实数集与函数公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

1 1 实数实数2 2 数集数集.确界原理确界原理3 3 函数概念函数概念4 4 含有一些特性函数含有一些特性函数第1页第1页1 实实 数数第2页第2页1.我们用符号“”表示“任取”或“对于任意”或“对于所有”,符号“”称为全称量词.几种惯用符号几种惯用符号第3页第3页2.我们用符号“”表示“存在”.例：命题“对任意实数x,都存在实数y,使得x+y=1”可表示为“xR,yR,使x+y=1”符号“”称为存在量词.第4页第4页3.我们用符号“”表示“充足条件”比如,若用p,q分别表示两个命题或陈说句.或“推出”这一意思.则“p q”表示“若p成立,则q也成立”.即p是q成立充足条件.第5页第5页4.我们用符号“”表示“当且仅当”比如“p q”表示“p成立当且仅当q成立”或者说p成立充要条件是q成立.或“充要条件”这一意思.第6页第6页1.集合v集合 集合是指含有某种特定性质事物总体.集合可用大写字母A,B,C,D 等标识.v元素 构成集合事物称为集合元素.集合元素可用小写字母a,b,c,d 等标识.a是集合M元素记为aM,读作a属于M.a不是集合M元素记为aM,读作a不属于M.一、集合一、集合第7页第7页v集合表示列举法 把集合全体元素一一列举出来.比如Aa,b,c,d,e,f,g.描述法 若集合M是由元素含有某种性质P元素x全体所构成,则M可表示为 Mx|x含有性质P.比如M(x,y)|x,y为实数,x2y21.第8页第8页v几种数集 所有自然数构成集合记为N,称为自然数集.所有实数构成集合记为R,称为实数集.所有整数构成集合记为Z,称为整数集.所有有理数构成集合记为Q,称为有理集.v子集 假如集合A元素都是集合B元素,则称A是B子集,记为AB(读作A包括于B).AB若xA,则xB.显然,NZ,ZQ,QR.第9页第9页2.集合运算 设A、B是两个集合,则 ABx|xA或xB称为A与B并集(简称并).ABx|xA且xB称为A与B交集(简称交).ABx|xA且xB称为A与B差集(简称差).ACIAx|xA为称A余集或补集,其中I为全集.提醒:假如研究某个问题限定在一个大集合I中进行,所研究其它集合A都是I子集.则称集合I为全集或基本集.第10页第10页v集合运算法则 设A、B、C为任意三个集合,则有 (1)互换律 ABBA,ABBA;(2)结合律(AB)CA(BC),(AB)CA(BC);(3)分派律(AB)C(AC)(BC),(AB)C(AC)(BC);(4)对偶律(AB)CACBC,(AB)CACBC.(AB)CACBC证实因此(AB)CACBC.xACBC,xAC且xBCxABxA且xB x(AB)C第11页第11页v直积(笛卡儿乘积)设A、B是任意两个集合,则有序对集合 AB(x,y)|xA且yB称为集合A与集合B直积.比如,RR(x,y)|xR且yR 即为xOy面上全体点集合,RR常记作R2.第12页第12页阐明:对于负实数x,y,若有-x=-y与-x -y,则分别称x=y与x x)3.实数集v两个实数大小关系 阐明:.自然要求任何非负实数不小于任何负实数.)2,1(,2,1,.90,90),2,1(,.,.110000210210 xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn或分别记为小于或不小于则称而使得或存在非负整数若记为相等与则称若有为整数为非负整数其中 给定两个非负实数LLLLLLL 定义1 第13页第13页定义2 LLLL,2,1,0101.210210，nnxxx，nxaaaaxaaaaxnnnnnn位过剩近似称为而有理数位不足近似为实数称有理数为非负实数设阐明:.101.210210210nnnnnnaaaaxaaaaxnaaaaxLLLL与分别要求为位不足近似与过剩近似负实数阐明:.,210210LLxxx，nxxxx，nxxnn即有增大时不增当过剩近似即有增大时不减当不足近似实数第14页第14页命题1 .,:.位过剩近似表示位不足近似表示其中充要条件是则为两个实数与设nyy，nxxyxNnyx，bbbyaaaxnnnnLL第15页第15页v实数性质 1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:a b.第16页第16页3.实数集大小关系含有传递性.即若a b,b c,则有acv实数性质 .，则存在正整数 n,使得 nb a.即对任何4.实数含有阿基米德性,a b 0,第17页第17页5.实数集R含有稠密性.即任何两个不相等实数之间几有另一个实数,且既有在理数,也有无理数.6.实数集R与数轴上点含有一一相应关系.即任一实数都相应数轴上唯一一点,反之,数轴上每一点也都唯一代表一个实数.v实数性质 第18页第18页例1 证实 .:,yrxr，yx满足存在有理数证实为实数设.