行列式的计算方法研究毕业论文.doc

昆 明 学 院

2010 届毕业设计（论文）

设计（论文）题目 行列式的计算方法研究

姓 名
学 号 S006054127
所 属 系 数学系
专业年级 数学与应用数学2006级数学<1>班
指导教师

2010年 5 月

行列式的计算方法研究
摘要

在线性代数中，行列式是个函数。在本质上，行列式描述的是在维空间中一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式的概念出现的根源是解线性方程组。本论文首先，对行列式的计算方法进行总结，并对计算方法进行举例。其次，n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法。最后，值得注意的是，在同一个行列式有时会有不同的求解方法，这就要根据行列式的特点选择适当的方法了。

关健词： 行列式 计算 方法 方法举例

Abstract

In linear algebra, the determinant is a function.In essence, the determinant dimensional space described in a linear transformation.The formation of "parallel polyhedron" and "volume".The concept of the root of the determinant there is solution of linear equations.The paper on the summary of the calculation of the determinant and the calculation method for example.n-order determinant have many the calculation methods,Fewer non-zero elements Can be calculated using the definition(1.In accordance with the start of a column or a row. 2.Full expansion.). More determinant of the nature of the calculation is to use.In particular, observe the characteristics of the subject request,Flexible Selection Method.It is to be noted that In the same determinant sometimes will have different methods for solving. Here are some commonly used methods and illustrate with examples.

Keywords: Determinant Calculation motheds illustrate with examples

目 录
前言 ………………………………………………………………………… 1
第一章 普遍法求行列式
1.1 利用行列式的定义直接计算…………….……………………………………….2
1.2 利用行列式的性质计算…………….…………………………………………….2
1.3 化为三角形行列式…………….………………………………………………….3
1.3.1 直接化为阶梯型…………….……………………………………………….3
1.3.2 相同去项化上三角形 ….…………………………………………………..4
第二章 特殊法求行列式
2.1 降阶法（按行（列）展开法） ….……………………………………………..5
2.1.1 先简后展 ….……………………………….………………………………5
2.1.2 按第一行（列）展开….…………………………………………………….6
2.2 递（逆）推公式法….…………………………………………………………….7
2.2.1 等差数列递推….…………………………………………………………….7
2.2.2“一路直推”….………………………………………………………………9
2.2.3 对角递推….………………………………………………………………….9
2.3 利用范德蒙行列式….…………………………………………………………….11
2.3.1 变形范德蒙行列式….……………………………………………………….11
2.3.2 系数范德蒙行列式….……………………………………………………….12
2.3.3利用行列式性质凑范德蒙行列式….…………………………………………13
第三章 其他方法求行列式
3.1 加边法（升阶法）….………………………………………………………………14
3.1.1“0”和“字母”加边….………………………………………………………14
3.1.2 “0”和“1”加边….…………………………………………………………14
3.2 数学归纳法 ….…………………………………………………………………….16
3.2.1 第一数学归纳法 ….………………………………………………………….16
3.2.2 第二数学归纳法 ….………………………………………………………….17
3.2.3 猜测归纳法 ….………………………………………………………………17
3.3 拆开法 ….………………………………………………………………………….19
3.3.1 对角拆开 ….…………………………………………………………………….19
3.3.2 按行（列）拆 ….……………………………………………………………….19
参考文献……………………………….………………………………………………..21.
谢辞…………………………….…………………………………………………………22

前 言
在线性代数中，行列式是一个函数，其定义域为的矩阵，值域为一个标量，写作。在本质上，行列式描述的是在维空间中，一个线性变换所形成的“平行多面体”的“体积”。行列式无论是在微积分中（比如说换元积分法中），还是在线性代数中都有重要应用.如判断矩阵的可逆性,行列式的一个主要应用是解线性方程组。当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。对一个有个方程和个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零。这也是行列式概念出现的根源。
　　当线性方程组对应的行列式不为零时，由克莱姆法则，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。但用克莱姆法则求解计算量巨大，因此并没有实际应用价值，一般用于理论上的推导。行列式概念的最初引进是在解线性方程组的过程中行列式被用来确定线性方程组解的个数，以及形式。随后，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用。于是有了线性自同态和向量组的行列式的定义。行列式的特性可以被概括为一个n次交替线性形式，这反映了行列式作为一个描述“体积”的函数的本质。
　　若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是，矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，既是一个实数：求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。

