2014年辽宁省鞍山市中考数学试题(解析).doc
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2014年辽宁省鞍山市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.(3分)(2014•鞍山)的平方根是( ) A.2 B.±2 C. D.± 【考点】算术平方根;平方根.21世纪教育网 【分析】先化简,然后再根据平方根的定义求解即可. 【解答】解:∵=2, ∴的平方根是±. 故选D. 2.(3分)(2014•鞍山)如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图,那么在原正方体的表面上,与汉字“魅”相对的面上的汉字是( ) A.我 B.爱 C.辽 D.宁 【考点】专题:正方体相对两个面上的文字.21世纪教育网 【分析】正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形,根据这一特点作答. 【解答】解:正方体的表面展开图,相对的面之间一定相隔一个正方形, “我”与“力”是相对面, “爱”与“辽”是相对面, “魅”与“宁”是相对面. 故选D. 3.(3分)(2014•鞍山)不等式组的解集在数轴上表示为( ) A. B. C. D. 【考点】在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组.21世纪教育网 【分析】求出不等式组的解集,表示在数轴上即可. 【解答】解:不等式组, 由①得:x>1; 由②得:x≤3, ∴不等式组的解集为1<x≤3, 表示在数轴上,如图所示: 故选A 4.(3分)(2014•鞍山)分式方程的解为( ) A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4 【考点】解分式方程.21世纪教育网 【分析】首先分式两边同时乘以最简公分母2x(x﹣1)去分母,再移项合并同类项即可得到x的值,然后要检验.2-1-c-n-j-y 【解答】解:, 去分母得:3x﹣3=2x, 移项得:3x﹣2x=3, 合并同类项得:x=3, 检验:把x=3代入最简公分母2x(x﹣1)=12≠0,故x=3是原方程的解, 故原方程的解为:X=3, 故选:C. 5.(3分)(2014•鞍山)下列说法正确的是( ) A.数据1,2,3,2,5的中位数是3 B.数据5,5,7,5,7,6,11的众数是7 C.若甲组数据方差S2甲=0.15,乙组数据方差S2乙=0.15,则乙组数据比甲组数据稳定 D.数据1,2,2,3,7的平均数是3 【考点】方差;算术平均数;中位数;众数.21世纪教育网 【分析】根据方差、众数、中位数、平均数的计算公式和定义分别进行分析,即可得出答案. 【解答】解:A、把这组数据从小到大排列为:1,2,2,3,5,中位数是2,故本选项错误; B、在数据5,5,7,5,7,6,11中,5出现了3次,出现的次数最多,则众数是5,故本选项错误; C、因为甲组数据方差S2甲=0.15,乙组数据方差S2乙=0.15,则S甲2=S乙2,所以乙组数据和甲组数据同样稳定,故本选项错误;21*cnjy*com D、数据1,2,2,3,7的平均数是(1+2+2+3+7)÷5=3,故本选项正确; 故选D. 6.(3分)(2014•鞍山)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8,DB=6,DE⊥BC于点E,则DE的长为( )21·cn·jy·com A.2.4 B.3.6 C.4.8 D.6 【考点】菱形的性质.21世纪教育网 【分析】首先根据已知可求得OA,OD的长,再根据勾股定理即可求得BC的长,再由菱形的面积等于底乘以高也等于两对角线的乘积,根据此不难求得DE的长. 【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,对角线AC=8,DB=6, ∴BC==5, ∵S菱形ABCD=AC×BD=BC×DE, ∴×8×6=5×DE, ∴DE==4.8, 故选C. 7.(3分)(2014•鞍山)一辆客车从甲地开往乙地,一辆出租车从乙地开往甲地,两车同时出发,两车距甲地的距离y千米与行驶时间x小时之间的函数图象如图所示,则下列说法中错误的是( ) A.客车比出租车晚4小时到达目的地 B.客车速度为60千米/时,出租车速度为100千米/时 C.两车出发后3.75小时相遇 D.