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn即得且有为有理数则令使得故存在非负整数由于第19页第19页.,:,babaRba则有若对任何正数证实设ee例2 .,.bababababa，从而必有矛盾这与假设为正数且则令有则依据实数有序性假若结论不成立用反证法eeee证实 第20页第20页3.小结 P9:1,2,3,4,5.(1),两个实数大小关系;(2),实数性质;(3),区间和邻域概念;(4),确界原理.第21页第21页2 数集数集.确界原理确界原理第22页第22页 数集x|axb称为开区间,记为(a,b),即(a,b)x|axb.a,bx|axb闭区间.a,b)x|axb半开区间,(a,bx|axb半开区间.v有限区间 上述区间都是有限区间,其中a和b称为区间端点,ba 称为区间长度.1.区间和邻域 第23页第23页 (,b x|xb,(,)x|x|.a,)x|ax,v无限区间 (,b)x|xb,(a,)x|a0,则称 U(a,)(a,a)x|xa|为点a邻域,其中点a称为邻域中心,称为邻域半径.v去心邻域U(a,)x|0|xa|.。第25页第25页阐明:2.确界原理定义1 若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若数集S不是有界集,则称S为无界集.,1,0.100无上界即则取下界实数都是任何一个小于显然NMnMnMN，).()()(),()(下界一个上界称为数数集下界为有上界则称都有使得对一切若存在数中一个数集是设SLM，SLxMxS，x，LM，RS.有下界而无上界为正整数数集比如nnN 第26页第26页定义2 阐明:Sxx1x2x3x4x5xn,)(xaiia,00axSx使得x0，S最小上界又是即x;.,)(上界是即有满足若数中一个数集是设SxSxi，RSxxx.supS，Sxx记作上确界为数集则称数 同理可得下确界定义.定义3:;.,)(下界是即有满足若数中一个数集是设SxSxi，RShhh.inf,)(00S，S，SxSxii第43页第43页4.函数运算 设 函 数 f(x),g(x)定 义 域 依 次 为 D1,D2,DD1D2,则能够定义这两个函数下列运算:和(差)f g:(f g)(x)f(x)g(x),xD;积 f g:(f g)(x)f(x)g(x),xD;第44页第44页 例10 设函数f(x)定义域为(l,l),证实必存在(l,l)上偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)g(x)h(x).提醒:假如f(x)g(x)h(x),则f(x)g(x)h(x),于是 证 则 f(x)g(x)h(x),且第45页第45页幂函数:yx (R是常数);指数函数:ya x(a0且a1);对数函数:yloga x(a0且a1),尤其当ae时,记为yln x;三角函数:ysin x,ycos x,ytan x,ycot x,ysec x,ycsc x;反三角函数:yarcsin x,yarccos x,yarctan x,yarccot x.v基本初等函数 第46页第46页(一)幂函数图形 第47页第47页第48页第48页同一坐标系中同一坐标系中幂函数图象幂函数图象第49页第49页(二)指数函数图形 第50页第50页同一坐标系中指数函数图象同一坐标系中指数函数图象第51页第51页(三)对数函数图形 第52页第52页同一坐标系中对数函数图象同一坐标系中对数函数图象第53页第53页正弦函数图象(四)三角函数图形 第54页第54页余弦函数图象第55页第55页第56页第56页第57页第57页(五)反三角函数图象第58页第58页第59页第59页第60页第60页第61页第61页 设函数yf(u)定义域为D1,函数ug(x)在D上有定义且g(D)D1,则由 yfg(x),xD拟定函数称为由函数ug(x)和函数yf(u)构成复合函数,它定义域为D,变量u称为中间变量.函数 g与函数 f 构成复合函数通常记为f o g,即 (f o g)(x)fg(x).阐明:g与f 构成复合函数f o g条件是:是函数g在D上值域g(D)必须含在f 定义域Df 内,即g(D)Df.不然,不能构成复合函数.比如v复合函数 第62页第62页由常数和基本初等函数通过有限次四则运算和有限次函数复合环节所构成并可用一个式子表示函数,称为初等函数.都是初等函数.比如,函数v初等函数 第63页第63页双曲函数 应用上常碰到双曲函数是:双曲正弦:双曲余弦:双曲正切:v双曲函数与反双曲函数 第64页第64页v双曲函数与反双曲函数 双曲函数性质比较 sin(xy)sin x cos ycos x sin y.sh(xy)sh x ch ych x sh y,ch2 x-sh2 x1,ch(xy)ch x ch ysh x sh y,sh 2x2sh x ch x,ch 2xch2x+sh2x.比较 cos(xy)cos x cos y sin x sin y.