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2013年浙江省温州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）
1．（4分）计算：（﹣2）×3的结果是（　　）
A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．6
2．（4分）小明对九（1）班全班同学“你最喜欢的球类项目是什么？（只选一项）”的问题进行了调查，把所得数据绘制成如图所示的扇形统计图，由图可知，该班同学最喜欢的球类项目是（　　）

A．羽毛球 B．乒乓球 C．排球 D．篮球
3．（4分）下列各图中，经过折叠能围成一个立方体的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（4分）下列各组数可能是一个三角形的边长的是（　　）
A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11
5．（4分）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝﹣3 D．x＝﹣4
6．（4分）已知点P（1，﹣3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
7．（4分）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB＝4，OC＝1，则OB的长是（　　）

A． B． C． D．
8．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（　　）

A． B． C． D．
9．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是（　　）

A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
10．（4分）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2＝，则S3﹣S4的值是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．（5分）因式分解：m2﹣5m＝　 　．
12．（5分）在演唱比赛中，5位评委给一位歌手的打分如下：8.2分，8.3分，7.8分，7.7分，8.0分，则这位歌手的平均得分是　 　分．
13．（5分）如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1＝40°，∠2＝70°，则∠3＝　 　度．

14．（5分）方程x2﹣2x﹣1＝0的解是　 　．
15．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（﹣1，0），BC⊥x轴，将△ABC以y轴为对称轴作轴对称变换，得到△A′B′C′（A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点），直线y＝x+b经过点A，C′，则点C′的坐标是　 　．

16．（5分）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线的交点上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm），从点N沿折线NF﹣FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，不记损耗），则CN，AM的长分别是　 　．

三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
17．（10分）（1）计算：+（）+（）0
（2）化简：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣3）
18．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．

19．（8分）如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点和点P都在小方格的顶点上，按要求画一个三角形，使它的顶点在方格的顶点上．
（1）将△ABC平移，使点P落在平移后的三角形内部，在图甲中画出示意图；
（2）以点C为旋转中心，将△ABC旋转，使点P落在旋转后的三角形内部，在图乙中画出示意图．

20．（10分）如图，抛物线y＝a（x﹣1）2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD，已知点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求梯形COBD的面积．

21．（10分）一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，它们除颜色外都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？
22．（10分）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．

23．（10分）某校举办八年级学生数学素养大赛，比赛共设四个项目：七巧板拼图，趣题巧解，数学应用，魔方复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总分，下表为甲，乙，丙三位同学得分情况（单位：分）

七巧板拼图
趣题巧解
数学应用
魔方复原
甲
66
89
86
68
乙
66
60
80
68
丙
66
80
90
68
（1）比赛后，甲猜测七巧板拼图，趣题巧解，数学应用，魔方复原这四个项目得分分别按10%，40%，20%，30%折算记入总分，根据猜测，求出甲的总分；
（2）本次大赛组委会最后决定，总分为80分以上（包含80分）的学生获一等奖，现获悉乙，丙的总分分别是70分，80分．甲的七巧板拼图、魔方复原两项得分折算后的分数和是20分，问甲能否获得这次比赛的一等奖？
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作▱CDEF．
（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；
（2）当m＝3时，是否存在点D，使▱CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得▱CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．

