广西梧州市2018年中考数学真题试题（含解析）.doc

2018 年广西梧州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是正确的，每小题选对得 3 分，选错、不选或多选均得零分。）
1．（3 分）﹣8 的相反数是（ ）

A．﹣8 B．8 C． D．
【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．

【解答】解：由相反数的定义可知，﹣8 的相反数是﹣（﹣8）=8． 故选：B．
【点评】本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

2．（3 分）研究发现，银原子的半径约是 0.00015 微米，把 0.00015 这个数字用 科学计数法表示应是（ ）
A．1.5×10﹣4 B．1.5×10﹣5 C．15×10﹣5 D．15×10﹣6
【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学计数法表示，一般形式为 a×10﹣n， 与较大数的科学计数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一 个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
【解答】解：0.00015=1.5×10﹣4， 故选：A．
【点评】本题考查用科学计数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤
|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．

3．（3 分）如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，
DE=6，则 DF 的长度是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

16

【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．

【解答】解：∵BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF=6， 故选：D．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到 角的两边的距离相等．

4．（3 分）已知∠A=55°，则它的余角是（ ）
A．25° B．35° C．45° D．55°
【分析】由余角定义得∠A 的余角为 90°减去 55°即可．
【解答】解：∵∠A=55°，
∴它的余角是 90°﹣∠A=90°﹣55°=35°， 故选：B．
【点评】本题考查了角的余角，由其定义很容易解得．

5．（3 分）下列各式计算正确的是（ ）

A．a+2a=3a B．x4•x3=x12 C．（）﹣1=﹣ D．（x2）3=x5
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、负指数幂和合并同类项法则逐个判断 即可．
【解答】解：A、a+2a=3a，正确； B、x4•x3=x7，错误；
C、（）-1=x，错误；
D、（x2）3=x6，错误；
故选：A．
【点评】此题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、负指数幂和合并同类项，关键是 根据法则计算．

6．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，A、B、C 三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣
1，0）、（﹣3，0），将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（ ）

A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2）
【分析】首先根据正方形的性质求出 D 点坐标，再将 D 点横坐标加上 3，纵坐标 不变即可．
【解答】解：∵在正方形 ABCD 中，A、B、C 三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣
1，0）、（﹣3，0），
∴D（﹣3，2），
∴将正方形 ABCD 向右平移 3 个单位，则平移后点 D 的坐标是（0，2）， 故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化﹣平移，是基础题，比较简 单．

7．（3 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF
对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ）

A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定 理得出答案．
【解答】解：连接 BB′
∵△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，
∴△BAC≌△B′AC′，

∵AB=AC，∠C=70°，
∴∠ABC=∠AC′B′=∠AB′C′=70°，
∴∠BAC=∠B′AC′=40°，
∵∠CAF=10°，
∴∠C′AF=10°，
∴∠BAB′=40°+10°+10°+40°=100°，
∴∠ABB′=∠AB′B=40°． 故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质，正确得出∠

BAC 度数是解题关键．

8．（3 分）一组数据：3，4，5，x，8 的众数是 5，则这组数据的方差是（ ）
A．2 B．2.4 C．2.8 D．3
【分析】根据数据的众数确定出 x 的值，进而求出方差即可．
【解答】解：∵一组数据 3，4，5，x，8 的众数是 5，
∴x=5，

∴这组数据的平均数为×（3+4+5+5+8）=5，则这组数据的方差为×[（3﹣5）2+（4﹣5）2+2×（5﹣4）2+（8﹣5）2]=2.8． 故选：C．
【点评】此题考查了方差，众数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

9．（3 分）小燕一家三口在商场参加抽奖活动，每人只有一次抽奖机会：在一个 不透明的箱子中装有红、黄、白三种球各 1 个，这些球除颜色外无其他差别，从箱子中随机摸出 1 个球，然后放回箱子中轮到下一个人摸球，三人摸到球的颜色
都不相同的概率是（ ）