第一章 普通法求行列式

1.1 利用行列式定义直接计算
例1 计算行列式
解 中不为零的项用一般形式表示为
该项列标排列的逆序数等于，
故.
总结：对上面的例题，可以看出，行列式中0元素比较多的，那么用定义法计算比较简略。对于这一类型行列式形状，我们为了方便计算逆序数，最好把它的个数做成等差或等比数列。

1.2 利用行列式的性质计算

例1： ，一个n阶行列式的元素满足则称Dn为反对称行列式。
证明：奇数阶反对称行列式为零.
证明：由知，即
故行列式可表示为，由行列式的性质，
当为奇数时，得，因而得

1.3 化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化为三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。
原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

1.3.1 直接化为阶梯形
例1 计算行列式．
解： 这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．

1.3.2 相同去项化上三角形

例题2：计算n阶行列式．
解：这个行列式每一列的元素，除了主对角线上的外，都是相同的，且各列的结构相似，因此n列之和全同．将第2，3，…，n列都加到第一列上，就可以提出公因子且使第一列的元素全是1．

第二章 特殊法求行列式阶法

2.1 按行（列）展开法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是根据行列式的特点，先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
2.1.1 先简再展
例1:计算20阶行列式
[分析]这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法逐次降阶直至化许许多多个2阶行列式计算，需进行20！*20－1次加减法和乘法运算，这人根本是无法完成的，更何况是n阶。但若利用行列式的性质将其化为有很多零元素，则很快就可算出结果。
　　注意到此行列式的相邻两列（行）的对应元素仅差1，因此，可按下述方法计算：

2.1.2 按第一行（列）展开
例2 ： 计算n阶行列式
解 将按第1行展开
.

例3：计算n（n≥2）阶行列式
．
解 按第一行展开，得
．
再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到
．

2.2 递（逆）推公式法

递推法是根据行列式的构造特点，建立起与的递推关系式，逐步推下去，从而求出的值。 有时也可以找到 与 , 的递推关系，最后利用 ... 得到 的值。
注意:用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。

2.2.1 等差数列递推

例1: 计算行列式.

解：将行列式按第列展开,有,

得 。
同理得 ,

例2 ： 计算

解：

同理
联立解得
当时,

2.2.2 “一路直推”
例1: 计算阶行列式．
解 首先建立递推关系式．按第一列展开，得：

这里与有相同的结构，但阶数是的行列式．
现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：
因，故．
最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的．
当时，显然成立．设对阶的情形结果正确，往证对n阶的情形也正确．由
可知，对n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．

2.2.3 对角直递
例1： 证明n阶行列式．

证明: 按第一列展开，得．
其中，等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式，记作；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式，记作．
这样，就有递推关系式：．
因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的．
当时，，结论正确．当时，，结论正确．
设对的情形结论正确，往证时结论也正确．
由 可知，对n阶行列式结果也成立．
根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立．
分析:此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式[1]。从行列式的左上方往右下方看，即知Dn-1与Dn具有相同的结构。因此可考虑利用递推关系式计算。

2.3 利用范德蒙行列式

根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质——如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； ...) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。其中范德蒙行列式就是一种。这种变形法是计算行列式最常用的方法。
2.3.1 变形范德蒙行列式
例1 计算行列式
解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式

例2：计算阶行列式
．其中．

解: 这个行列式的每一行元素的形状都是，0，1，2，…，n．即按降幂排列，按升幂排列，且次数之和都是n，又因，若在第i行（1，2，…，n）提出公因子，则D可化为一个转置的范德蒙行列式，即

例3： 计算行列式
.
解：

2.3.2 系数范德蒙行列式
例1： 计算行列式

解 作如下行列式,使之配成范德蒙行列式
=
易知等于中 的系数的相反数,而中 的系数为 ,因此,

2.3.3 利用行列式性质凑范德蒙行列式
例1: 计算n阶行列式

解：显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型。
先将的第n行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n（n-1）/2次行对换后，得到

