2014年辽宁省阜新市中考数学试卷（含解析版）.doc

2014年辽宁省阜新市中考数学试卷
一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，共18分.）
1．（3分）(2014年辽宁阜新）﹣2的倒数是（　　）
　 A．﹣ B． C． ﹣2 D． 2
2．（3分）(2014年辽宁阜新）如图的几何体是由4个完全相同的正方体组成的，这个几何体的左视图是（　　）

　 A． B． C． D．
3．（3分）(2014年辽宁阜新）在某校开展的“厉行节约，你我有责”活动中，七年级某班对学生7天内收集饮料瓶的情况统计如下（单位：个）：76，90，64，100，84，64，73．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
　 A．64，100 B． 64，76 C． 76，64 D． 64，84
4．（3分）(2014年辽宁阜新）△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A（4，2），则点A1的坐标是（　　）

　 A．（4，﹣2） B． （﹣4，﹣2） C． （﹣2，﹣3） D． （﹣2，﹣4）
5．（3分）(2014年辽宁阜新）反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
　 A．m＜0 B． m＞0 C． m＞﹣1 D． m＜﹣1

考生请注意：6、7题为二选一的选做题，即只能选做其中一个题目.多答时只按作答的首题评分，切记！
6．（3分）(2014年辽宁阜新）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，那么11只饭碗摞起来的高度更接近（　　）
　 A．21cm B． 22cm C． 23cm D． 24cm
7．(2014年辽宁阜新）对于一次函数y=kx+k﹣1（k≠0），下列叙述正确的是（　　）
　 A． 当0＜k＜1时，函数图象经过第一、二、三象限
　 B． 当k＞0时，y随x的增大而减小
　 C． 当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴
　 D． 函数图象一定经过点（﹣1，﹣2）

二、填空题（每小题3分，共18分.）
8．（3分）(2014年辽宁阜新）函数中，自变量x的取值范围是 ．
9．（3分）(2014年辽宁阜新）任意掷一枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的面的数字大于2的概率是 ．
10．（3分）(2014年辽宁阜新）如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2= 度．

11．（3分）(2014年辽宁阜新）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B= 度．

12．（3分）(2014年辽宁阜新）已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是 ．
考生请注意：13、14题为二选一的选做题，即只能选做其中一个题目.多答时只按作答的首题评分，切记！
13．（3分）(2014年辽宁阜新）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是 ．

14．(2014年辽宁阜新）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是 ．

三、解答题（15、16、17、18题每题10分，19、20题每题12分，共64分.）
15．（10分）(2014年辽宁阜新）（1）计算：+（2014﹣π）0﹣4cos30°；
（2）先化简，再求值：（x+）÷，其中x=+1．

16．（10分）(2014年辽宁阜新）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为 ；
（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．

17．（10分）(2014年辽宁阜新）“分组合作学习”成为我市推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“分组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：
分组前学生学习兴趣分组后学生学习兴趣

请结合图中信息解答下列问题：
（1）求出分组前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为 ；
（2）补全分组后学生学习兴趣的统计图；
（3）通过“分组合作学习”前后对比，请你估计全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有多少人？请根据你的估计情况谈谈对“分组合作学习”这项举措的看法．

18．（10分）(2014年辽宁阜新）在“玉龙”自行车队的一次训练中，1号队员以高于其他队员10千米/时的速度独自前行，匀速行进一段时间后，又返回队伍，在往返过程中速度保持不变．设分开后行进的时间为x（时），1号队员和其他队员行进的路程分别为y1、y2（千米），并且y1、y2与x的函数关系如图所示：
（1）1号队员折返点A的坐标为 ，如果1号队员与其他队员经过t小时相遇，那么点B的坐标为 ；（用含t的代数式表示）
（2）求1号队员与其他队员经过几小时相遇？
（3）在什么时间内，1号队员与其他队员之间的距离大于2千米？

19．（12分）(2014年辽宁阜新）已知，在矩形ABCD中，连接对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，并将它沿直线AB向左平移，直线EG与BC交于点H，连接AH，CG．
（1）如图①，当AB=BC，点F平移到线段BA上时，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；
（2）如图②，当AB=BC，点F平移到线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）如图③，当AB=nBC（n≠1）时，对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想．

