹣的绝对值为；再根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，的相反数为﹣；
解答：
解：﹣的绝对值为：|﹣|=，
的相反数为：﹣，
所以﹣的绝对值的相反数是为：﹣，
故选：B．
点评：
此题考查了绝对值及相反数，关键明确：相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数；绝对值的定义，这个数在数轴上的点到原点的距离．

2．（3分）（2014•鄂州）下列运算正确的是（　　）

A．
（﹣2x2）3=﹣6x6
B．
（3a﹣b）2=9a2﹣b2
C．
x2•x3=x5
D．
x2+x3=x5

考点：
完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
专题：
计算题．
分析：
A、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断；
C、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式不能合并，错误．
解答：
解：A、原式=﹣8x6，错误；
B、原式=9a2﹣6ab+b2，错误；
C、原式=x5，正确；
D、原式不能合并，错误，
故选C
点评：
此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．（3分）（2014•鄂州）如图，几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的左视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
简单组合体的三视图．
分析：
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
解答：
解：从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形，
故选：D．
点评：
本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

4．（3分）（2014•鄂州）如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°．若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为（　　）

A．
20°
B．
40°
C．
30°
D．
25°

考点：
平行线的性质．
分析：
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，再根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．
解答：
解：由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，
∵a∥b，∠DCB=90°，
∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．
故选A．

点评：
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

5．（3分）（2014•鄂州）点A为双曲线y=（k≠0）上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为（　　）

A．
2
B．
±2
C．

D．
±

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
分析：
分两种情况：点A在第一象限或第二象限，从而得出点B的坐标，再根据△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，求出点A坐标，即可得出k值．
解答：
解：当点A在第一象限时，过A作AC⊥OB于C，如图1，
∵OB=2，
∴B点的坐标是（2，0）；
∵∠AOC=60°，AO=BO=2，
∴OC=1，AC=2sin60°=，
∴A点的坐标是（1，），
∵点A为双曲线y=（k≠0）上一点，
∴k=；
当点A在第二象限时，过A作AC⊥OB于C，如图2，
∵OB=2，
∴B点的坐标是（﹣2，0）；
∵∠AOC=60°，AO=BO=2，
∴OC=1，AC=2sin60°=，
∴A点的坐标是（﹣1，），
∵点A为双曲线y=（k≠0）上一点，
∴k=﹣；
故选D．

点评：
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及等边三角形的性质，是基础题难度不大．

6．（3分）（2014•鄂州）圆锥体的底面半径为2，侧面积为8π，则其侧面展开图的圆心角为（　　）

A．
90°
B．
120°
C．
150°
D．
180°

考点：
圆锥的计算．
专题：
计算题．
分析：
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，母线长为R，先根据锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到•2π•2•R=8π，解得R=4，然后根据弧长公式得到=2•2π，再解关于n的方程即可．
解答：
解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n°，母线长为R，
根据题意得•2π•2•R=8π，解得R=4，
所以=2•2π，解得n=180，
即圆锥的侧面展开图的圆心角为180°．
故选D．
点评：
本题考查了圆锥的计算：锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

7．（3分）（2014•鄂州）在矩形ABCD中，AD=3AB，点G、H分别在AD、BC上，连BG、DH，且BG∥DH，当=（　　）时，四边形BHDG为菱形．

A．

B．

C．

D．

考点：
菱形的判定．
分析：
首先根据菱形的性质可得BG=GD，然后设AB=x，则AD=3x，设AG=y，则GD=3x﹣y，BG=3x﹣y，再根据勾股定理可得y2+x2=（3x﹣y）2，再整理得=，然后可得y=x，再进一步可得的值．
解答：
解：∵四边形BGDH是菱形，
∴BG=GD，
设AB=x，则AD=3x，
设AG=y，则GD=3x﹣y，BG=3x﹣y，
∵在Rt△AGB中，AG2+AB2=GB2，
∴y2+x2=（3x﹣y）2，
整理得：=，
y=x，
∴===，
故选：C．
点评：
此题主要考查了菱形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握菱形四边形相等．

8．（3分）（2014•鄂州）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为（　　）

A．
2016（1﹣x）2=1500
B．
1500（1+x）2=2160

C．
1500（1﹣x）2=2160
D．
1500+1500（1+x）+1500（1+x）2=2160

考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：
增长率问题．
分析：
本题是关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设该厂缴税的年平均增长率为x，那么根据题意可用x表示今年缴税数，然后根据已知可以得出方程．
解答：
解：如果设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，
那么根据题意得今年缴税1500（1+x）2，
列出方程为：1500（1+x）2=2160．
故选B．
点评：
考查了由实际问题抽象出一元二次方程，平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

