2016年广东省广州市高考数学一模试卷(理科).doc

2016年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=（　　）
A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}
2．（5分）已知复数z=3+i1-i，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z所对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
4．（5分）如果函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．24
5．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a7+a12=24，则S13=（　　）
A．52 B．78 C．104 D．208
6．（5分）如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+xn=10，则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=（　　）
A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20
7．（5分）在梯形ABCD中AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若CD→=mBA→+nBC→（m，n∈R）则mn=（　　）
A．﹣3 B．﹣13 C．13 D．3
8．（5分）设实数x，y满足约束条件&x-y-1≤0&x+y-1≤0&x≥-1，则x2+（y+2）2的取值范围是（　　）
A．[12，17] B．[1，17] C．[1，17] D．[22，17]
9．（5分）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（　　）
A．20π B．205π3 C．5π D．55π6
10．（5分）已知下列四个命题：
p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；
p3：若f(x)=x+1x+1，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；
p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（　　）

A．8+82+46 B．8+82+26 C．2+22+6 D．12+22+64
12．（5分）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（　　）
A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×22014

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）一个总体中有60个个体，随机编号为0，1，2，…59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是　　．
14．（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且BA→⋅BF→=0，则双曲线C的离心率为　　．
15．（5分）（x2﹣x﹣2）4的展开式中，x3的系数为　　（用数字填写答案）
16．（5分）已知函数f（x）=&1-|x+1|，x＜1&x2-4x+2，x≥1，则函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数为　　．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=53，CD=5，BD=2AD．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．
（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．

19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．
（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．

20．（12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，2）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；
（1）求椭圆C的方程；
（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）=ex+m﹣x3，g（x）=ln（x+1）+2．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；
（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．

【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．
（I）求证：DE2=AE•BE；
（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．

【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：&x=3t+3&y=3t+2，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．

【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1-a|．
（I）当a=1时，求不等式f（x）≥12的解集；
（Ⅱ）若对任意a∈[0，1]，不等式f（x）≥b的解集为空集，求实数b的取值范围．

2016年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2016•广州一模）已知集合A={x||x|＜1}，B={x|x2﹣x≤0}，则A∩B=（　　）
A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|0≤x＜1}
【考点】交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】集合思想；定义法；集合．
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A={x|﹣1＜x＜1}，
由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，
解得：0≤x≤1，即B={x|0≤x≤1}，
则A∩B={x|0≤x＜1}，
故选：D．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）（2016•广州一模）已知复数z=3+i1-i，其中i为虚数单位，则复数z的共轭复数z所对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】数形结合；转化思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出．
【解答】解：∵复数z=3+i1-i=(3+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2+4i2=1+2i，复数z的共轭复数z=1﹣2i所对应的点在第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

3．（5分）（2016•蚌埠三模）执行如图所示的程序框图，如果输入x=3，则输出k的值为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】程序框图．菁优网版权所有
【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．
【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件x＞100，跳出循环体，确定输出k的值．
【解答】解：模拟执行程序，可得
x=3，k=0
x=9，k=2
不满足条件x＞100，x=21，k=4
不满足条件x＞100，x=45，k=6
不满足条件x＞100，x=93，k=8
不满足条件x＞100，x=189，k=10
满足条件x＞100，退出循环，输出k的值为10．
故选：C．
【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．

4．（5分）（2016•广州一模）如果函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为（　　）
A．3 B．6 C．12 D．24
【考点】三角函数的周期性及其求法；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用余弦函数的周期性，求得ω的值．
【解答】解：∵函数f(x)=sin(ωx+π6)（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为π6，
∴12•2πω=π6，求得ω=6，
故选：B．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象，余弦函数的周期性，属于基础题．

5．（5分）（2016•广州一模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a7+a12=24，则S13=（　　）
A．52 B．78 C．104 D．208
【考点】等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由题意和等差数列的性质可得a7的值，再由等差数列的性质和求和公式可得S13=13a7，代值计算可得．
【解答】解：由题意和等差数列的性质可得3a7=a2+a7+a12=24，
解得a7=8，故S13=13(a1+a13)2=13×2a72=13a7=104，
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，求出a7是解决问题的关键，属基础题．