2013年浙江省温州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分。每小题只有一个选项是正确的，不选，多选，错选，均不给分）
1．【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：（﹣2）×3＝﹣2×3＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，计算时要注意符号的处理．
2．【分析】利用扇形图可得喜欢各类比赛的人数的百分比，选择同学们最喜欢的项目，即对应的扇形的圆心角最大的，由此即可求出答案．
【解答】解：喜欢篮球比赛的人所占的百分比最大，故该班最喜欢的球类项目是篮球．
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形图的定义．在扇形统计图中，各部分占总体的百分比之和为1，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
3．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：A、可以折叠成一个正方体；
B、是“凹”字格，故不能折叠成一个正方体；
C、折叠后有两个面重合，缺少一个底面，所以也不能折叠成一个正方体；
D、是“田”字格，故不能折叠成一个正方体．
故选：A．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体．注意只要有“田”、“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．
4．【分析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
【解答】解：A、因为1+2＜4，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
B、因为4+5＝9，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
C、因为4+6＞8，所以本组数可以构成三角形．故本选项正确；
D、因为5+5＜11，所以本组数不能构成三角形．故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．
5．【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣3＝0，且x+4≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3＝0，且x+4≠0，
解得：x＝3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
6．【分析】把点P（1，﹣3）代入反比例函数y＝，求出k的值即可．
【解答】解：∵点P（1，﹣3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴﹣3＝，解得k＝﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
7．【分析】根据垂径定理可得AC＝BC＝AB，在Rt△OBC中可求出OB．
【解答】解：∵OC⊥弦AB于点C，
∴AC＝BC＝AB，
在Rt△OBC中，OB＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容．
8．【分析】利用正弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：sinA＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9．【分析】根据平行线分线段成比例定理列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
即＝，
解得EC＝8．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键．
10．【分析】首先根据AB、AC的长求得S1+S3和S2+S4的值，然后两值相减即可求得结论．
【解答】解：∵AB＝4，AC＝2，
∴S1+S3＝2π，S2+S4＝，
∵S1﹣S2＝，
∴（S1+S3）﹣（S2+S4）＝（S1﹣S2）+（S3﹣S4）＝π
∴S3﹣S4＝π，
故选：D．
【点评】本题考查了圆的认识，解题的关键是正确的表示出S1+S3和S2+S4的值．
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11．【分析】先确定公因式m，然后提取分解．
【解答】解：m2﹣5m＝m（m﹣5）．
故答案为：m（m﹣5）．
【点评】此题考查了提公因式法分解因式，关键是确定公因式m．
12．【分析】根据算术平均数的计算公式，先求出这5个数的和，再除以5即可．
【解答】解：根据题意得：
（8.2+8.3+7.8+7.7+8.0）÷5＝8（分 ）；
故答案为：8．
【点评】此题考查了算术平均数，用到的知识点是算术平均数的计算公式，熟记公式是解决本题的关键．
13．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠4，再根据对顶角相等解答．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，
∴∠4＝∠1＝40°，
∴∠3＝∠2+∠4＝70°+40°＝110°．
故答案为：110．

【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
14．【分析】首先把常数项2移项后，然后在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方，然后开方即可求得答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，
∴x2﹣2x＝1，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴（x﹣1）2＝2，
∴x＝1±，
∴原方程的解为：x1＝1+，x2＝1﹣．
故答案为：x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程．解题时注意配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
15．【分析】根据轴对称的性质可得OB＝OB′，设C′（1，y），再把AC′的值代入直线y＝x+b即可得出y的值，进而得出点C′的坐标即可．
【解答】解：∵A（﹣2，0），B（﹣1，0），
∴AO＝2，OB＝1，
∵△A′B′C′和△ABC关于y轴对称，
∴OB＝OB′＝1，
∴C′（1，y）
∵直线y＝x+b经过点A，C′，
∴，
∴点C′的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣对称，根据直线解析式的k值等于1得到AB′＝B′C′是解本题的关键．
16．【分析】如图，延长OK交线段MF于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′，设圆孔半径为r．在Rt△KBG中，根据勾股定理，得r＝16（cm）．根据题意知，圆心O在矩形EFGH的对角线上，则KN′＝AB＝42cm，OM′＝KM′+r＝CB＝65cm．则根据图中相关线段间的和差关系求得CN＝QG﹣QN′＝44﹣26＝18（cm），AM＝BC﹣PD﹣KM′＝130﹣50﹣49＝31（cm）．
【解答】 解：如图，延长OK交线段MF于点M′，延长PQ交BC于点G，交FN于点N′．
设圆孔半径为r．
在Rt△KBG中，根据勾股定理，得
BG2+KG2＝BK2，即（130﹣50）2+（44+r）2＝1002，
解得，r＝16（cm）．
根据题意知，圆心O在矩形EFGH的对角线上，则
KN′＝AB＝42cm，OM′＝KM′+r＝CB＝65cm．
∴QN′＝KN′﹣KQ＝42﹣16＝26（cm），KM′＝49（cm），
∴CN＝QG﹣QN′＝44﹣26＝18（cm），
∴AM＝BC﹣PD﹣KM′＝130﹣50﹣49＝31（cm），
综上所述，CN，AM的长分别是18cm、31cm．
故填：18cm、31cm．

【点评】本题以改造矩形桌面为载体，让学生在问题解决过程中，考查了矩形、直角三角形及圆等相关知识，积累了将实际问题转化为数学问题经验，渗透了图形变换思想，体现了数学思想方法在现实问题中的应用价值．
三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）
17．【分析】（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项去括号，最后一项利用零指数幂法则计算，合并即可得到结果；
（2）原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣1+1＝3；
（2）原式＝1﹣a2+a2﹣3a＝1﹣3a．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
18．【分析】（1）根据角平分线性质求出CD＝DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；
（2）求出∠DEB＝90°，DE＝1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝ED，∠DEA＝∠C＝90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；

（2）解：∵DC＝DE＝1，DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
19．【分析】（1）根据网格结构，把△ABC向右平移后可使点P为三角形的内部的三个格点中的任意一个；
（2）把△ABC绕点C顺时针旋转90°即可使点P在三角形内部．
【解答】解：（1）平移后的三角形如图所示；