A． B． C． D．
【分析】画出树状图，利用概率公式计算即可．

【解答】解：如图，一共有 27 种可能，三人摸到球的颜色都不相同有 6 种可能，

∴P（三人摸到球的颜色都不相同）==．

故选：D．
【点评】本题考查列表法与树状图，解题的关键是学会利用树状图解决概率问题．

10．（3 分）九年级一班同学根据兴趣分成 A、B、C、D、E 五个小组，把各小组 人数分布绘制成如图所示的不完整统计图．则 D 小组的人数是（ ）

A．10 人 B．l1 人 C．12 人 D．15 人
【分析】从条形统计图可看出 A 的具体人数，从扇形图找到所占的百分比，可求 出总人数．然后结合 D 所占的百分比求得 D 小组的人数．
【解答】解：总人数==50（人） D 小组的人数=50×=12（人）． 故选：C．
【点评】本题考查了条形统计图和扇形统计图，从上面可得到具体的值，以及用 样本估计总体和扇形统计图，扇形统计图表示部分占整体的百分比．
11．（3 分）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则 AE：EC 的值是（ ）

A．3：2 B．4：3 C．6：5 D．8：5
【分析】过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由 DF∥CE 得到==，则 CE=DF，由 DF∥AE 得到==，则 AE=4DF， 然后计算的值．
【解答】解：过点 D 作 DF∥CA 交 BE 于 F，如图，
∵DF∥CE，

∴=，
而 BD：DC=2：3，

∴=，则 CE=DF，
∵DF∥AE，

∴=，
∵AG：GD=4：1，

∴=，则 AE=4DF，∴=

故选：D．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应 线段成比例．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的 对应线段成比例

12．（3 分）按一定规律排列的一列数依次为：2，3，10，15，26，35，…，按此
规律排列下去，则这列数中的第 100 个数是（ ）
A．9999 B．10000 C．10001 D．10002
【分析】观察不难发现，第奇数是序数的平方加 1，第偶数是序数的平方减 1， 据此规律得到正确答案即可．
【解答】解：∵第奇数个数 2=12+1，
10=32+1，
26=52+1，
…，
第偶数个数 3=22﹣1，
15=42﹣1，
25=62﹣1，
…，
∴第 100 个数是 1002﹣1=9999， 故选：A．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，分数所在的序数为奇数和偶数两个方面 考虑求解是解题的关键，另外对平方数的熟练掌握也很关键．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
13．（3 分）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x≥3 ．
【分析】直接利用二次根式的有意义的条件得出 x 的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：x﹣3≥0， 解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解 题关键．

14．（3 分）如图，已知在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=6cm，则
DE 的长度是 3 cm．

【分析】根据三角形中位线定理解答．

【解答】解：∵D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，

∴DE=BC=3cm， 故答案为：3．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半是解题的关键．

15．（3 分）已知直线 y=ax（a≠0）与反比例函数 y=（k≠0）的图象一个交点 坐标为（2，4），则它们另一个交点的坐标是 （﹣2，﹣4） ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定 关于原点对称，据此进行解答．
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对 称，
∴另一个交点的坐标与点（2，4）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣2，﹣4）． 故答案为：（﹣2，﹣4）．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，要求同学们要熟练掌握 关于原点对称的两个点的坐标的横、纵坐标都互为相反数．

16．（3 分）如图，已知在⊙O 中，半径 OA=，弦 AB=2，∠BAD=18°，OD 与
AB 交于点 C，则∠ACO= 81 度．

【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断△AOB 的形状，由圆周角定理可以求得
∠BOD 的度数，再根据三角形的外角和不相邻的内角的关系，即可求得∠AOC
的度数．

【解答】解：∵OA=，OB=，AB=2，
∴OA2+OB2=AB2，OA=OB，
∴△AOB 是等腰直角三角形，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
∵∠BAD=18°，
∴∠BOD=36°，
∴∠ACO=∠OBA+∠BOD=45°+36°=81°， 故答案为：81．
【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质，解答本 题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

17．（3 分）如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA=6，圆心角∠ACB=120°， 则此圆锥高 OC 的长度是4 ．

【分析】先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求 出 OA，最后用勾股定理即可得出结论．
【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 r，

∵AC=6，∠ACB=120°，

∴=2πr，
∴r=2，即：OA=2，

在 Rt△AOC 中，OA=2，AC=6，根据勾股定理得，OC==4， 故答案为：4．
【点评】此题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，求出 OA 是解本题的关键．

18．（3 分）如图，点 C 为 Rt△ACB 与 Rt△DCE 的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连 接 AD、BE，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，延长 FC 交 BE 于点 G．若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，则的值为．