9．（3分）（2014•鄂州）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的是（　　）
①四边形A4B4C4D4是菱形；
②四边形A3B3C3D3是矩形；
③四边形A7B7C7D7周长为；
④四边形AnBnCnDn面积为．

A．
①②③
B．
②③④
C．
①③④
D．
①②③④

考点：
中点四边形．
专题：
规律型．
分析：
首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
解答：
解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
∴四边形A3B3C3D3是矩形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故①②正确；
③根据中位线的性质易知，A7B7═A5B5A3B3=A1B1=AC，B7C7=B5C5=B3C3=B1C1=BD，
∴四边形A7B7C7D7的周长是2×（a+b）=，
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是，
故本选项错误；
综上所述，②③①正确．
故选A．

点评：
本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．

10．（3分）（2014•鄂州）已知抛物线的顶点为y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（﹣1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，的最小值为（　　）

A．
1
B．
2
C．
4
D．
3

考点：
二次函数的性质．
专题：
计算题．
分析：
由0＜2a＜b得x0=﹣＜﹣1，作AA1⊥x轴于点A1，CD⊥y轴于点D，连接BC，过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），则AA1=yA，OA1=1，BD=yB﹣yC，CD=1，易证得Rt△AFA1∽Rt△BCD，利用相似比得到=；过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD，利用相似比得=，再把点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）、E（x1，yE）代入抛物线y=ax2+bx+c得yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=ax12+bx1+c，所以=1﹣x1，整理得x12+x1﹣2=0，解得x1=﹣2（x1=1舍去），由于y0≥0恒成立，则有x2≤x1＜﹣1，所以1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3，于是得到≥3，所以的最小值为3．
解答：
解：由0＜2a＜b，得x0=﹣＜﹣1，
由题意，如图，过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1，
连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1，
过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），
则∠FAA1=∠CBD．
于是Rt△AFA1∽Rt△BCD，
所以=，即=，
过点E作EG⊥AA1于点G，
易得△AEG∽△BCD．
有=，即=，
∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，
得yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=ax12+bx1+c，
∴=1﹣x1，
化简，得x12+x1﹣2=0，解得x1=﹣2（x1=1舍去），
∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜﹣1，
则1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3．
∴≥3，
∴的最小值为3．
故选D．

点评：
本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．

二、填空题：（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2014•鄂州）的算术平方根为　　．

考点：
算术平方根．
专题：
计算题．
分析：
首先根据算术平方根的定义计算先=2，再求2的算术平方根即可．
解答：
解：∵=2，
∴的算术平方根为．
点评：
此题考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道=2，实际上这个题是求2的算术平方根．注意这里的双重概念．

12．（3分）（2014•鄂州）小林同学为了在体育中考获得好成绩，每天早晨坚持练习跳绳，临考前，体育老师记载了他5次练习成绩，分别为143、145、144、146、a，这五次成绩的平均数为144．小林自己又记载了两次练习成绩为141、147，则他七次练习成绩的平均数为　144　．

考点：
算术平均数．
分析：
先根据平均数的定义由五次成绩的平均数为144得出这五次成绩的总数为144×5，再根据平均数的定义即可求出他七次练习成绩的平均数．
解答：
解：∵小林五次成绩（143、145、144、146、a）的平均数为144，
∴这五次成绩的总数为144×5=720，
∵小林自己又记载了两次练习成绩为141、147，
∴他七次练习成绩的平均数为（720+141+147）÷7=1008÷7=144．
故答案为144．
点评：
本题考查了平均数的定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．

13．（3分）（2014•鄂州）如图，直线y=kx+b过A（﹣1，2）、B（﹣2，0）两点，则0≤kx+b≤﹣2x的解集为　﹣2≤x≤﹣1　．

考点：
一次函数与一元一次不等式．
专题：
数形结合．
分析：
先确定直线OA的解析式为y=﹣2x，然后观察函数图象得到当﹣2≤x≤﹣1时，y=kx+b的图象在x轴上方且在直线y=﹣2x的下方．
解答：
解：直线OA的解析式为y=﹣2x，
当﹣2≤x≤﹣1时，0≤kx+b≤﹣2x．
故答案为﹣2≤x≤﹣1．