两车相遇时客车距乙地还有225千米 【考点】一次函数的应用.21世纪教育网 【分析】观察图形可发现客车出租车行驶路程均为600千米,客车行驶了10小时,出租车行驶了6小时,即可求得客车和出租车行驶时间和速度; 易求得直线AC和直线OD的解析式,即可求得交点横坐标x,即可求得相遇时间,和客车行驶距离,即可解题. 【解答】解:(1)∵客车行驶了10小时,出租车行驶了6小时,∴客车比出租车晚4小时到达目的地,故A正确; (2)∵客车行驶了10小时,出租车行驶了6小时,∴客车速度为60千米/时,出租车速度为100千米/时,故B正确; (3)∵设出租车行驶时间为x,距离目的地距离为y, 则y=﹣100x+600, 设客车行驶时间为x,距离目的地距离为y, 则y=60x; 当两车相遇时即60x=﹣100x+600时,x=3.75h,故C正确; ∵3.75小时客车行驶了60×3.75=225千米, ∴距离乙地600﹣225=375千米,故D错误; 故选 D. 8.(3分)(2014•鞍山)如图,在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的F重合.展开后,折痕DE分别交AB,AC于点E,G.连接GF.下列结论中错误的是( ) A.∠AGE=67.5° B.四边形AEFG是菱形 C.BE=2OF D.S△DOG:S四边形OGEF=:1 【考点】翻折变换(折叠问题).21世纪教育网 【分析】根据正方形的性质得∠AOB=90°,∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°,再根据折叠的性质得∠1=∠2=∠ODA=22.5°,EA=EF,∠4=∠5,∠EFD=∠EAD=90°,于是根据三角形外角性质可计算出∠3=67.5°,即∠AGE=67.5°;根据三角形内角和可计算出∠4=67.5°,则∠3=∠4=∠5,所以AE=AG=EF,AG∥EF,于是可判断四边形AEFG为菱形;根据菱形性质得GF∥AB,EF=GF,利用平行线性质得∠6=∠7=45°,则可判断△BEF和△OGF都是等腰直角三角形,得到BE=EF,GF=OF,所以BE=2OF;设OF=a,则GF=a,BF=a,可计算出OB=(+1)a,则OD=(+1)a,DF=DO+OF=(2+)a,再证明△DOG∽△DFE,利用相似三角形的性质可计算出=()2=,则S△DOG:S四边形OGEF=1:1,即D选项的结论错误. 【解答】解:∵四边形ABCD为正方形, ∴∠AOB=90°,∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°, ∵折叠正方形纸片ABCD,使AD落在BD上,点A恰好与BD上的F重合, ∴∠1=∠2=∠ODA=22.5°,EA=EF,∠4=∠5,∠EFD=∠EAD=90°, ∴∠3=∠GAD+∠1=45°+22.5°=67.5°,即∠AGE=67.5°; ∵∠4=90°﹣∠1=67.5°, ∴∠3=∠4=∠5, ∴AE=AG=EF,AG∥EF, ∴四边形AEFG为菱形; ∴GF∥AB,EF=GF, ∴∠6=∠7=45°, ∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形, ∴BE=EF,GF=OF, ∴BE=•OF=2OF; 设OF=a,则GF=a,BF=a, ∴OB=(+1)a, ∴OD=(+1)a,DF=DO+OF=(2+)a, ∵∠DOG=∠DFE=90°, ∴△DOG∽△DFE, ∴=()2=[]2=, ∴S△DOG:S四边形OGEF=1:1. 故选D. 二、填空题(每小题3分,共24分) 9.(3分)(2014•鞍山)如图,直线l1∥l2,AB⊥EF,∠1=20°,那么∠2= 70° . 【考点】平行线的性质.21世纪教育网 【分析】根据平行线的性质求出∠3,根据三角形的外角性质得出∠2=∠FOB﹣∠3,代入求出即可. 【解答】解: ∵l1∥l2,∠1=20°, ∴∠3=∠1=20°, ∵AB⊥EF, ∴∠FOB=90°, ∴∠2=∠FOB﹣∠3=70°, 故答案为:70°. 10.(3分)(2014•鞍山)在五张完全相同的卡片上,分别画有等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆,现从中随机抽出一张,卡片上的图形是中心对称图形的概率是 . 【考点】概率公式;中心对称图形.21世纪教育网 【分析】由五张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、平行四边形、菱形、正方形、圆,其中是中心对称图形的有有平行四边形、正方形、菱形、圆,然后直接利用概率公式求解即可求得答案. 