6．（5分）（2016•广州一模）如果P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2=4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，若x1+x2+…+xn=10，则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=（　　）
A．n+10 B．n+20 C．2n+10 D．2n+20
【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛物线性质得|PnF|=xn+p2=xn+1，由此能求出结果．
【解答】解：∵P1，P2，…，Pn是抛物线C：y2=4x上的点，
它们的横坐标依次为x1，x2，…，xn，F是抛物线C的焦点，
x1+x2+…+xn=10，
∴|P1F|+|P2F|+…+|PnF|
=（x1+1）+（x2+1）+…+（xn+1）
=x1+x2+…+xn+n
=n+10．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线中一组线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．

7．（5分）（2016•广州一模）在梯形ABCD中AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若CD→=mBA→+nBC→（m，n∈R）则mn=（　　）
A．﹣3 B．﹣13 C．13 D．3
【考点】平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有
【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．
【分析】利用平面向量的三角形法以及平面向量基本定理求出m，n．
【解答】解：由题意，如图，CD→=mBA→+nBC→=CE→+ED→=-13BC→+BA→，
所以n=-13，m=1，所以mn=﹣3．
故选：A．

【点评】本题考查了平面向量的三角形法则和平面向量基本定理；属于基础题．

8．（5分）（2016•福建校级模拟）设实数x，y满足约束条件&x-y-1≤0&x+y-1≤0&x≥-1，则x2+（y+2）2的取值范围是（　　）
A．[12，17] B．[1，17] C．[1，17] D．[22，17]
【考点】简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；不等式．
【分析】由题意作平面区域，而x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，从而结合图象解得．
【解答】解：由题意作平面区域如下，
，
x2+（y+2）2的几何意义是点A（0，﹣2）与阴影内的点的距离的平方，
而点A到直线y=x﹣1的距离d=|1-0-2|2=22，
B（﹣1，2），故|AB|=(-1)2+42=17，
故（22）2≤x2+（y+2）2≤（17）2，
即12≤x2+（y+2）2≤17，
故选：A．
【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考查了转化思想的应用．

9．（5分）（2016•广州一模）一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（　　）
A．20π B．205π3 C．5π D．55π6
【考点】球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】计算题；规律型；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．
【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．
【解答】解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，
设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O1，O2，则球心O是O1，O2的中点．
∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，
∴Rt△AO1O中，AO1=1，O1O=12，可得AO=12+(12)2=52，
因此，该球的体积为V=43π•（52）3=55π6．
故选：D．

【点评】本题给出一个正六棱柱，求它的外接球的体积，着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点，属于中档题．

10．（5分）（2016•广州一模）已知下列四个命题：
p1：若直线l和平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
p2：若f（x）=2x﹣2﹣x，则∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x）；
p3：若f(x)=x+1x+1，则∃x0∈（0，+∞），f（x0）=1；
p4：在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB．
其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．
【分析】p1：根据线面垂直的判断定理判定即可；
p2：根据奇函数的定义判定即可；
p3：对表达式变形可得f(x)=x+1x+1=x+1+1x+1﹣1，利用均值定理判定即可；
p4：根据三角形角边关系和正弦定理判定结论成立．
【解答】解：p1：根据判断定理可知，若直线l和平面α内两条相交的直线垂直，则l⊥α，若没有相交，无数的平行直线也不能判断垂直，故错误；
p2：根据奇函数的定义可知，f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣f（x），故∀x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），故正确；
p3：若f(x)=x+1x+1=x+1+1x+1﹣1≥1，且当x=0时，等号成立，故不存在x0∈（0，+∞），f（x0）=1，故错误；
p4：在△ABC中，根据大边对大角可知，若A＞B，则a＞b，由正弦定理可知，sinA＞sinB，故正确．
故选：B．
【点评】考查了线面垂直，奇函数的定义，均值定理和三角形的性质及正弦定理的应用．属于基础题型，应熟练掌握．

11．（5分）（2016•福建校级模拟）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（　　）

A．8+82+46 B．8+82+26 C．2+22+6 D．12+22+64
【考点】由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．
【分析】由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．
【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为4的正方体切出来的三棱锥A﹣BCD．作出直观图如图所示：
其中A，C，D为正方体的顶点，B为正方体棱的中点．
∴S△ABC=12×2×4=4，S△BCD=12×2×4=4．
∵AC=42，AC⊥CD，∴S△ACD=12×4×42=82，
由勾股定理得AB=BD=42+22=25，AD=43．
∴cos∠ABD=AB2+BD2-AD22AB⋅BD=﹣15，∴sin∠ABD=265．
∴S△ABD=12×25×25×265=46．
∴几何体的表面积为8+82+46．
故选A．

