2015年四川省成都市中考数学试卷（含解析版）.doc

2015年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（3分）（2015•成都）﹣3的倒数是（　　）

A．
﹣
B．

C．
﹣3
D．
3
　2．（3分）（2015•成都）如图所示的三视图是主视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

3．（3分）（2015•成都）今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为（　　）

A．
126×104
B．
1.26×105
C．
1.26×106
D．
1.26×107
4．（3分）（2015•成都）下列计算正确的是（　　）

A．
a2+a2=a4
B．
a2•a3=a6
C．
（﹣a2）2=a4
D．
（a+1）2=a2+1
5．（3分）（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
6．（3分）（2015•成都）一次函数y=2x+1的图象不经过（　　）

A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限
7．（3分）（2015•成都）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为（　　）

A．
a+b
B．
a﹣b
C．
b﹣a
D．
﹣a﹣b
8．（3分）（2015•成都）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．
k＞﹣1
B．
k≥﹣1
C．
k≠0
D．
k＜1且k≠0
9．（3分）（2015•成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）

A．
y=（x+2）2﹣3
B．
y=（x+2）2+3
C．
y=（x﹣2）2+3
D．
y=（x﹣2）2﹣3
10．（3分）（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）

A．
2，
B．
2，π
C．
，
D．
2，

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）（2015•岳阳）分解因式：x2﹣9=　　　　　　．
12．（4分）（2015•成都）如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1=　　　　　　度．

13．（4分）（2015•成都）为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是　　　　　　小时．

14．（4分）（2015•成都）如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　　　　　　．

三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（12分）（2015•成都）（1）计算：﹣（2015﹣π）0﹣4cos45°+（﹣3）2．
（2）解方程组：．

16．（6分）（2015•成都）化简：（+）÷．

17．（8分）（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

18．（8分）（2015•成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．

19．（10分）（2015•成都）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

20．（10分）（2015•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HG•HB的值．

四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）（2015•成都）比较大小：　　　　　　．（填“＞”，“＜”或“=”）
22．（4分）（2015•成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为　　　　　　．
23．（4分）（2015•成都）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为　　　　　　．

24．（4分）（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为　　　　　　．
25．（4分）（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　　　　　　（写出所有正确说法的序号）
①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．
②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；
③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；
④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．

五、解答题（本大题共3小题，共30分）
26．（8分）（2015•成都）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？

27．（10分）（2015•成都）已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．

（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．
（i）求证：△CAE∽△CBF；
（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；
（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；
（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）

28．（12分）（2015•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的一点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

2015年四川省成都市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（3分）（2015•成都）﹣3的倒数是（　　）

A．
﹣
B．

C．
﹣3
D．
3

考点：
倒数．菁优网版权所有
分析：
根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
解答：
解：∵﹣3×（﹣）=1，
∴﹣3的倒数是﹣．
故选：A．
点评：
主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．

2．（3分）（2015•成都）如图所示的三视图是主视图是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
简单几何体的三视图．菁优网版权所有
分析：
根据原图形得出其主视图，解答即可．
解答：
解：A、是左视图，错误；
B、是主视图，正确；
C、是俯视图，错误；
D、不是主视图，错误；
故选B
点评：
此题考查三视图，关键是根据图形得出其三视图．

3．（3分）（2015•成都）今年5月，在成都举行的世界机场城市大会上，成都新机场规划蓝图首次亮相，新机场建成后，成都将成为继北京、上海之后，国内第三个拥有双机场的城市，按照远期规划，新机场将建的4个航站楼的总面积约为126万平方米，用科学记数法表示为（　　）

A．
126×104
B．
1.26×105
C．
1.26×106
D．
1.26×107

考点：
科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
分析：
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：
解：将126万用科学记数法表示为1.26×106．
故选C．
点评：
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（3分）（2015•成都）下列计算正确的是（　　）