【解答】解:∵在等边三角形、平行四边形、正方形、菱形、圆中,是中心对称图形的有平行四边形、正方形、菱形、圆, ∴现从中任意抽取一张,卡片上所画的图形是中心对称图形的概率为:; 故答案为:. 11.(3分)(2014•鞍山)对于实数a,b,我们定义一种运算“※”为:a※b=a2﹣ab,例如1※3=12﹣1×3.若x※4=0,则x= 0或4 . 【考点】解一元二次方程-因式分解法.21世纪教育网 【分析】先认真阅读题目,根据题意得出方程x2﹣4x=0,解方程即可. 【解答】解:∵x※4=0, ∴x2﹣4x=0, ∴x(x﹣4)=0, ∴x=0,x﹣4=0, ∴x=0或4, 故答案为:0或4. 12.(3分)(2014•鞍山)学校以德智体三项成绩来计算学生的平均成绩,三项成绩的比例依次为1:3:1,小明德智体三项成绩分别为98分,95分,96分,则小明的平均成绩为 95.8 分.21教育网 【考点】加权平均数.21世纪教育网 【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可. 【解答】解:根据题意得: (98×1+95×3+96×1)÷5=95.8(分), 答:小明的平均成绩为95.8分. 故答案为:95.8. 13.(3分)(2014•鞍山)如图,H是△ABC的边BC的中点,AG平分∠BAC,点D是AC上一点,且AG⊥BD于点G.已知AB=12,BC=15,GH=5,则△ABC的周长为 49 . 【考点】三角形中位线定理;等腰三角形的判定与性质.21世纪教育网 【分析】判断出△ABD是等腰三角形,根据等腰三角形三线合一的性质可得BG=DG,然后求出GH是△BCD的中位线,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得CD=2GH,然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解. 【解答】解:∵AG平分∠BAC,AG⊥BD, ∴△ABD是等腰三角形, ∴AB=AD,BG=DG, 又∵H是△ABC的边BC的中点, ∴出GH是△BCD的中位线, ∴CD=2GH=2×5=10, ∴△ABC的周长=12+15+(12+10)=49. 故答案为:49. 14.(3分)(2014•鞍山)在△ABC纸板中,AB=3cm,BC=4cm,AC=5cm,将△ABC纸板以AB所在直线为轴旋转一周,则所形成的几何体的侧面积为 20π cm2(结果用含π的式子表示). 【考点】圆锥的计算;点、线、面、体;勾股定理的逆定理.21世纪教育网 【分析】易得此几何体为圆锥,那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2. 【解答】解:∵在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=5, ∴△ABC为直角三角形, ∴底面周长=8π,侧面积=×8π×5=20πcm2. 故答案为:20π. 15.(3分)(2014•鞍山)如图,△ABC的内心在x轴上,点B的坐标是(2,0),点C的坐标是(0,﹣2),点A的坐标是(﹣3,b),反比例函数y=(x<0)的图象经过点A, 则k= ﹣15 . 【考点】三角形的内切圆与内心;反比例函数图象上点的坐标特征.21世纪教育网 【分析】根据内心的性质得OB平分∠ABC,再由点B的坐标是(2,0),点C的坐标是(0,﹣2)得到△OBC为等腰直角三角形,则∠OBC=45°,所以∠ABC=90°,利用勾股定理有AB2+BC2=AC2,根据两点间的距离公式得到(﹣3﹣2)2+b2+22+22=(﹣3)2+(b+2)2,解得b=5,然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求k的值. 【解答】解:∵△ABC的内心在x轴上, ∴OB平分∠ABC, ∵点B的坐标是(2,0),点C的坐标是(0,﹣2), ∴OB=OC, ∴△OBC为等腰直角三角形, ∴∠OBC=45°, ∴∠ABC=90°, ∴AB2+BC2=AC2, ∴(﹣3﹣2)2+b2+22+22=(﹣3)2+(b+2)2,解得b=5, ∴A点坐标为(﹣3,5), ∴k=﹣3×5=﹣15. 故答案为﹣15. 16.(3分)(2014•鞍山)如图,在平面直角坐标系中有一个等边△OBA,其中A点坐标为(1,0).将△OBA绕顶点A顺时针旋转120°,得到△AO1B1;将得到的△AO1B1绕顶点B1顺时针旋转120°,得到△B1A1O2;然后再将得到的△B1A1O2绕顶点O2顺时针旋转120°,得到△O2B2A2…按照此规律,继续旋转下去,则A2014点的坐标为 (3022,0) . 