【点评】本题考查了不规则放置的几何体的三视图和面积计算，作出直观图是解题关键．

12．（5分）（2016•广州一模）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．

该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（　　）
A．2017×22015 B．2017×22014 C．2016×22015 D．2016×22014
【考点】归纳推理．菁优网版权所有
【专题】计算题；规律型；探究型；推理和证明．
【分析】数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，第2016行只有M，由此可得结论
【解答】解：由题意，数表的每一行都是等差数列，
且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2015行公差为22014，
故第1行的第一个数为：2×2﹣1，
第2行的第一个数为：3×20，
第3行的第一个数为：4×21，
…
第n行的第一个数为：（n+1）×2n﹣2，
第2016行只有M，
则M=（1+2016）•22014=2017×22014
故选：B．
【点评】本题考查了由数表探究数列规律的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．（5分）（2016•蚌埠三模）一个总体中有60个个体，随机编号为0，1，2，…59，依编号顺序平均分成6个小组，组号为1，2，3，…6．现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组中抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是　43　．
【考点】系统抽样方法．菁优网版权所有
【专题】计算题；整体思想；定义法；概率与统计．
【分析】由总体容量及组数求出间隔号，然后用3加上40即可．
【解答】解：总体为60个个体，依编号顺序平均分成6个小组，则间隔号为606=10，
所以在第5组中抽取的号码为3+10×4=43．
故答案为：43．
【点评】本题考查了系统抽样，系统抽样是根据分组情况求出间隔号，然后采用简单的随机抽样在第一组随机抽取一个个体，其它的只要用第一组抽到的号码依次加上间隔号即可．此题为基础题．

14．（5分）（2016•广州一模）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，点B（0，b），且BA→⋅BF→=0，则双曲线C的离心率为　5+12　．
【考点】双曲线的简单性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；分析法；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设出A，F的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，结合a，bc的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），F（c，0），B（0，b），
可得BA→=（﹣a，﹣b），BF→=（c，﹣b），
由BA→⋅BF→=0，可得﹣ac+b2=0，
即有b2=c2﹣a2=ac，
由e=ca，可得e2﹣e﹣1=0，
解得e=1+52（负的舍去）．
故答案为：5+12．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示，考查双曲线的渐近线方程和离心率公式，考查运算能力，属于中档题．

15．（5分）（2016•广州一模）（x2﹣x﹣2）4的展开式中，x3的系数为　﹣40　（用数字填写答案）
【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
【分析】解法一：根据（x2﹣x﹣2）4 =（x﹣2）4•（x+1）4 ，把（x﹣2）4和（x+1）4 分别使用二项式定理展开，可得x3的系数．
解法二：根据乘方的意义，分类讨论求得x3的系数．
【解答】解：解法一：∵（x2﹣x﹣2）4 =（x﹣2）4•（x+1）4 =
[C40•x4+C41•x3•（﹣2）+C42•x2•（﹣2）2+C43•x•（﹣2）3+C44•（﹣2）4]•（C40•x4+C41•x3+C42•x2+C43•x+C44）
故x3的系数为﹣2C41•1+4C42•C43+（﹣8C43）•C42+16•C41=﹣40，
故答案为：﹣40．
解法二：∵（x2﹣x﹣2）4 表示4个因式（x2﹣x﹣2）的乘积，
x3的系数可以是：从4个因式中选一因式提供x2，其余的3个因式中有一个提供（﹣x），其余的2个因式都提供（﹣2），
也可以是从4个因式中选3个因式都提供（﹣x），其余的1个提供（﹣2），可得x3的系数，
故x3的系数为：C41•C31（﹣1）•C22（﹣2）2+C43（﹣1）•（﹣2）=﹣48+8=﹣40．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，乘方的意义，属于中档题．

16．（5分）（2016•广州一模）已知函数f（x）=&1-|x+1|，x＜1&x2-4x+2，x≥1，则函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数为　2　．
【考点】函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；作图题；数形结合法；函数的性质及应用．
【分析】函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数转化为方程g（x）=2|x|f（x）﹣2=0的解的个数，再转化为函数f（x）与y=22|x|的图象的交点的个数，从而解得．
【解答】解：令g（x）=2|x|f（x）﹣2=0得，
f（x）=22|x|，
作函数f（x）与y=22|x|的图象如下，
，
结合图象可知，函数的图象有两个不同的交点，
故函数g（x）=2|x|f（x）﹣2的零点个数为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根，方程的根与函数的图象的交点的关系应用，考查了数形结合的思想．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2016•江苏模拟）如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=53，CD=5，BD=2AD．
（Ⅰ）求AD的长；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