（2）如图所示，旋转后的三角形如图所示．

【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构是解题的关键．
20．【分析】（1）将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值，即可确定出解析式；
（2）抛物线解析式令x＝0求出y的值，求出OC的长，根据对称轴求出CD的长，令y＝0求出x的值，确定出OB的长，利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）代入y＝a（x﹣1）2+4中，得：0＝4a+4，
解得：a＝﹣1，
则抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4；

（2）对于抛物线解析式，令x＝0，得到y＝3，即OC＝3，
∵抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4的对称轴为直线x＝1，
∴CD＝1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），即OB＝3，
则S梯形COBD＝＝6．
【点评】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
21．【分析】（1）根据概率公式，求摸到黄球的概率，即用黄球的个数除以小球总个数即可得出得到黄球的概率；
（2）假设取走了x个黑球，则放入x个黄球，进而利用概率公式得出不等式，求出即可．
【解答】解：（1）∵一个不透明的袋中装有5个黄球，13个黑球和22个红球，
∴摸出一个球摸是黄球的概率为：＝；

（2）设取走x个黑球，则放入x个黄球，
由题意，得≥，
解得：x≥，
∵x为整数，
∴x的最小正整数解是x＝9．
答：至少取走了9个黑球．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
22．【分析】（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC＝CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD＝AB，即可得：∠B＝∠D；
（2）首先设BC＝x，则AC＝x﹣2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，可得方程：（x﹣2）2+x2＝42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D；

（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣2）2+x2＝42，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB，
∴CE＝CB＝1+．

【点评】此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
23．【分析】（1）根据求加权平均数的方法就可以直接求出甲的总分；
（2）设趣题巧解所占的百分比为x，数学运用所占的百分比为y，由条件建立方程组求出其解就可以求出甲的总分而得出结论．
【解答】解：（1）由题意，得
甲的总分为：66×10%+89×40%+86×20%+68×30%＝79.8（分）；

（2）设趣题巧解所占的百分比为x，数学运用所占的百分比为y，由题意，得
，
解得：，
∴甲的总分为：20+89×0.3+86×0.4＝81.1＞80，
∴甲能获一等奖．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，加权平均数的运用，在解答时建立方程组求出趣题巧解和数学运用的百分比是解答本题的关键．
24．【分析】（1）首先证明△BCE∽△BAO，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得；
（2）证明△EDA∽△BOA，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得；
（3）分m＞0，m＝0和m＜0三种情况进行讨论，当m＝0时，一定成立，当m＞0时，分0＜m＜8和m＞8两种情况，利用三角函数的定义即可求解．当m＜0时，分点E与点A重合和点E与点A不重合时，两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）∵A（6，0），B（0，8）．
∴OA＝6，OB＝8．
∴AB＝10，
∵∠CEB＝∠AOB＝90°，
又∵∠OBA＝∠EBC，
∴△BCE∽△BAO，
∴＝，即＝，
∴CE＝﹣m；

（2）∵m＝3，
∴BC＝8﹣m＝5，CE＝﹣m＝3．
∴BE＝4，
∴AE＝AB﹣BE＝6．
∵点F落在y轴上（如图2）．
∴DE∥BO，
∴△EDA∽△BOA，
∴＝即＝．
∴OD＝，
∴点D的坐标为（，0）．

（3）取CE的中点P，过P作PG⊥y轴于点G．
则CP＝CE＝﹣m．
（Ⅰ）当m＞0时，
①当0＜m＜8时，如图3．易证∠GCP＝∠BAO，
∴cos∠GCP＝cos∠BAO＝，
∴CG＝CP•cos∠GCP＝（﹣m）＝﹣m．
∴OG＝OC+CG＝m+﹣m＝m+．
根据题意得，得：OG＝CP，
∴m+＝﹣m，
解得：m＝；
②当m≥8时，OG＞CP，显然不存在满足条件的m的值．
（Ⅱ）当m＝0时，即点C与原点O重合（如图4）．
（Ⅲ）当m＜0时，
①当点E与点A重合时，（如图5），
易证△COA∽△AOB，
∴＝，即＝，
解得：m＝﹣．
③当点E与点A不重合时，（如图6）．
OG＝OC﹣CG＝﹣m﹣（﹣m）
＝﹣m﹣．
由题意得：OG＝CP，
∴﹣m﹣＝﹣m．
解得m＝﹣．
综上所述，m的值是或0或﹣或﹣．

【点评】本题是相似三角形的判定与性质以及三角函数的综合应用，正确进行分类是关键．
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