【分析】过 E 作 EH⊥GF 于 H，过 B 作 BP⊥GF 于 P，依据△EHG∽△BPG，可得=，再根据△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，即可得到 EH=CF，BP=CF，进 而得出=．
【解答】解：如图，过 E 作 EH⊥GF 于 H，过 B 作 BP⊥GF 于 P，则∠EHG=∠BPG=90°，
又∵∠EGH=∠BGP，
∴△EHG∽△BPG，

∴=，
∵CF⊥AD，
∴∠DFC=∠AFC=90°，
∴∠DFC=∠CHF，∠AFC=∠CPB， 又∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠CDF=∠ECH，∠FAC=∠PCB，
∴△DCF∽△CEH，△ACF∽△CBP，

∴
∴EH= CF，BP=CF，

∴=，
∴=， 故答案为：．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线 构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推算．

三、解答题（本大题共 8 小题，满分 66 分，）
19．（6 分）计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0
【分析】依据算术平方根的定义、有理数的乘方法则、绝对值的性质、有理数的 乘法法则、零指数幂的性质进行计算，最后，再进行加减计算即可．
【解答】解：原式=3﹣32÷8+5﹣1=3﹣4+5﹣1=3．
【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．

20．（6 分）解方程：2x2﹣4x﹣30=0．
【分析】利用因式分解法解方程即可；

【解答】解：∵2x2﹣4x﹣30=0，
∴x2﹣2x﹣15=0，
∴（x﹣5）（x+3）=0，
∴x1=5，x2=﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程的解法﹣因式分解法，解题的关键是熟练掌握解 一元二次方程的解法，属于中考基础题．

21．（6 分）如图，在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的一条直
线分别交 AD，BC 于点 E，F．求证：AE=CF．

【分析】利用平行四边形的性质得出 AO=CO，AD∥BC，进而得出∠EAC=∠FCO， 再利用 ASA 求出△AOE≌△COF，即可得出答案．
【解答】证明：∵▱ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，
∴AO=CO，AD∥BC，
∴∠EAC=∠FCO， 在△AOE 和△COF 中
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练 掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

22 8 分）解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•
（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．
【分析】先解不等式组求得 x 的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化 简原式，最后选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得．
【解答】解：解不等式 3x﹣6≤x，得：x≤3， 解不等式＜，得：x＞0，
则不等式组的解集为 0＜x≤3，
所以不等式组的整数解为 1、2、3，
原式=•[]
=•
=
∵x≠±3、1，
∴x=2， 则原式=1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的 混合运算是解题关键．

23．（8 分）随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚．为 开发新的旅游项目，我市对某山区进行调查，发现一瀑布．为测量它的高度，测 量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30°，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10°，AB 与水平面垂直．又在瀑布下的水平面测得 CG=27m， GF=17.6m（注：C、G、F 三点在同一直线上，CF⊥AB 于点 F）．斜坡 CD=20m， 坡角∠ECD=40°．求瀑布 AB 的高度．
（参考数据：≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin10°≈0.17，
cos10°≈0.98，tan10°≈0.18）

【分析】过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，在 Rt△ CMD 中，通过解直角三角形可求出 CM 的长度，进而可得出 MF、DN 的长度， 再在 Rt△BDN、Rt△ADN 中，利用解直角三角形求出 BN、AN 的长度，结合 AB=AN+BN 即可求出瀑布 AB 的高度．
【解答】解：过点 D 作 DM⊥CE，交 CE 于点 M，作 DN⊥AB，交 AB 于点 N，如
图所示．
在 Rt△CMD 中，CD=20m，∠DCM=40°，∠CMD=90°，
∴CM=CD•cos40°≈15.4m，DM=CD•sin40°≈12.8m，
∴DN=MF=CM+CG+GF=60m．
在 Rt△BDN 中，∠BDN=10°，∠BND=90°，DN=60m，
∴BN=DN•tan10°≈10.8m．
在 Rt△ADN 中，∠ADN=30°，∠AND=90°，DN=60m，
∴AN=DN•tan30°≈34.6m．
∴AB=AN+BN=45.4m．
答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题及坡度坡角问题，通 过解直角三角形求出 AN、BN 的长度是解题的关键．