【考点】解三角形．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．
【分析】（1）假设AD=x，分别在△ACD和△ABC中使用余弦定理计算cosA，列方程解出x；
（2）根据（1）的结论计算sinA，代入面积公式计算．
【解答】解：（1）设AD=x，则BD=2x，∴BC=BD2-CD2=4x2-25．
在△ACD中，由余弦定理得cosA=AC2+AD2-CD22AC⋅AD=50+x2103x，
在△ABC中，由余弦定理得cosA=AC2+AB2-BC22AC⋅AB=100+5x2303x．
∴50+x2103x=100+5x2303x，解得x=5．
∴AD=5．
（2）由（1）知AB=3AD=15，cosA=50+25503=32，∴sinA=12．
∴S△ABC=12AC⋅ABsinA=12×53×15×12=7534．
【点评】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题．

18．（12分）（2016•蚌埠三模）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1．
（I）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．菁优网版权所有
【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．
【分析】（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和，利用之比为4：2：1，即可求出这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（Ⅱ）求出每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，利用题意可得：X～B（3，0.6），根据概率分布知识求解即可．
【解答】解：（I）由题意，质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之和为1﹣0.04﹣0.12﹣0.19﹣0.3=0.35，
∵质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率之比为4：2：1，
∴这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05；
（Ⅱ）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间[45，75）内的概率为0.6，
由题意可得：X～B（3，0.6）
∴X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
∴EX=0.288+2×0.432+3×0.216=1.8
【点评】本题考查概率分布在实际问题中的应用，结合了统计的知识，综合性较强，属于中档题．

19．（12分）（2016•南昌校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A1O⊥底面ABCD，AB=AA1=2．
（I）证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B﹣OB1﹣C的余弦值．

【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】综合题；向量法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理进行证明即可．
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量法进行求解．
【解答】证明：（1）∵A1O⊥面ABCD，且BD，AC⊂面ABCD，
∴A1O⊥BD，
又∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵A1O∩AC=O，
∴BD⊥面A1AC，
∵BD⊂平面BB1D1D，
∴平面A1CO⊥平面BB1D1D
（2）建立以O为坐标原点，OA，OB，OA1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵AB=AA1=2，∠BAD=60°，
∴OB=1，OA=3，
∵AA1=2，
∴A1O=1．
则A（3，0，0），B（0，1，0），A1（0，0，1），C（﹣3，0，0），
AB→=A1B1→=（﹣3，1，0），OB→=（0，1，0），OC→=（﹣3，0，0），
OA1→=（0，0，1），
则OB1→=OA1→+A1B1→=（﹣3，1，1），
设平面BOB1的一个法向量为m→=（x，y，z），
则&m→⋅OB→=y=0&m→⋅OB1→=-3x+y+z=0，
令x=3，则y=0，z=3，即m→=（3，0，3），
设平面OB1C的一个法向量为n→=（x，y，z），
则&n→⋅OB1→=-3x+y+z=0&n→⋅OC→=-3x=0，
令y=1，则z=﹣1，x=0，则n→=（0，1，﹣1），
cos＜m→，n→＞=m→⋅n→|m→||n→|=-32⋅3+9=﹣64，
∵二面角B﹣OB1﹣C是钝二面角，
∴二面角B﹣OB1﹣C的余弦值是﹣64．

【点评】本小题主要考查面面垂直的判断和二面角的求解，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，综合性较强，运算量较大．

20．（12分）（2016•福建校级模拟）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，2）在椭圆C上，直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N；
（1）求椭圆C的方程；
（2）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，请说明理由．
【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有
【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（1）由题意可设椭圆标准方程x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，结合已知及隐含条件列关于a，b，c的方程组，求解方程组得到a2，b2的值，则椭圆方程可求；
（2）设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），写出AE、AF所在直线方程，求出M、N的坐标，得到以MN为直径的圆的方程，由圆的方程可知以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．
【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，
则&c=2&a2=b2+c2&4a2+2b2=1，解得：a2=8，b2=4．
∴椭圆C的方程为x28+y24=1；
（2）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），
则x028+y024=1，
A（﹣22，0），
AF所在直线方程yy0=x+22x0+22，取x=0，得y=22y0x0+22，
∴N（0，22y0x0+22），
AE所在直线方程为y-y0=x+22-x0+22，取x=0，得y=-22y0-x0+22．
则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，-22x0y08-x02），
半径r=4y08-x02，
圆的方程为x2+(y+22x0y08-x02)2=16y02(8-x02)2=16y02，
即x2+(y+2x0y0)2=16y02．
取y=0，得x=±2．
∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．