第65页第65页v双曲函数与反双曲函数 反双曲函数 双曲函数 ysh x,ych x,yth x反函数依次记为 反双曲正弦:y=arsh x,反双曲余弦:y=arch x,反双曲正切:y=arth x.能够证实 第66页第66页6.小结 P9:1,2,4,5,7,8.(1),基本初等函数概念;(2),基本初等函数图象及性质;(3),复合函数概念及性质;(4),双曲函数概念;(5),初等函数概念.第67页第67页 (1)符号函数符号函数1-1xyov几种特殊函数举例 第68页第68页(2)取整函数取整函数 y=xx表示不超出表示不超出 最大整数最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4-3-2-1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线第69页第69页有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3)狄利克雷函狄利克雷函数数第70页第70页(4)取最值函数取最值函数yxoyxo第71页第71页在自变量不同改变范围中,对应法则用不同式子来表示函数式子来表示函数,称为称为分段函数分段函数.第72页第72页 4 含有一些特性函数含有一些特性函数第73页第73页1.单调函数单调函数 单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数.xyof(x)单调递增xyof(x)单调递减设f(x)在(a,b)有定义.若x1,x2(a,b).x10,使x(a,b),有|f(x)|M.则称f(x)在(a,b)内有界.不然,称f(x)在(a,b)内无界.第83页第83页若M1,使x(a,b),有 f(x)M1,则称f(x)在(a,b)内有上界.M1称为它一个上界,看图.若M2,使x(a,b),有 M2 f(x),则称f(x)在(a,b)内有下界.M2称为它一个下界,看图.xyo abM2xyoabM1第84页第84页f(x)在(a,b)有界 f(x)在(a,b)既有上界,又有下界.易见,若f(x)在(a,b)有上界M1,则它在(a,b)有无穷多个上界.若f(x)在(a,b)有下界M2,则它在(a,b)有无穷多个下界.比如M2 1,M2 2,都是它下界.比如M1+1,M1+2,都是它上界.第85页第85页能够证实,在这无穷多个上界中必有一个最小上界M,称为f(x)在(a,b)上确界.记作在这无穷多个下界中必有一个最大下界m,称为f(x)在(a,b)下确界.记作第86页第86页比如y=sinx,由于|sinx|1.因此,1和1分别是sinx上界和下界.若f(x)在(a,b)内不满足有界性定义4,则称f(x)在(a,b)无界.且可看出1是sinx上确界.而1是sinx下确界.即,若对M 0,x0(a,b),使得|f(x0)|M,则称f(x)在(a,b)无界.第87页第87页比如,在(0,1)内无界.从几何上看,它图形不能所有夹在任何两条平等于x 轴直线之间.y011x第88页第88页2.反函数 设函数 f:Df(D)是单射,则它存在逆映射 f 1:f(D)D,称此映射f 1为函数 f 反函数.按习惯,yf(x),xD反函数记成yf 1(x),xf(D).比如,函数yx3,xR是单射,因此它反函数存在,其反函数为 函数yx3,xR反函数是提问:下列结论是否正确？第89页第89页2.反函数v反函数 设函数 f:Df(D)是单射,则它存在逆映射 f 1:f(D)D,称此映射f 1为函数 f 反函数.按习惯,yf(x),xD反函数记成yf 1(x),xf(D).若 f 是定义在D上单调函数,则 f:Df(D)是单射,于是 f 反函数f 1必定存在,并且容易证实f 1也是f(D)上单调函数.第90页第90页三、反函数DWDW第91页第91页 相对于反函数yf 1(x)来说,本来函数yf(x)称为直接函数.函数yf(x)和yf 1(x)图形关于直线 yx 是对称.v反函数 设函数 f:Df(D)是单射,则它存在逆映射 f 1:f(D)D,称此映射f 1为函数 f 反函数.按习惯,yf(x),xD反函数记成yf 1(x),xf(D).第92页第92页5.小结(1),有界函数;(2),单调函数;(3),奇,偶函数;(4),周期函数;(5),各类特殊函数图象特点.第93页第93页函数分类函数分类:函数函数初等函数初等函数非初等函数非初等函数(分段函数分段函数,有无穷多项等函数有无穷多项等函数)代数函数代数函数超越函数超越函数(指数、对数、三角、反三角指数、对数、三角、反三角)有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数(多项式函数多项式函数)有理分函数有理分函数(分式函数分式函数)第94页第94页 P20:1,2,3,4,5,6.P21:1,2,3,8,9,10,12,13,14,15,16.第95页第95页