20．（12分）(2014年辽宁阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；
（2）如图①，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中﹣3＜m＜0，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2014年辽宁省阜新市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（在每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题3分，共18分.）
1．（3分）(2014年辽宁阜新）﹣2的倒数是（　　）
　 A．﹣ B． C． ﹣2 D． 2
分析：根据倒数的定义即可求解．
解答：解：﹣2的倒数是﹣．
故选：A．
点评：主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．（3分）(2014年辽宁阜新）如图的几何体是由4个完全相同的正方体组成的，这个几何体的左视图是（　　）

　 A． B． C． D．

考点：简单组合体的三视图．
专题：常规题型．
分析：细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
解答：解：从左边看去，左边是两个正方形，右边是一个正方形，即可得出答案，
故选：C．
点评：本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，关键是掌握几何体的三视图及空间想象能力．

3．（3分）(2014年辽宁阜新）在某校开展的“厉行节约，你我有责”活动中，七年级某班对学生7天内收集饮料瓶的情况统计如下（单位：个）：76，90，64，100，84，64，73．则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
　 A．64，100 B． 64，76 C． 76，64 D． 64，84

考点：众数；中位数．
专题：常规题型．
分析：根据众数和中位数的概念求解．
解答：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：64，64，73，76，84，90，100，
则众数为：64，
中位数为：76．
故选：B．
点评：本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

4．（3分）(2014年辽宁阜新）△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A（4，2），则点A1的坐标是（　　）

　 A．（4，﹣2） B． （﹣4，﹣2） C． （﹣2，﹣3） D． （﹣2，﹣4）

考点：关于原点对称的点的坐标．
专题：几何图形问题．
分析：根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
解答：解：∵A和A1关于原点对称，A（4，2），
∴点A1的坐标是（﹣4，﹣2），
故选：B．
点评：此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

5．（3分）(2014年辽宁阜新）反比例函数y=在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是（　　）
　 A．m＜0 B． m＞0 C． m＞﹣1 D． m＜﹣1

考点：反比例函数的性质．
专题：计算题．
分析：根据反比例函数的性质得m+1＜0，然后解不等式即可．
解答：解：根据题意得m+1＜0，
解得m＜﹣1．
故选：D．
点评：本题考查了反比例函数的性质：反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

考生请注意：6、7题为二选一的选做题，即只能选做其中一个题目.多答时只按作答的首题评分，切记！
6．（3分）(2014年辽宁阜新）为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，那么11只饭碗摞起来的高度更接近（　　）
　 A．21cm B． 22cm C． 23cm D． 24cm

考点：二元一次方程组的应用．
专题：方程思想．
分析：设碗的个数为xcm，碗的高度为ycm，可得碗的高度和碗的个数的关系式为y=kx+b，根据6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起来的高度为20cm，列方程组求解，然后求出11只饭碗摞起来的高度．
解答：解：设碗身的高度为xcm，碗底的高度为ycm，
由题意得，，
解得：，
则11只饭碗摞起来的高度为：×11+5=23（cm）．
更接近23cm．
故选：C．
点评：本题考查了二元一次方程组的应用，关键是根据题意，找出合适的等量关系，列方程组求解．

7．(2014年辽宁阜新）对于一次函数y=kx+k﹣1（k≠0），下列叙述正确的是（　　）
　 A． 当0＜k＜1时，函数图象经过第一、二、三象限
　 B． 当k＞0时，y随x的增大而减小
　 C． 当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴
　 D． 函数图象一定经过点（﹣1，﹣2）

考点：一次函数图象与系数的关系．
专题：常规题型．
分析：根据一次函数图象与系数的关系对A、B、C进行判断；根据一次函数图象上点的坐标特征对D进行判断．
解答：解：A、当0＜k＜1时，函数图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、当k＞0时，y随x的增大而增大，所以B选项错误；
C、当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴，所以C选项正确；
D、把x=﹣1代入y=kx+k﹣1得y=﹣k+k﹣1=﹣1，则函数图象一定经过点（﹣1，﹣1），所以D选项错误．
故选：C．
点评：本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．

二、填空题（每小题3分，共18分.）
8．（3分）(2014年辽宁阜新）函数中，自变量x的取值范围是　x≥﹣4　．

考点：函数自变量的取值范围．
专题：计算题．
分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
解答：解：根据题意得：x+4≥0，
解得：x≥﹣4．
故答案为：x≥﹣4．
点评：本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