【考点】坐标与图形变化-旋转.21世纪教育网 【分析】计算出A1、A2、A3、A4的坐标,推出An的坐标,代入2014即可得到A2014的坐标. 【解答】解:A1=,A2=+=,A3=+=,A4=+=. An=, A2014=3022. 三、解答题(每小题8分,共24分) 17.(8分)(2014•鞍山)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中x=﹣2. 【考点】分式的化简求值.21世纪教育网 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值.【来源:21cnj*y.co*m】 【解答】解:原式=•=x+2, 当x=﹣2时,原式=﹣2+2=. 18.(8分)(2014•鞍山)在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标A(﹣4,1),B(﹣2,1),C(﹣2,3)【版权所有:21教育】 (1)作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1; (2)将△ABC向下平移4个单位长度,作出平移后的△A2B2C2; (3)求四边形AA2B2C的面积. 【考点】作图-轴对称变换;作图-平移变换.21世纪教育网 【分析】(1)分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点,然后顺次连接; (2)分别作出点A、B、C向下平移4个单位长度后的点,然后顺次连接; (3)根据梯形的面积公式求出四边形AA2B2C的面积即可. 【解答】解:(1)(2)所作图形如图所示: ; (3)四边形AA2B2C的面积为:(4+6)×2=10. 即四边形AA2B2C的面积为10. 19.(8分)(2014•鞍山)数学小组的同学为了解2014年某小区家庭月均用水情况,随机调查了该小区部分家庭,并将数据进行了整理: 月均用水量x(t) 频数 频率 0<x≤5 12 0.15 5<x≤10 16 0.20 10<x≤15 a 0.35 15<x≤20 12 0.15 20<x≤25 8 b 25<x≤30 4 0.05 请回答以下问题: (1)根据表中数据可得到a= 28 ,b= 0.10 ,并将频数分布直方图中10<x≤15的部分补充完整; (2)求月均用水量不超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比; (3)若该小区有1200户家庭,根据调查数据估计,该小区月均用水量超过25t的家庭大约有多少户? 【考点】频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表.21世纪教育网 【分析】(1)根据0<x≤5中频数为12,频率为0.15,则调查总户数为12÷0.15=80,进而得出a、b的值; (2)根据(1)中所求即可得出不超过20t的家庭总数即可求出,不超过20t的家庭占被调查家庭总数的百分比; (3)根据样本数据中超过25t的家庭数,即可得出1000户家庭超过20t的家庭数. 【解答】解:(1)如图所示:根据0<x≤5中频数为12,频率为0.15, 则12÷0.15=80,a=80×0.15=28户,b=8÷80=0.10, 故频数分布直方图为: ; (2)×100%=85%; (3)1200×0.05=60户, 答:该小区月均用水量超过25t的家庭大约有60户. 四、解答题(每小题10分,共20分) 20.(10分)(2014•鞍山)学习概率知识以后,小庆和小丽设计了一个游戏.在一个不透明的布袋A里面装有三个分别标有数字5,6,7的小球(小球除数字不同外,其余都相同);同时制作了一个可以自由转动的转盘B,转盘B被平均分成2部分,在每一部分内分别标上数字3,4.现在其中一人从布袋A中随机摸取一个小球,记下数字为x;另一人转动转盘B,转盘停止后,指针指向的数字记为y(若指针指在边界线上时视为无效,重新转动),从而确定点P的坐标为P(x,y). (1)请用树状图或列表的方法写出所有可能得到的点P的坐标; (2)若S=xy,当S为奇数时小庆获胜,否则小丽获胜,你认为这个游戏公平吗?对谁更有利呢? 【考点】游戏公平性;列表法与树状图法.21世纪教育网 【分析】(1)列表得出所有等可能的情况,写出即可; (2)找出S为奇数的情况有,求出小庆获胜的概率,进而求出小丽获胜的概率,比较即可得到结果. 