24．（10 分）我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自 行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入 8 万元购进 A、B 两种型号的 电动自行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每辆 A 型电动自行车多 500 元．用 5 万元购进的 A 型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一 样．
（1）求 A、B 两种型号电动自行车的进货单价；
（2）若 A 型电动自行车每辆售价为 2800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3500 元，设该商店计划购进 A 型电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售 后可获利润 y 元．写出 y 与 m 之间的函数关系式；
（3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？
【分析】（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元（x+500）元，
构建分式方程即可解决问题；

（2）根据总利润=A 型两人+B 型的利润，列出函数关系式即可；
（3）利用一次函数的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）设 A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 x 元（x+500） 元．
由题意：=， 解得 x=2500，
经检验：x=2500 是分式方程的解．
答：A、B 两种型号电动自行车的进货单价分别为 2500 元 3000 元．
（2）y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000（20≤m≤30），
（3）∵y=300m+500（30﹣m）=﹣200m+15000，
∵﹣200＜0，20≤m≤30，
∴m=20 时，y 有最大值，最大值为 11000 元．
【点评】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用等知识，解题的关键是理解 题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题，属于中考常考题型．

25．（10 分）如图，AB 是⊙M 的直径，BC 是⊙M 的切线，切点为 B，C 是 BC 上
（除 B 点外）的任意一点，连接 CM 交⊙M 于点 G，过点 C 作 DC⊥BC 交 BG 的 延长线于点 D，连接 AG 并延长交 BC 于点 E．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）若 MB=BE=1，求 CD 的长度．

【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；
（2）利用勾股定理和面积法得到 AG、GE，根据三角形相似求得 GH，得到 MB、
GH 和 CD 的数量关系，求得 CD．
【解答】（1）证明：∵BC 为⊙M 切线
∴∠ABC=90°
∵DC⊥BC
∴∠BCD=90°
∴∠ABC=∠BCD
∵AB 是⊙M 的直径
∴∠AGB=90°
即：BG⊥AE
∴∠CBD=∠A
∴△ABE∽△BCD
（2）解：过点 G 作 GH⊥BC 于 H
∵MB=BE=1∴AB=2
∴AE=
由（1）根据面积法 AB•BE=BG•AE
∴BG=
由勾股定理：

AG=，GE=
∵GH∥AB
∴
∴
∴GH=
又∵GH∥AB
①
同理：②
①+②，得
∴

∴CD=
【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解 答时，注意根据条件构造相似三角形．

26．（12 分）如图，抛物线 y=ax2+bx﹣与 x 轴交于 A（1，0）、B（6，0）两点，
D 是 y 轴上一点，连接 DA，延长 DA 交抛物线于点 E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若 E 点在第一象限，过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F，△ADO 与△AEF 的面积比为
=，求出点 E 的坐标；

（3）若 D 是 y 轴上的动点，过 D 点作与 x 轴平行的直线交抛物线于 M、N 两点， 是否存在点 D，使 DA2=DM•DN？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说 明理由．

【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得 AF 的长，根据自变量与函数值的对应 关系，可得答案；
（3）根据两点间距离，可得 AD 的长，根据根与系数的关系，可得 x1•x2，根据
DA2=DM•DN，可得关于 n 的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）将 A（1，0），B（6，0）代入函数解析式，得

解得，
抛物线的解析式为 y=﹣x2+x﹣；
（2）∵EF⊥x 轴于点 F，
∴∠AFE=90°．
∵∠AOD=∠AFE=90°，∠OAD=∠FAE，
∴△AOD∽△AFE．
∵==
∵AO=1，
∴AF=3，OF=3+1=4，

当 x=4 时，y=﹣×42+×4﹣=，
∴E 点坐标是（4，），
（3）存在点 D，使 DA2=DM•DN，理由如下：
设 D 点坐标为（0，n），
AD2=1+n2，

当 y=n 时，﹣x2+x﹣=n
化简，得

﹣3x2+21x﹣18﹣4n=0， 设方程的两根为 x1，x2， x1•x2=
DM=x1，DN=x2，

DA2=DM•DN，即 1+n2=，
化简，得
3n2﹣4n﹣15=0， 解得 n1=，n2=3，
∴D 点坐标为（0，﹣）或（0，3）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的 关键是利用相似三角形的判定与性质得出 AF 的长；解（3）的关键是利用根与系 数的关系得出 x1•x2，又利用了解方程．