点评：
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

14．（3分）（2014•鄂州）在平面直角坐标中，已知点A（2，3）、B（4，7），直线y=kx﹣k（k≠0）与线段AB有交点，则k的取值范围为　≤k≤3　．

考点：
两条直线相交或平行问题．
专题：
计算题．
分析：
由于当x=1时，y=0，所以直线y=kx﹣k过定点（1，0），因为直线y=kx﹣k（k≠0）与线段AB有交点，所以当直线y=kx﹣k过B（4，7）时，k值最小；当直线y=kx﹣k过A（2，3）时，k值最大，然后把B点和A点坐标代入y=kx﹣k可计算出对应的k的值，从而得到k的取值范围．
解答：
解：∵y=k（x﹣1），
∴x=1时，y=0，即直线y=kx﹣k过定点（1，0），
∵直线y=kx﹣k（k≠0）与线段AB有交点，
∴当直线y=kx﹣k过B（4，7）时，k值最小，则4k﹣k=7，解得k=；当直线y=kx﹣k过A（2，3）时，k值最大，则2k﹣k=3，解得k=3，
∴k的取值范围为≤k≤3．
故答案为≤k≤3．
点评：
本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．

15．（3分）（2014•鄂州）如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积　16﹣4﹣　．

考点：
扇形面积的计算；正方形的性质．
分析：
如解答图，作辅助线，利用图形的对称性求解．解题要点是求出弓形OmC的面积．
解答：
解：如图，设点O为弧的一个交点．
连接OA、OB，则△OAB为等边三角形，∴∠OBC=30°．
过点O作EF⊥CD，分别交AB、CD于点E、F，则OE为等边△OAB的高，
∴OE=AB=，∴OF=2﹣．
过点O作PQ⊥BC，分别交AD、BC于点P、Q，则OQ=1．
S弓形OmC=S扇形OBC﹣S△OBC=﹣×2×1=﹣1．
∴S阴影=4（S△OCD﹣2S弓形OmC）=4[×2×（2﹣）﹣2（﹣1）]=16﹣4﹣．
故答案为：16﹣4﹣．

点评：
本题考查了扇形的面积公式和正方形性质的+应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．

16．（3分）（2014•鄂州）如图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为　﹣1　．

考点：
正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质．
分析：
如图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，进而求证△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°设CM=x，CN=y，MN=z，根据x2+y2=z2，和x+y+z=2，整理根据△=4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0可以解题．
解答：
解：延长CB至L，使BL=DN，
则Rt△ABL≌Rt△AND，
故AL=AN，
∴△AMN≌△AML，
∴∠MAN=∠MAL=45°，
设CM=x，CN=y，MN=z
x2+y2=z2，
∵x+y+z=2，
则x=2﹣y﹣z
∴（2﹣y﹣z）2+y2=z2，
整理得2y2+（2z﹣4）y+（4﹣4z）=0，
∴△=4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0，
即（z+2+2）（z+2﹣2）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2﹣2，当且仅当x=y=2﹣时等号成立
此时S△AMN=S△AML=ML•AB=z
因此，当z=2﹣2，x=y=2﹣时，S△AMN取到最小值为 ﹣1．
故答案为﹣1．

点评：
本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，考查了正方形各边相等，各内角是直角的性质，本题求证三角形全等是解题的关键．

三．解答题（17-20每题8分，21-22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）（2014•鄂州）先化简，再求值：（+）÷，其中a=2﹣．

考点：
分式的化简求值．
分析：
将括号内的部分通分，相加后再将除法转化为乘法，然后约分．
解答：
解：原式=（+）•
=•
=•
=，
当a=2﹣时，原式==﹣．
点评：
本题考查了分式的化简求值，熟悉约分、通分、因式分解是解题关键．

18．（8分）（2014•鄂州）在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE，BH，两线交于M．求证：
（1）BH=DE．
（2）BH⊥DE．

考点：
全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）根据正方形的性质可得BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，然后求出∠BCH=∠DCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBH=∠CDE，然后根据三角形的内角和定理求出∠DMB=∠BCD=90°，再根据垂直的定义证明即可．
解答：
证明：（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中，
BC=CD，CE=CH，∠BCD=∠ECH=90°，
∴∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，
即∠BCH=∠DCE，
在△BCH和△DCE中，
，
∴△BCH≌△DCE（SAS），
∴BH=DE；

（2）∵△BCH≌△DCE，
∴∠CBH=∠CDE，
∴∠DMB=∠BCD=90°，
∴BH⊥DE．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

19．（8分）（2014•鄂州）学校举行“文明环保，从我做起”征文比赛．现有甲、乙两班各上交30篇作文，现将两班的各30篇作文的成绩（单位：分）统计如下：
甲班：
等级
成绩（S）
频数
A
90＜S≤100
x
B
80＜S≤90
15
C
70＜S≤80
10
D
S≤70
3
合计