上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式的结果得：

第三章 其他方法求行列式

3.1加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。它要求：1 保持原行列式的值不变； 2 新行列式的值容易计算。根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其第 列（行）的元素分别为 个元素的倍数的情况。
3.1.1 “0”“字母”加边
例1： 计算阶行列式

解：

3.1.2 "0" 和"1"加边
例1： 计算阶行列式
，其中．
解： 先将添上一行一列，变成下面的阶行列式：
．显然，．
将的第一行乘以后加到其余各行,得
．
因，将上面这个行列式第一列加第i（，…，）列的倍，得：

3.2 数学归纳法
当 与 是同型的行列式时，可考虑用数学归纳法求之。 一般是利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。因此，数学归纳法一般是用来证明行列式等式。因为给定一个行列式，要猜想其值是比较难的，所以是先给定其值，然后再去证明。

3.2.1 第一数学归纳法

例1 :计算行列式

解：用数学归纳法. 当时，
假设时，有
则当时，把按第一列展开，得

由此，对任意的正整数，有

3.2.2 第二数学归纳法
例1：计算行列式
.
解：,于是猜想 .
证明：对级数用第二数学归纳法证明.
时,结论成立.假设对级数小于时，结论成立.将级行列式按第行展开 .

3.2.3 猜测归纳

例1： 计算行列式

解：

猜测：
证明（1） 时，命题成立。假设 时命题成立,考察n=k的情形：

故命题对一切自然数n成立。

3.3 拆开法
拆项法是将给定的行列式的某一行（列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，把一个复杂的行列式简化成两个较为简单的。使问题简化以利计算。
3.3.1 对角拆
例1 ：计算行列式

解：
=……
3.3.2 按列（行）拆
例1： 计算阶行列式
．
解： 将按第一列拆成两个行列式的和，即
．
再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3，…，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则可得到

当n≥3时，．当时，．

小结：计算行列式的方法很多，也比较灵活，上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。总的原则是：充分利用所求行列式的特点，运用行列式性质及上述常用的方法，有时综合运用以上方法可以更简便的求出行列式的值；有时也可用多种方法求出行列式的值。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。

参考文献
[1] 线性代数--方法导引[m].屠伯埙 .上海科大出版社.1994
[2] 高等代数[m].王萼芳.石生明 .高等教育出版社.1995
[3] 高等代数全程导学及习题全解[m].杜炜.马訾伟.中国时代经济出版社.1998.
[4] 高等代数辅导及习题全解（北大第三版）[m].王勇.科学技术文献出版社.1995.
[5] 高等代数习题集（上下册）[m].杨子胥.山东科学技术出版社.2004.
[6] 高等代数习题课参考书[m].张均本.高等教育出版社.2003.
[7] 高等代数[m].上海财经大学数学系 主编.复旦大学出版社.2008.
[8] 高等代数[m].王住登.国防工业大学出版社.2005.
[9] Introduction To Higher Algebra[m].Dover publications 2004.
[10] Higher Enginering Mathematics[m].John Bird.Newnes.2004.

谢辞
本论文设计在老师的悉心指导和严格要求下业已完成，从课题选择到具体的写作过程，无不凝聚着老师的心血和汗水，在我的毕业论文写作期间，刘老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议，没有这样的帮助和关怀，我不会这么顺利的完成毕业论文。在此向刘老师表示深深的感谢和崇高的敬意。
在临近毕业之际，我还要借此机会向在这四年中给予了我帮助和指导的所有老师表示由衷的谢意，感谢他们四年来的辛勤栽培。不积跬步何以至千里，各位任课老师认真负责，在他们的悉心帮助和支持下，我能够很好的掌握和运用专业知识，并在设计中得以体现，顺利完成毕业论文。
同时，在论文写作过程中，我还参考了有关的书籍和论文，在这里一并向有关的作者表示谢意。
我还要感谢同组的各位同学，在毕业设计的这段时间里，你们给了我很多的启发，提出了很多宝贵的意见，对于你们帮助和支持，在此我表示深深地感谢。

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