9．（3分）(2014年辽宁阜新）任意掷一枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），朝上的面的数字大于2的概率是　　．

考点：概率公式．
专题：常规题型．
分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数，②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解答：解：∵投掷一次会出现1，2，3，4，5，6共六种情况，并且出现每种可能都是等可能的，
∴朝上的面的数字大于2的概率是：=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比，比较简单．

10．（3分）(2014年辽宁阜新）如图，直线a∥b，AB⊥BC，如果∠1=48°，那么∠2=　42　度．

考点：平行线的性质；垂线．
专题：计算题．
分析：根据垂线的性质和平行线的性质进行解答．
解答：解：如图，∵AB⊥BC，∠1=48°，
∴∠3=90°﹣48°=42°．
又∵直线a∥b，
∴∠2=∠3=42°．
故答案为：42．

点评：本题考查了平行线的性质．此题利用了“两直线平行，同位角相等”的性质．

11．（3分）(2014年辽宁阜新）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，如果∠AOC=100°，那么∠B=　50　度．

考点：圆周角定理．
专题：计算题．
分析：直接根据圆周角定理求解．
解答：解：∠B=∠AOC=×100°=50°．
故答案为：50．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

12．（3分）(2014年辽宁阜新）已知△ABC∽△DEF，其中AB=5，BC=6，CA=9，DE=3，那么△DEF的周长是　12　．

考点：相似三角形的性质．
专题：计算题．
分析：根据相似的性质得=，即=，然后利用比例的性质计算即可．
解答：解：∵△ABC∽△DEF，
∴=，即=，
∴△DEF的周长=12．
故答案为：12．
点评：本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．

考生请注意：13、14题为二选一的选做题，即只能选做其中一个题目.多答时只按作答的首题评分，切记！
13．（3分）(2014年辽宁阜新）如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，如果AB：AD=2：3，那么tan∠EFC值是　　．

考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：几何图形问题．
分析：根据AB：AD=2：3，以及折叠的性质表示出三角形ABF的各边长，然后利用等角变换得出∠BAF=∠CFE，继而可得出答案．
解答：解：∵AB：AD=2：3，
∴在Rt△ABF中，设AB=2x，AF=AD=BC=3x，
则BF=，
又∵∠EFC+∠AFB=90°，∠AFB+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
故tan∠EFC=tan∠BAF=．
故答案为：．
点评：本题考查了翻折变换及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是解直角三角形ABF，另外要得出重要的一点是∠BAF=∠CFE．

14．(2014年辽宁阜新）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是　x1=0，x2=2　．

考点：抛物线与x轴的交点．
专题：计算题．
分析：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3求出a，b的值，再代入ax2+bx=0解方程即可．
解答：解：把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3
得，
解得，
代入ax2+bx=0
得，﹣x2+2x=0，
解得x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
点评：本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是求出a，b的值．

三、解答题（15、16、17、18题每题10分，19、20题每题12分，共64分.）
15．（10分）(2014年辽宁阜新）（1）计算：+（2014﹣π）0﹣4cos30°；
（2）先化简，再求值：（x+）÷，其中x=+1．

考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
专题：计算题．
分析：（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
解答：解：（1）原式=2+1﹣4×=1；

（2）原式=•=•=，
当x=+1时，
原式==．
点评：此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（10分）(2014年辽宁阜新）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，其中点A（5，4），B（1，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1；
（2）在旋转过程中点B所经过的路径长为　π　；
（3）求在旋转过程中线段AB、BO扫过的图形的面积之和．

考点：作图-旋转变换；勾股定理；弧长的计算；扇形面积的计算．
专题：作图题．
分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用勾股定理列式求OB，再利用弧长公式计算即可得解；
（3）利用勾股定理列式求出OA，再根据AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB求解，再求出BO扫过的面积=S扇形B1OB，然后计算即可得解．
解答：解：（1）△A1OB1如图所示；

（2）由勾股定理得，BO==，
所以，点B所经过的路径长==π；
故答案为：π．

（3）由勾股定理得，OA==，
∵AB所扫过的面积=S扇形A1OA+S△A1B1O﹣S扇形B1OB﹣S△AOB=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB，
BO扫过的面积=S扇形B1OB，
∴线段AB、BO扫过的图形的面积之和=S扇形A1OA﹣S扇形B1OB+S扇形B1OB，
=S扇形A1OA，
=，
=π．