A．
a2+a2=a4
B．
a2•a3=a6
C．
（﹣a2）2=a4
D．
（a+1）2=a2+1

考点：
完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有
分析：
根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式计算即可．
解答：
解：A、a2+a2=2a2，错误；
B、a2•a3=a5，错误；
C、（﹣a2）2=a4，正确；
D、（a+1）2=a2+2a+1，错误；
故选C．
点评：
此题考查同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．

5．（3分）（2015•成都）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）

A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

考点：
平行线分线段成比例．菁优网版权所有
分析：
根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
解答：
解：∵DE∥BC，
∴，
即，
解得：EC=2，
故选：B．
点评：
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．

6．（3分）（2015•成都）一次函数y=2x+1的图象不经过（　　）

A．
第一象限
B．
第二象限
C．
第三象限
D．
第四象限

考点：
一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
分析：
根据k，b的取值范围来确定图象在坐标平面内的位置．
解答：
解：∵一次函数y=2x+1中的2＞0，
∴该直线经过第一、三象限．
又∵一次函数y=2x+1中的1＞0，
∴该直线与y轴交于正半轴，
∴该直线经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
故选：D．
点评：
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．

7．（3分）（2015•成都）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，计算|a﹣b|的结果为（　　）

A．
a+b
B．
a﹣b
C．
b﹣a
D．
﹣a﹣b

考点：
实数与数轴；绝对值．菁优网版权所有
分析：
根据绝对值的意义：非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．同时注意数轴上右边的数总大于左边的数，即可解答．
解答：
解：由数轴可得：a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a﹣b＜0，
∴|a﹣b|=﹣（a﹣b）=b﹣a，
故选：C．
点评：
此题主要考查了实数与数轴的之间的对应关系及绝对值的化简，应特别注意：根据点在数轴上的位置来正确判断出代数式的值的符号．

8．（3分）（2015•成都）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

A．
k＞﹣1
B．
k≥﹣1
C．
k≠0
D．
k＜1且k≠0

考点：
根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有
分析：
在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根时，必须满足△=b2﹣4ac＞0
解答：
解：依题意列方程组
，
解得k＜1且k≠0．
故选D．
点评：
本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

9．（3分）（2015•成都）将抛物线y=x2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）

A．
y=（x+2）2﹣3
B．
y=（x+2）2+3
C．
y=（x﹣2）2+3
D．
y=（x﹣2）2﹣3

考点：
二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有
分析：
先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解答：
解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2﹣3．
故选：A．
点评：
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

10．（3分）（2015•成都）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）

A．
2，
B．
2，π
C．
，
D．
2，

考点：
正多边形和圆；弧长的计算．菁优网版权所有
分析：
正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．
解答：
解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，
故选D．

点评：
本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
11．（4分）（2015•岳阳）分解因式：x2﹣9=　（x+3）（x﹣3）　．

考点：
因式分解-运用公式法．菁优网版权所有
分析：
本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
解答：
解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
点评：
主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．

12．（4分）（2015•成都）如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1=　45　度．

考点：
平行线的性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
分析：
先根据等腰三角形性质和三角形的内角和定理求出∠ABC，根据平行线的性质得出∠1=∠ABC，即可得出答案．
解答：
解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵直线m∥n，
∴∠1=∠ABC=45°，
故答案为：45．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠1=∠ABC和求出∠ABC的度数，注意：两直线平行，同位角相等．

13．（4分）（2015•成都）为响应“书香成都”建设号召，在全校形成良好的人文阅读风尚，成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中，阅读时间的中位数是　1　小时．

考点：
中位数；条形统计图．菁优网版权所有
分析：
由统计图可知总人数为40，得到中位数应为第20与第21个的平均数，而第20个数和第21个数都是1（小时），即可确定出中位数为1小时．
解答：
解：由统计图可知共有：8+19+10+3=40人，中位数应为第20与第21个的平均数，
而第20个数和第21个数都是1（小时），则中位数是1小时．
故答案为1．
点评：
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数的个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．也考查了条形统计图．