【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题．

21．（12分）（2016•广州一模）已知函数f（x）=ex+m﹣x3，g（x）=ln（x+1）+2．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；
（2）当m≥1时，证明：f（x）＞g（x）﹣x3．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得m；
（2）f（x）＞g（x）﹣x3即为ex+m＞ln（x+1）+2．由函数y=ex﹣x﹣1，求得最小值，可得ex≥x+1，则ex+m＞x+m+1，再由h（x）=x+m+1﹣ln（x+1）﹣2=x+m﹣ln（x+1）﹣1，求出导数，求得最小值，由条件即可得证．
【解答】解：（1）函数f（x）=ex+m﹣x3的导数为f′（x）=ex+m﹣3x2，
在点（0，f（0））处的切线斜率为k=em=1，
解得m=0；
（2）证明：f（x）＞g（x）﹣x3即为
ex+m＞ln（x+1）+2．
由y=ex﹣x﹣1的导数为y′=ex﹣1，
当x＞0时，y′＞0，函数递增；当x＜0时，y′＜0，函数递减．
即有x=0处取得极小值，也为最小值0．
即有ex≥x+1，则ex+m≥x+m+1，
由h（x）=x+m+1﹣ln（x+1）﹣2=x+m﹣ln（x+1）﹣1，
h′（x）=1﹣1x+1，当x＞0时，h′（x）＞0，h（x）递增；
﹣1＜x＜0时，h′（x）＜0，h（x）递减．
即有x=0处取得最小值，且为m﹣1，
当m≥1时，即有h（x）≥m﹣1≥0，
即x+m+1≥ln（x+1）+2，
则有f（x）＞g（x）﹣x3成立．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用构造法，以及不等式的传递性，考查推理能力，属于中档题．

【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）（2016•广州一模）如图所示，△ABC内接于⊙O，直线AD与⊙O相切于点A，交BC的延长线于点D，过点D作DE∥CA交BA的延长线于点E．
（I）求证：DE2=AE•BE；
（Ⅱ）若直线EF与⊙O相切于点F，且EF=4，EA=2，求线段AC的长．

【考点】与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．
【分析】（Ⅰ）推导出△AED∽△DEB，由此能证明DE2=AE•BE．
（Ⅱ）由切割线定理得EF2=EA•EB，由DE∥CA，得△BAC∽△BED，由此能求出AC．
【解答】证明：（Ⅰ）∵AD是⊙O的切线，∴∠DAC=∠B，
∵DE∥CA，∴∠DAC=∠EDA，∴∠EDA=∠B，
∵∠AED=∠DEB，∴△AED∽△DEB，
∴DEBE=AEDE，∴DE2=AE•BE．
解：（Ⅱ）∵EF是⊙O的切线，EAB是⊙O割线，
∴EF2=EA•EB，
∵EF=4，EA=2，∴EB=8，AB=EB﹣EA=6，
由（Ⅰ）知DE2=AE•BE，∴DE=4，
∵DE∥CA，∴△BAC∽△BED，
∴BABE=ACED，
∴AC=BA⋅EDBE=6×48=3．

【点评】本题考查与圆有关的线段间等量关系的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．

【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2016•广州一模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）在曲线C上求一点D，使它到直线l：&x=3t+3&y=3t+2，（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．菁优网版权所有
【专题】选作题；数形结合；转化思想；消元法；坐标系和参数方程．
【分析】（I）利用&x=ρcosθ&y=ρsinθ&ρ2=x2+y2可把圆C的极坐标方程化为普通方程．
（II）消去参数把直线l的参数方程化为普通方程，求出圆心C到直线l的距离d，得出直线与圆的位置关系即可得出．
【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π），即ρ2=2ρsinθ，化为x2+y2﹣2y=0，配方为x2+（y﹣1）2=1．
（2）曲线C的圆心C（0，1），半径r=1．
直线l：&x=3t+3&y=3t+2，（t为参数，t∈R）化为普通方程：3x﹣y﹣1=0，
可得圆心C到直线l的距离d=|0-1-1|2=1=0，
∴直线l与圆C相切，