点评：本题考查了利用旋转变换作图，弧长公式，扇形的面积，勾股定理，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，难点在于（3）表示出两线段扫过的面积之和等于扇形的面积．

17．（10分）(2014年辽宁阜新）“分组合作学习”成为我市推动课堂教学改革，打造自主高效课堂的重要举措．某中学从全校学生中随机抽取100人作为样本，对“分组合作学习”实施前后学生的学习兴趣变化情况进行调查分析，统计如下：
分组前学生学习兴趣分组后学生学习兴趣

请结合图中信息解答下列问题：
（1）求出分组前学生学习兴趣为“高”的所占的百分比为　30%　；
（2）补全分组后学生学习兴趣的统计图；
（3）通过“分组合作学习”前后对比，请你估计全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有多少人？请根据你的估计情况谈谈对“分组合作学习”这项举措的看法．

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
专题：图表型．
分析：（1）用1减去学习兴趣为“极高”、“中”、“低”的所占的百分比即是学习兴趣为“高”的所占的百分比；
（2）用总人数100人减去学生学习兴趣为“极高”、“高”、“低”的人数可得学习兴趣为“中”的人数，再补全分组后学生学习兴趣的统计图即可；
（3）先求出100人中学习兴趣获得提高的学生所占的百分比，再乘以2000即可．
解答：解：（1）1﹣25%﹣25%﹣20%=30%，
故答案为：30%；
（2）100﹣30﹣35﹣5=30（人），
分组后学生学习兴趣的统计图如下：

（3）分组前学生学习兴趣“中”的有100×25%=25（人），分组后提高了30﹣25=5（人）；
分组前学生学习兴趣“高”的有100×30%=30（人），分组后提高了35﹣30=5（人）；
分组前学生学习兴趣为“极高”的有100×25%=25（人），分组后提高了30﹣25=5（人），
2000×=300（人）．
答：全校2000名学生中学习兴趣获得提高的学生有300人，“分组合作学习”大大提高了学生的学习兴趣，要全力推行这种课堂教学模式．
点评：本题主要考查了条形统计图，用样本估计总体及扇形统计图，解题的关键是把条形统计图和扇形统计图中的数据正确的结合起来求解．

18．（10分）(2014年辽宁阜新）在“玉龙”自行车队的一次训练中，1号队员以高于其他队员10千米/时的速度独自前行，匀速行进一段时间后，又返回队伍，在往返过程中速度保持不变．设分开后行进的时间为x（时），1号队员和其他队员行进的路程分别为y1、y2（千米），并且y1、y2与x的函数关系如图所示：
（1）1号队员折返点A的坐标为　（，10）　，如果1号队员与其他队员经过t小时相遇，那么点B的坐标为　（t，35t）　；（用含t的代数式表示）
（2）求1号队员与其他队员经过几小时相遇？
（3）在什么时间内，1号队员与其他队员之间的距离大于2千米？

考点：一次函数的应用．
专题：数形结合．
分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据函数值，可得相应的自变量，根据自变量的值，可得函数值；
（2）根据一元一次方程的应用，可得答案；
（3）分类讨论，根据行进时，距离大于2，返回时距离大于2，可得一元一次不等式组，根据解不等式组，可得答案．
解答：解：（1）1号队员折返点A的坐标为 （，10），如果1号队员与其他队员经过t小时相遇，那么点B的坐标为 （t，35t），
故答案为：（，10），（t，35t）；

（2）1号队员的速度是5=45km/h，其它队员的速度是35km/h，根据题意，得
45t+35t=20，
t=0.25，
答：求1号队员与其他队员经过0.25小时相遇；

（3）设x小时时，1号队员与其他队员之间的距离大于2千米，根据题意，得
，
解得：．
答：在时，1号队员与其他队员之间的距离大于2千米．
点评：本题考查了一次函数的应用，利用了函数与自变量的关系，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，题目稍有难度．

19．（12分）(2014年辽宁阜新）已知，在矩形ABCD中，连接对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，并将它沿直线AB向左平移，直线EG与BC交于点H，连接AH，CG．
（1）如图①，当AB=BC，点F平移到线段BA上时，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；
（2）如图②，当AB=BC，点F平移到线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；
（3）如图③，当AB=nBC（n≠1）时，对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想．