【解答】解:(1)列表如下: 3 4 5 (5,3) (5,4) 6 (6,3) (6,4) 7 (7,3) (7,4) 由表格得所有可能得到的点P坐标为(5,3);(6,3);(7,3);(5,4);(6,4);(7,4),共6种; (2)S为奇数的情况有(5,3);(7,3)共2种,即P(小庆获胜)==;P(小丽获胜)=1﹣=, ∵<, ∴该游戏不公平,对小丽更有利. 21.(10分)(2014•鞍山)甲乙两人在一环形场地上锻炼,甲骑自行车,乙跑步,甲比乙每分钟快200m,两人同时从起点同向出发,经过3min两人首次相遇,此时乙还需跑150m才能跑完第一圈. (1)求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米?(列方程或者方程组解答) (2)若两人相遇后,甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车,乙仍按原方向继续跑,要想不超过1.2min两人再次相遇,则乙的速度至少要提高每分钟多少米? 【考点】一元一次方程的应用.21世纪教育网 【分析】(1)可设乙的速度是每分钟x米,则甲的速度是每分钟(x+200)米,两人同向而行相遇属于追及问题,等量关系为:甲路程与乙路程的差=环形场地的路程,列出方程即可求解; (2)在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题,等量关系为:甲路程+乙路程=环形场地的路程,列出算式求解即可. 【解答】解:(1)设乙的速度是每分钟x米,则甲的速度是每分钟(x+200)米,依题意有 3x+150=200×3, 解得x=150, x+200=150+200=350. 答:甲的速度是每分钟350米,乙的速度是每分钟150米. (2)(200×3﹣300×1.2)÷1.2 =(600﹣360)÷1.2 =240÷1.2 =200(米), 200﹣150=50(米). 答:乙的速度至少要提高每分钟50米. 五、解答题(每小题10分,共20分) 22.(10分)(2014•鞍山)如图,课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE,DE所在直线与水平线AN垂直.他们在A处测得塔尖D的仰角为45°,再沿着射线AN方向前进50米到达B处,此时测得塔尖D的仰角∠DBN=61.4°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米?(结果精确到个位)(参考数据:sin25.6°≈0.4,cos25.6°≈0.9,tan25.6°≈0.5,sin61.4°≈0.9,cos61.4°≈0.5,tan61.4°≈1.8) 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.21世纪教育网 【分析】根据锐角三角函数关系表示出BF的长,进而求出EF的长,进而得出答案. 【解答】解:延长DE交AB延长线于点F,则∠DFA=90°, ∵∠A=45°, ∴AF=DF, 设EF=x, 则tan25.6°==0.5, 故BF=2x, 则AF=50+2x, 故tan61.4°===1.8, 解得;x≈31, 故DE=50+31×2﹣31=81(m), 答:塔高DE大约是81米. 23.(10分)(2014•鞍山)如图,在△ABC中,∠C=60°,⊙O是△ABC的外接圆,点P在直径BD的延长线上,且AB=AP.【来源:21·世纪·教育·网】 (1)求证:PA是⊙O的切线; (2)若AB=2,求图中阴影部分的面积.(结果保留π和根号) 【考点】切线的判定;扇形面积的计算.21世纪教育网 【分析】(1)如图,连接OA;证明∠OAP=90°,即可解决问题. (2)如图,作辅助线;求出OM=1,OA=2;求出△AOB、扇形AOB的面积,即可解决问题. 【解答】解:(1)如图,连接OA; ∵∠C=60°, ∴∠AOB=120°;而OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA=30°;而AB=AP, ∴∠P=∠ABO=30°; ∵∠AOB=∠OAP+∠P, ∴∠OAP=120°﹣30°=90°, ∴PA是⊙O的切线. (2)如图,过点O作OM⊥AB,则AM=BM=, ∵tan30°=,sin30°=, ∴OM=1,OA=2; ∴=××1=, =, ∴图中阴影部分的面积=. 六、解答题(本题满分12分) 24.