14．（4分）（2015•成都）如图，在▱ABCD中，AB=，AD=4，将▱ABCD沿AE翻折后，点B恰好与点C重合，则折痕AE的长为　3　．

考点：
翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．菁优网版权所有
分析：
由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可．
解答：
解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∵BC=AD=4，
∴BE=2，
∴AE===3．
故答案为：3．
点评：
本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，勾股定理，根据翻折特点发现AE垂直平分BC是解决问题的关键．

三、解答题（本大题共6小题，共54分）
15．（12分）（2015•成都）（1）计算：﹣（2015﹣π）0﹣4cos45°+（﹣3）2．
（2）解方程组：．

考点：
实数的运算；零指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
解答：
解：（1）原式=2﹣1﹣4×+9
=8；

（2）①+②得：4x=4，即x=1，
把x=1代入①得：y=2，
则方程组的解为．
点评：
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

16．（6分）（2015•成都）化简：（+）÷．

考点：
分式的混合运算．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解答：
解：原式=•=•=．
点评：
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

17．（8分）（2015•成都）如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）

考点：
解直角三角形的应用-坡度坡角问题．菁优网版权所有
分析：
要求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离，就是求BD+CE的值．解直角△ADB，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BD=AB=100m，解直角△CEB，根据正弦函数的定义可得CE=BC•sin42°．
解答：
解：在直角△ADB中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=200m，
∴BD=AB=100m，
在直角△CEB中，∵∠CEB=90°，∠CBE=42°，CB=200m，
∴CE=BC•sin42°≈200×0.67=134m，
∴BD+CE≈100+134=234m．
答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234m．
点评：
本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理解题意是解决问题的关键．

18．（8分）（2015•成都）国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》，这是中国足球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共50名，请结合图中信息，解答下列问题：
（1）获得一等奖的学生人数；
（2）在本次知识竞赛活动中，A，B，C，D四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到A，B两所学校的概率．

考点：
列表法与树状图法；扇形统计图．菁优网版权所有
分析：
（1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百分比即可求得一等奖的学生数；
（2）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
解答：
解：（1）∵三等奖所在扇形的圆心角为90°，
∴三等奖所占的百分比为25%，
∵三等奖为50人，
∴总人数为50÷25%=200人，
∴一等奖的学生人数为200×（1﹣20%﹣25%﹣40%）=30人；

（2）列表：

A
B
C
D
A

AB
AC
AD
B
BA

BC
BD
C
CA
CB

CD
D
DA
DB
DC

∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、B的有2种，
∴P（选中A、B）==．
点评：
本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解，难度不大．

19．（10分）（2015•成都）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．菁优网版权所有
分析：
（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．
解答：
解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x1=1，x2=3，
∴点B坐标（3，1）；

（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m=﹣2，n=5，
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，
令y=0，得x=，
∴点P坐标（，0），
S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.5．

点评：
本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．

20．（10分）（2015•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB=1，求HG•HB的值．

考点：
圆的综合题．菁优网版权所有
分析：
（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；
（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；
（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=，有勾股定理解出EF=，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．
解答：
（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=90°，
∵DF⊥AC，
∴∠ADF=90°，
∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，
∴∠C=∠BFE，
在△ABC与△EBF中，，
∴△ABC≌△EBF；

（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB
证明如下：∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∵∠ABC=90°，AD=CD，
∴BD=CD，
∴∠C=∠DBC，
∵∠C=∠BFE，
∴∠DBC=∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，
∴∠DBO=90°，
∴BD与⊙O相切；

（3）解：如图2，连接CF，HE，
∵∠CBF=90°，BC=BF，
∴CF=BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，
∴BF=，
∵△ABC≌△EBF，
∴BE=AB=1，
∴EF==，
∵BH平分∠CBF，
∴，
∴EH=FH，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴HF=EF=，
∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，
∴△BHF∽△FHG，
∴，
∴HG•HB=HF2=2+．

点评：
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．

四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
21．（4分）（2015•成都）比较大小：　＜　．（填“＞”，“＜”或“=”）

