基本初等函数二复合函数三初等函数四建立函数关市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

一、基本初等函数、基本初等函数二、复合函数二、复合函数三、初等函数三、初等函数四、建立函数关系举例四、建立函数关系举例第五节第五节 初等函数初等函数第1页第1页一、基本初等函数(一)常量y=C(C为常数)常量函数定义域为 ，无论x取何值，y都取值常数C.第2页第2页(二)幂函数 幂函数 定义域随 不同而不同.不论 取何值，它在 内都有定义，而且图形都经过(1,1)点.第3页第3页当 正整数时,定义域为 为偶(奇)数时,偶(奇)函数.第4页第4页 无论 为有理数还是无理数,只要 ,函数 在区间 都是严格单调增长;,函数 在区间 是严格单调减少.第5页第5页指数函数 定义域为 .当a1时，它严格单调增长；当0a0,a1),值域都是 ，函数图形都过(0,1)点.第6页第6页对数函数 是指数函数 反函数，它定义域为 .当a1时，它严格单调增长；当0a0,a1)，值域都是 ，函数图形都过(1,0)点.第7页第7页在高等数学中，惯用到以e为底指数函数 和以e为底对数函数 (记作ln x),ln x称为自然对数.这里e=2.718 281 8 ，是一个无理数.第8页第8页(五)三角函数惯用三角函数有：正弦函数 y=sin x;第9页第9页余弦函数 y=cos x;y=sin x与y=cos x 定义域均为 ，它们都是以 为周期函数，都是有界函数.第10页第10页正切函数 y=tan x;第11页第11页余切函数 y=cot x;第12页第12页tan x与cot x是以 为周期周期函数，并且在其定义域内是无界函数.sin x,tan x及cot x是奇函数，cos x是偶函数.三角函数还包括正割函数y=sec x,余割函数y=csc x,其中 .它们都是以 为周期周期函数，并且在开区间 内都是无界函数.第13页第13页(六)反三角函数三角函数y=sin x,y=cos x,y=tan x和y=cot x反函数都是多值函数，我们按下列区间取其一个单值分支，称为主值分支，分别记作反正弦函数第14页第14页反余弦函数第15页第15页反正切函数第16页第16页反余切函数第17页第17页二、复合函数并称x为自变量，u为中间变量.定义1.8 设y是u函数，y=f(u)，而u是x函数 ，并且 值域 包括f(u)定义域U之中，即当 时 .则y通过u联系成为x函数，称此函数是由y=f(u)及 复合而成复合函数，记作第18页第18页例1 将函数 分解成两个基本初等函数复合,并求该函数定义域.解 令u=x2,函数 可分解为定义域为u=x2定义域为值域可知 定义域为第19页第19页例2 设函数 能否合成函数 若能够写出表示式并求出此复合函数定义域.函数解 函数值域为因此能够复合成由定义域有公共部分,它与 定义域知第20页第20页从而复合函数 取值范围为即因此此复合函数定义域为第21页第21页例3 函数 是由哪些基本初等函数复合或经四则运算并复合而成？解 此函数可分解为将上述函数依次复合便得第22页第22页三、初等函数定义1.9 能够由基本初等函数通过有限次四则运算或(和)通过有限次复合运算所构成,并可用一个式子表示函数,称为初等函数.不是初等函数函数叫作非初等函数.第23页第23页下面这些函数不是初等函数当x0当x=0,(称为符号函数，记为sgnx);当x0当x0初等函数都能够用一个公式表示.第24页第24页例4 设 为常数,且 讨论函数 周期性并求其(最小正)周期.解 f(t)为周期函数充要条件是,存在常数T0,使f(t+T)=f(t),即即上式成立充要条件是取n=1,因此f(t)最小正周期为第25页第25页例5 求f(x)=sin2x周期解周期为而任意实数都是常数 周期,周期是两项之和,可见它周期为.第26页第26页例6 讨论下列函数奇偶性:解 (1)易知,f(x)定义域有于是,对于任意而因此f(x)为奇函数第27页第27页(2)易知,g(x)定义域于是对于任意有而因此g(x)为偶函数.第28页第28页例7 把圆心角为 (弧度 )平面扇形两条半径重叠在一起而卷成一个圆锥，试求圆锥顶角与函数关系.四、建立函数关系举例把这个扇形卷成圆锥后，它顶角为 ，底圆周长为 .解 设扇形AOB圆心角 是 ，半径为r，于是弧AB长度为 .第29页第29页因此底圆半径为第30页第30页例8 将一个底半径为2cm，高为10cm圆锥杯做成量杯.要在上面刻上表示容积刻度，求出溶液高度与其相应容积之间函数关系.解 设溶液高度为h，其相应容积为V，r是平行于底面截面半径，则第31页第31页由于r也是变量，而需要找是V与h之间函数关系，因此应设法消去r，注意到 有第32页第32页