(12分)(2014•鞍山)小明家今年种植的草莓喜获丰收,采摘上市20天全部销售完,爸爸让他对今年的销售情况进行跟踪记录,小明利用所学的数学知识将记录情况绘成图象(所得图象均为线段),日销售量y(单位:千克)与上市时间x(单位:天)的函数关系如图1所示,草莓的价格w(单位:元/千克)与上市时间x(单位:天)的函数关系如图2所示. (1)观察图象,直接写出当0≤x≤11时,日销售量y与上市时间x之间的函数解析式为 y=x ;当11≤x≤20时,日销售量y与上市时间x之间的函数解析式为 y=﹣10x+200 . (2)试求出第11天的销售金额; (3)若上市第15天时,爸爸把当天能销售的草莓批发给了邻居马叔叔,批发价为每千克15元,马叔叔到市场按照当日的价格w元/千克将批发来的草莓全部销售完,他在销售的过程中,草莓总质量损耗了2%.那么,马叔叔支付完来回车费20元后,当天能赚到多少元? 【考点】二次函数的应用.21世纪教育网 【分析】(1)当0≤x≤11时,设y与x之间的函数关系式为y=kx,当11≤x≤20时设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b,由待定系数法求出其解即可; (2)当3≤x<16时,设w与x的关系式为w=k2x+b2,当x=11时,代入解析式求出w的值,由销售金额=单价×数量就可以求出结论; (3)当x=15时代入(1)的解析式求出y的值,再当x=15时代入(2)的解析式求出w的值,再由利润=销售总额﹣进价总额﹣车费就可以得出结论. 【解答】解:(1)当0≤x≤11时,设y与x之间的函数关系式为y=kx,当11≤x≤20时设y与x之间的函数关系式为y=k1x+b,由题意,得 90=11k,, 解得:k=,, ∴y=, 故答案为:y=x,y=﹣10x+200; (2)当3≤x<16时,设w与x的关系式为w=k2x+b2,由题意,得 , 解得:, ∴w=﹣x+33. 当x=11时, y=90,w=22, ∴90×22=1980元. 答:第11天的销售总额为1980元; (3)由题意,得 当x=15时, y=﹣10×15+200=50千克. w=﹣15+33=18元, 利润为:50(1﹣2%)×18﹣50×15﹣20=112元. 答:当天能赚到112元. 七、解答题(本题满分12分) 25.(12分)(2014•鞍山)如图,在直角△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=45°,点F为直线AD上任意一点,过点A作直线AC⊥BF,垂足为点E,直线AC交直线BD于点C.过点F作FG∥BD,交直线AB于点G. (1)如图1,点F在边AD上,则线段FG,DC,BD之间满足的数量关系是 FG+DC=BD ; (2)如图2,点F在边AD的延长线上,则线段FG,DC,BD之间满足的数量关系是 FG=DC+BD ,证明你的结论; (3)如图3,在(2)的条件下,若DF=6,GF=10,将一个45°角的顶点与点B重合,并绕点B旋转,这个角的两边分别交线段FG于M,N两点,当FM=2时,求线段NG的长. 【考点】几何变换综合题.21世纪教育网 【分析】(1)先证明△BDF≌△ADC,得出DF=DC,再证明FG=AF,即可得出结论; (2)过点B作BH⊥GF于点H,由△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形.得出AD=BD,AF=FG,再证明△ADC≌△BDF,得出DC=DF,即可得出结论; (3)作NP⊥AG于P,由四边形DFHB是矩形,△PGN是等腰直角三角形,得出BH=DF=6,PG=PN,设PG=PN=x,则NG=x,再证出∠PBN=∠MBH,得出tan∠PBN=tan∠MBH=,得BP=3PN=3x,列出方程x+3x=6,解方程即可得出结果. 【解答】解:(1)FG+DC=BD;理由: ∵∠ADB=90°,∠ABD=45°, ∴∠ADC=90°,∠BAD=45°, ∴AD=BD,∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°, ∴∠DBF=∠DAC, 在△BDF和△ADC中, , ∴△BDF≌△ADC(ASA), ∴DF=DC, ∵FG∥BD, ∴∠AFG=∠ADB=90°,∠AGF=∠ABD=45°, ∴FG=AF, ∴FG+DC=AF+DF=AD=BD; (2)FG=DC+BD;理由如下: 过点B作BH⊥GF于点H,如图2所示: 则四边形DFHB是矩形, ∵在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=45°,FG∥BD, ∴△ABD 