考点：四边形综合题；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质；平移的性质；旋转的性质；相似三角形的判定与性质．
专题：证明题；几何综合题．
分析：（1）延长AH与CG交于点T，如图①，易证BH=BG，从而可证到△ABH≌△CBG，则有AH=CG，∠HAB=∠GCB，从而可证到∠HAB+∠AGC=90°，进而可证到AH⊥CG．
（2）延长CG与AH交于点Q，如图②，仿照（1）中的证明方法就可解决问题．
（3）延长AH与CG交于点N，如图③，易证BH∥EF，可得△GBH∽△GFE，则有=，也就有=，从而可证到△ABH∽△CBG，则有==n，∠HAB=∠GCB，进而可证到AH=nCG，AH⊥CG．
解答：解：（1）AH=CG，AH⊥CG．
证明：延长AH与CG交于点T，如图①，
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠CBG=90°，∠EGF=45°．
∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠EGF．
∴BH=BG．
在△ABH和△CBG中，
，
∴△ABH≌△CBG（SAS）．
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．
∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．
∴∠ATC=90°．
∴AH⊥CG．

（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：延长CG与AH交于点Q，如图②，
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，
∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠ABH=90°，∠EGF=45°．
∴∠BGH=∠EGF=45°．
∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠BGH．
∴BH=BG．
在△ABH和△CBG中，
，
∴△ABH≌△CBG（SAS）．
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．
∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°．
∴∠CQA=90°．
∴CG⊥AH．

（3）AH=nCG，AH⊥CG．
理由如下：
延长AH与CG交于点N，如图③，
由旋转和平移的性质可得：EF=AB，FG=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四边形ABCD是矩形，AB=nBC，
∴EF=nGF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠EFG+∠ABC=180°．
∴BH∥EF．
∴△GBH∽△GFE．
∴=．
∵=n=，
∴=．
∵∠ABH=∠CBG，
∴△ABH∽△CBG．
∴==n，∠HAB=∠GCB．
∴AH=nCG，∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．
∴∠ANC=90°．
∴AH⊥CG．

点评：本题通过图形的运动变化，考查了旋转的性质、平移的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，渗透了变中有不变的辨证思想，是一道好题．

20．（12分）(2014年辽宁阜新）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；
（2）如图①，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中﹣3＜m＜0，作直线DP⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形DEFG为矩形．设矩形DEFG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题；等腰三角形的性质；勾股定理的应用．
专题：压轴题．
分析：（1）根据直线y=x+3求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得解析式，最后转化成顶点式即可；
（2）根据P的坐标求得D、E的坐标，然后根据E的坐标求得F的坐标，依次求得DE、EF的长，即可求得矩形的周长L与m的解析式，然后转化成顶点式即可；
（3）先根据A、B的坐标求得AB的长，然后依据题意应用勾股定理即可求得Q的纵坐标，进而求得Q的坐标；
解答：解：（1）由经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．可知A（﹣3，0），B（0，3），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，
∴，
解得：b=﹣2，c=3，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∵顶点C（﹣1，4）；

（2）∵直线DP⊥x轴，点P（m，0），
∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），F（﹣m2﹣2m，﹣m2﹣2m+3），
∴DE=（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）=﹣m2﹣3m，EF=﹣m2﹣2m﹣m=﹣m2﹣3m，
∴L=2DE+2EF=2（﹣m2﹣3m）+2（﹣m2﹣3m）=﹣4m2﹣12m，
即L=﹣4m2﹣12m；
∵L=﹣4m2﹣12m=﹣4（m+）2+9，
∴当m=﹣时，L有最大值；

（3）存在；
理由：∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴AB===3，
∵Q在直线x=﹣1上，
∴设Q（﹣1，n），
∵点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形，
①当AQ=AB=3，
∴22+n2=，
∴n=，或n=﹣，
②当BQ=AB=3，
∴12+（3﹣n）2=
∴n=3+，或n=3﹣
∴Q（﹣1，）；（﹣1，﹣）；（﹣1，3+）或（﹣1，3﹣）
点评：本题考查了直线与x轴的交点坐标，待定系数法求解析式以及解析式的顶点式，勾股定理的应用，函数的最值问题以及等腰三角形的性质等，根据点的坐标依据函数的解析式求得相应点的坐标是本题的关键；