30
根据上面提供的信息回答下列问题
（1）表中x=　2　，甲班学生成绩的中位数落在等级　B　中，扇形统计图中等级D部分的扇形圆心角n=　36°　．
（2）现学校决定从两班所有A等级成绩的学生中随机抽取2名同学参加市级征文比赛．求抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率（请列树状图或列表求解）．

考点：
频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．
分析：
（1）利用总人数30减去其它各组的人数就是x的值，根据中位数的定义求得中位数的值，利用360°乘以对应的比例就可求得圆心角的度数；
（2）甲班的人用甲表示，乙班的人用乙表示，利用列举法即可求得概率．
解答：
解：（1）x=30﹣15﹣10﹣3=2；中位数落在B组；等级D部分的扇形圆心角n=360°×=36°；
故答案是：2，B，36°；

（2）乙班A等级的人数是：30×10%=3，
则甲班的二个人用甲表示，乙班的三个人用乙表示．
，
共有20种情况，则抽取到两名学生恰好来自同一班级的概率是：=．
点评：
考查了频数（率）分布表，本题用到的知识点是：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．

20．（8分）（2014•鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．
（1）若方程有两实数根，求m的范围．
（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．

考点：
根的判别式；根与系数的关系．
分析：
（1）根据关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，得出m≠0且（﹣2m）2﹣4•m•（m﹣2）≥0，求出m的取值范围即可；
（2）根据方程两实根为x1，x2，求出x1+x2和x1•x2的值，再根据|x1﹣x2|=1，得出（x1+x2）2﹣4x1x2=1，再把x1+x2和x1•x2的值代入计算即可．
解答：
解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，
∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4•m•（m﹣2）≥0，
解得m≥0，
∴m的取值范围为m＞0．

（2）∵方程两实根为x1，x2，
∴x1+x2=2，x1•x2=，
∵|x1﹣x2|=1，
∴（x1﹣x2）2=1，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，
∴22﹣4×=1，
解得：m=8；
经检验m=8是原方程的解．
点评：
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根．

21．（9分）（2014•鄂州）小方与同学一起去郊游，看到一棵大树斜靠在一小土坡上，他想知道树有多长，于是他借来测角仪和卷尺．如图，他在点C处测得树AB顶端A的仰角为30°，沿着CB方向向大树行进10米到达点D，测得树AB顶端A的仰角为45°，又测得树AB倾斜角∠1=75°．
（1）求AD的长．
（2）求树长AB．

考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析：
（1）过点A作AE⊥CB于点E，设AE=x，分别表示出CE、DE，再由CD=10，可得方程，解出x的值，在Rt△ADE中可求出AD；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，设BF=y，分别表示出CF、AF，解出y的值后，在Rt△ABF中可求出AB的长度．
解答：
解：（1）过点A作AE⊥CB于点E，设AE=x，
在Rt△ACE中，∠C=30°，
∴CE=x，
在Rt△ADE中，∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∴CE﹣DE=10，即x﹣x=10，
解得：x=5（+1），
∴AD=x=5+5
答：AD的长为（5+5）米．

（2）由（1）可得AC=2AE=（10+10）米，
过点B作BF⊥AC于点F，
∵∠1=75°，∠C=30°，
∴∠CAB=45°，
设BF=y，
在Rt△CBF中，CF=BF=y，
在Rt△BFA中，AF=BF=y，
∴y+y=（10+10），
解得：y=10，
在Rt△ABF中，AB==10米．
答：树高AB的长度为10米．

点评：
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用锐角三角函数及已知线段表示未知线段，有一定难度．

22．（9分）（2014•鄂州）如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E．
（1）求证：CD为⊙O的切线．
（2）若=，求cos∠DAB．

考点：
切线的判定．
分析：
（1）连接OC，推出∠DAC=∠CAB，∠OAC=∠OCA，求出∠DAC=∠OCA，得出OC∥AD，推出OC⊥DC，根据切线的判定判断即可；
（2）连接BC，可证明△ACD∽△ABC，得出比例式，求出BC，求出圆的直径AB，再根据勾股定理得出CE，即可求出答案．
解答：
（1）证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB，
∵=，
∴令CD=3，AD=4，得AC=5，
∴=，
∴BC=，
由勾股定理得AB=，
∴OC=，
∵OC∥AD，
∴=，
∴=，
解得AE=，
∴cos∠DAB===．

点评：
本题考查了切线的判定以及角平分线的定义、勾股定理和解直角三角形，是中学阶段的重点内容．

23．（10分）（2014•鄂州）大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量p件与销售的天数x的关系如下表：
x（天