和△AGF都是等腰直角三角形, ∴AD=BD,AF=FG, ∵AC⊥BF, ∴∠CEB=90°, ∴∠C+∠CBE=90°, ∵∠C+∠DAC=90°,∠CBE=∠DBF, ∴∠DAC=∠DBF,∠ADB=90°, 在△ADC和△BDF中, , ∴△ADC≌△BDF(ASA), ∴DC=DF, ∴AF=DF+AD=DC+BD, ∴FG=DC+BD; (3)作NP⊥AG于P,如图3所示: 则四边形DFHB是矩形,△PGN是等腰直角三角形, ∴BH=DF=6,PG=PN, 设PG=PN=x,则NG=x, ∵∠G=45°, ∴GH=BH=6,BG=6,∠GBH=45°, ∵∠MBN=45°, ∴∠PBN=∠MBH, ∴tan∠PBN=tan∠MBH==, ∴BP=3PN=3x, ∴PG+BP=x+3x=4x=6, 解得:x=, ∴NG=×=3. 八、解答题(本题满分14分) 26.(14分)(2014•鞍山)如图,在平面直角坐标系中,将抛物线y=x2先向右平移1个单位,再向下平移个单位,得到新的抛物线y=ax2+bx+c,该抛物线与y轴交于点B,与x轴正半轴交于点C.【出处:21教育名师】 (1)求点B和点C的坐标; (2)如图1,有一条与y轴重合的直线l向右匀速平移,移动的速度为每秒1个单位,移动的时间为t秒,直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于点P,当点P在x轴上方时,求出使△PBC的面积为2的t值;21教育名师原创作品 (3)如图2,将直线BC绕点B逆时针旋转,与x轴交于点M(1,0),与抛物线y=ax2+bx+c交于点A,在y轴上有一点D(0,),在x轴上另取两点E,F(点E在点F的左侧),EF=2,线段EF在x轴上平移,当四边形ADEF的周长最小时,先简单描述如何确定此时点E的位置?再直接写出点E的坐标. 【考点】二次函数综合题.21世纪教育网 【分析】(1)根据条件即可写出新抛物线的解析式,然后只需令x=0就可得到点B的坐标,令y=0就可得到点C的坐标; (2)过点P作PH⊥y轴于点H,如图1,则有PH=t,然后运用割补法表示出△BCP的面积,根据条件“△PBC的面积为2”可用t的代数式表示出OH,从而得到点P的坐标(用t的代数式表示),然后将点P的坐标代入新抛物线的解析式就可解决问题; (3)由于AD、EF是定值,要使四边形ADEF的周长最小,只需DE+AF最小,由于DE与AF不相连,可将AF向左平移2个单位到A′E,从而将问题转化为DE+EA′最小,可作点D关于x轴的对称点D′,则有D′E=DE,从而将问题转化为D′E+EA′最小,根据两点之间线段最短可知当D′、E、A′三点共线时,D′E+EA′最小;要求四边形ADEF的周长最小时对应的点E的坐标,只需依次求出直线BM的解析式、点A的坐标,点A′的坐标,点D关于x轴的对称点D′的坐标,直线A′D′的解析式,直线A′D′与x轴的交点E′的坐标,就可解决问题. 【解答】解:(1)将抛物线y=x2先向右平移1个单位,再向下平移个单位, 得到新的抛物线的解析式为y=(x﹣1)2﹣. 当x=0时,y=﹣=﹣,则点B的坐标为(0,﹣); 令y=0,得(x﹣1)2﹣=0, 解得:x1=3,x2=﹣1, ∵点C在x轴正半轴上, ∴点C的坐标为(3,0); (2)过点P作PH⊥y轴于点H,如图1, 由题可得PH=1×t=t. ∵点B(0,﹣),点C(3,0), ∴OB=,OC=3, ∴S△BCP=S梯形PHOC+S△BOC﹣S△PHB =(PH+OC)•OH+OB•OC﹣BH•PH =(t+3)•OH+××3﹣(OH+)•t =OH+﹣t=2, 解得:OH=t+, ∴点P的坐标为(t,t+). ∵点P在抛物线y=(x﹣1)2﹣上, ∴(t﹣1)2﹣=t+, 解得:t1=4,t2=﹣1 ∵点P在第一象限, ∴t=4; (3)将点A向左平移2个单位到点A′,作点D关于x轴的对称点D′,连接A′D′,交x轴于点E′, 当点E运动到点E′时,四边形ADEF的周长最小,此时点E的坐标为(,0). 解题思路如下: 先用待定系数法求出BM的解析式,为y=x﹣, 然后将直线BM与抛物线的解析式组成方程组,求出它们的一个交点A的坐标,为(5,4), 从而可得点A向左平移2个单位所对应的点A′的坐标,为(3,4), 由点D(0,)可得到该点关于x轴的对称点D′的坐标,为(0,﹣), 然后运用待定系数法求出直线A′D′的解析式,为y=x﹣, 然后令y=0,就可得到直线A′D′与x轴的交点E′的坐标,为(,0).- 配套讲稿:
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