考点：
实数大小比较．菁优网版权所有
分析：
首先求出两个数的差是多少；然后根据求出的差的正、负，判断出、的大小关系即可．
解答：
解：﹣
=
=
∵，
∴4，
∴，
∴﹣＜0，
∴＜．
故答案为：＜．
点评：
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出﹣的差的正、负．

22．（4分）（2015•成都）有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为　　．

考点：
概率公式；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
分析：
由关于x的不等式组有解，可求得a＞5，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答：
解：，
由①得：x＞3，
由②得：x＜，
∵关于x的不等式组有解，
∴＞3，
解得：a＞5，
∴使关于x的不等式组有解的概率为：．
故答案为：．
点评：
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．（4分）（2015•成都）已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为　（3n﹣1，0）　．

考点：
相似多边形的性质；坐标与图形性质；菱形的性质．菁优网版权所有
专题：
规律型．
分析：
先根据菱形的性质求出A1的坐标，根据勾股定理求出OB1的长，再由锐角三角函数的定义求出OA2的长，故可得出A2的坐标，同理可得出A3的坐标，找出规律即可得出结论．
解答：
解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，
∴OA1=A1B1•sin30°=2×=1，OB1=A1B1•cos30°=2×=，
∴A1（1，0）．
∵B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，
∴OA2===3，
∴A2（3，0）．
同理可得A3（9，0）…
∴An（3n﹣1，0）．
故答案为：（3n﹣1，0）．
点评：
本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键．

24．（4分）（2015•成都）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为　8，或　．

考点：
垂径定理；等腰三角形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
①当BA=BP时，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，易得△AOE∽△ABD，利用相似三角形的性质求得BD，PB，然后利用相似三角形的判定定理△ABD∽△CPA，代入数据得出结果；
③当PA=PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，则PF⊥AB，易得AF=FB=4，利用勾股定理得OF=3，FP=8，易得△PFB∽△CGB，利用相似三角形的性质，设BG=t，则CG=2t，利用相似三角形的判定定理得△APF∽△CAG，利用相似三角形的性质得比例关系解得t，在Rt△BCG中，得BC．
解答：
解：①当BA=BP时，
易得AB=BP=BC=8，即线段BC的长为8．
②当AB=AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE=AB=4，
∴BD=DP，
在Rt△AEO中，AE=4，AO=5，
∴OE=3，
易得△AOE∽△ABD，
∴，
∴，
∴，即PB=，
∵AB=AP=8，
∴∠ABD=∠P，
∵∠PAC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CPA，
∴，
∴CP=，
∴BC=CP﹣BP==；
③当PA=PB时
如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连接OB，
则PF⊥AB，
∴AF=FB=4，
在Rt△OFB中，OB=5，FB=4，
∴OF=3，
∴FP=8，
易得△PFB∽△CGB，
∴，
设BG=t，则CG=2t，
易得∠PAF=∠ACG，
∵∠AFP=∠AGC=90°，
∴△APF∽△CAG，
∴，
∴，解得t=，
在Rt△BCG中，BC=t=，
综上所述，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为8，，，
故答案为：8，，．

点评：
本题主要考查了垂径定理，相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质及判定，数形结合，分类讨论是解答此题的关键．

25．（4分）（2015•成都）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是　②③　（写出所有正确说法的序号）
①方程x2﹣x﹣2=0是倍根方程．
②若（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0；
③若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+3x+q=0的倍根方程；
④若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的一个根为．

考点：
根与系数的关系；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
专题：
新定义．
分析：
①解方程x2﹣x﹣2=0得：x1=2，x2=﹣1，得到方程x2﹣x﹣2=0不是倍根方程，故①错误；②由（x﹣2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=﹣，得到=﹣1，或=﹣4，∴m+n=于是得到4m2+5mn+n2=（4m+1）（m+n）=0，故②正确；③由点（p，q）在反比例函数y=的图象上，得到pq=2，解方程px2+3x+q=0得：x1=﹣，x2=﹣，故∴③正确；④由方程ax2+bx+c=0是倍根方程，得到x1=2x2，由相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，∴
得到抛物线的对称轴x===，于