圆锥曲线有关弦的问题市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

圆锥曲线相关弦问题圆锥曲线相关弦问题假如直线l与圆锥曲线C相交于两个不同点A、B，那么线段AB称为圆锥曲线C一条弦，直线l称为圆锥曲线C一条割线。一、圆锥曲线焦点弦一、圆锥曲线焦点弦过抛物线焦点一条直线和这抛物线相交，两个交点纵坐标为这是抛物线焦点弦一个主要性质。另外，与焦点弦相关性质尚有：过抛物线焦点弦两端切线交点在抛物线准线上：过抛物线焦点弦两端切线互相垂直；以抛物线焦点弦为直径圆与抛物线准线相切；过抛物线焦点弦两端切线交点与抛物线焦点连线和焦点弦互相垂直。椭圆与双曲线焦点弦也有一些性质，请同窗们自己归纳总结。例1、已知抛物线焦点为F，AB为焦点弦，A，B两点到抛物线准线射影分别为A，B，求证：第1页第1页xyoFBAAB123证实:如图第2页第2页例2、过椭圆左焦点作一椭圆焦点弦AB，求直线AB倾斜角为多大时，以弦AB为直径圆过椭圆右焦点。解：椭圆化为设所求直线y=kx，将y=kx代入椭圆，整理，得再由（1）、（2），得导评:本题若先写出AB为直径圆方程,再把坐标代入圆方程,求解过程将比较繁杂.这里利用平面几何知识,选择垂直条件,简化了计算.第3页第3页例3、已知抛物线两条切线互相垂直,两切点分别为这两切线交点为M点,求证:xyAAMBFo证实：第4页第4页xyAAMBFo设AA垂直准线,A为垂足，由抛物线性质，知因此三角形AAM和三角形AMF全等。第5页第5页例4、求证等轴双曲线两条互相垂直焦点弦长度相等。NMTSoxy证实：（1）若一条焦点弦垂直于x轴，则另一条焦点弦必为实轴，不难算出通径 与实轴都为2。（2）如图，若一条焦点弦倾角为同样另一条焦点弦倾角为第6页第6页例5、椭圆长轴焦距过椭圆左焦点作一条直线交椭圆于M、N两点，问取何值时，|MN|等于椭圆短轴长。xyMNo解法一：如图，建立直角坐标系，则设直线MN方程为代入椭圆方程，整理，得解法二：同解法一，设MN中点为D，设M、N、D到左准线射影分别为M、N、D。第7页第7页xyMNoDMND下列同解法一。解法三：导评：此题1983年高考（理科）试题。解法一是普通解法，有普遍性，但计算量较大；解法二利用椭圆第二定义，比解法一简化了计算；解法三利用椭圆第一定义结合三角知识，计算量进一步减少，有一定启发性。第8页第8页二、圆锥曲线普通弦问题二、圆锥曲线普通弦问题设AB为圆锥曲线C：弦,为弦AB中点,若弦斜率k存在，则若圆锥曲线C一组平等弦斜率为k，则这些平等弦中点轨迹方程为 2Ax+2Cky+D+Ek=0.设|AB|=l，令例6、已知椭圆中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于求该椭圆方程。则以线段PQ为直径圆方程为与y=x+1联立，求得代入圆方程，得第9页第9页导评：此题是1991年高考（文科）数学试题。常规解法是用韦达定理结合垂直，两点间距离等关系进行比较繁琐运算求出含有长、短半轴长为未知数方程组,而这里利用圆方程和性质直接得出方程组.例7、如图，定长为3线段AB两端点在抛物线上移动，线段AB中点为M，求点M到y轴最短距离，并求此时M点坐标。xyoMBAF解法一：设线段AB中点M(x,y)到y轴距离为第10页第10页xyoMBACEDNF由（2），相应M点纵坐标解法二、抛物线焦点为，准线方程为设A、B、M到准线射影为C、E、D。设线段ME交y轴于N，则当且仅当AB过焦点F时，|MN|最小，因而x最小值可达到。第11页第11页xyoMBACEDNF导评：此题是1987年高考（理科）数学试题。解法一利用平均值定理，不易想到且计算量较大；解法二利用抛物线定义，计算量比较小，值得推广。第12页第12页