深圳市外国语学校八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案.doc
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深圳市外国语学校八年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案 一、压轴题 1.如图1.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=10,直线DE经过点C,过点A,B分别作AD⊥DE,BE⊥DE,垂足分别为点D和E,AD=8,BE=6. (1)①求证:△ADC≌△CEB;②求DE的长; (2)如图2,点M以3个单位长度/秒的速度从点C出发沿着边CA运动,到终点A,点N以8个单位长度/秒的速度从点B出发沿着线BC—CA运动,到终点A.M,N两点同时出发,运动时间为t秒(t>0),当点N到达终点时,两点同时停止运动,过点M作PM⊥DE于点P,过点N作QN⊥DE于点Q; ①当点N在线段CA上时,用含有t的代数式表示线段CN的长度; ②当t为何值时,点M与点N重合; ③当△PCM与△QCN全等时,则t= . 2.在中,,是直线上一点,在直线上,且. (1)如图1,当D在上,在延长线上时,求证:; (2)如图2,当为等边三角形时,是的延长线上一点,在上时,作,求证:; (3)在(2)的条件下,的平分线交于点,连,过点作于点,当,时,求的长度. 3.如图1,在等边△ABC中,E、D两点分别在边AB、BC上,BE=CD,AD、CE相交于点F. (1)求∠AFE的度数; (2)过点A作AH⊥CE于H,求证:2FH+FD=CE; (3)如图2,延长CE至点P,连接BP,∠BPC=30°,且CF=CP,求的值. (提示:可以过点A作∠KAF=60°,AK交PC于点K,连接KB) 4.(1)填空 ①把一张长方形的纸片按如图①所示的方式折叠,,为折痕,折叠后的点落在或的延长线上,那么的度数是________; ②把一张长方形的纸片按如图②所示的方式折叠,点与点重合,,为折痕,折叠后的点落在或的延长线上,那么的度数是_______. (2)解答:①把一张长方形的纸片按如图③所示的方式折叠,,为折痕,折叠后的点落在或的延长线上左侧,且,求的度数; ②把一张长方形的纸片按如图④所示的方式折叠,点与点重合,,为折痕,折叠后的点落在或的延长线右侧,且,求的度数. (3)探究:把一张四边形的纸片按如图⑤所示的方式折叠,,为折痕,设,,,求,,之间的数量关系. 5.如图,若要判定纸带两条边线a,b是否互相平行,我们可以采用将纸条沿AB折叠的方式来进行探究. (1)如图1,展开后,测得,则可判定a//b,请写出判定的依据_________; (2)如图2,若要使a//b,则与应该满足的关系是_________; (3)如图3,纸带两条边线a,b互相平行,折叠后的边线b与a交于点C,若将纸带沿(,分别在边线a,b上)再次折叠,折叠后的边线b与a交于点,AB//,,求出的长. 6.探究:如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若∠B=30°,则∠ACD的度数是 度; 拓展:如图②,∠MCN=90°,射线CP在∠MCN的内部,点A、B分别在CM、CN上,分别过点A、B作AD⊥CP、BE⊥CP,垂足分别为D、E,若∠CBE=70°,求∠CAD的度数; 应用:如图③,点A、B分别在∠MCN的边CM、CN上,射线CP在∠MCN的内部,点D、E在射线CP上,连接AD、BE,若∠ADP=∠BEP=60°,则∠CAD+∠CBE+∠ACB= 度. 7.在△ABC中,已知∠A=α. (1)如图1,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D. ①当α=70°时,∠BDC度数= 度(直接写出结果); ②∠BDC的度数为 (用含α的代数式表示); (2)如图2,若∠ABC的平分线与∠ACE角平分线交于点F,求∠BFC的度数(用含α的代数式表示). (3)在(2)的条件下,将△FBC以直线BC为对称轴翻折得到△GBC,∠GBC的角平分线与∠GCB的角平分线交于点M(如图3),求∠BMC的度数(用含α的代数式表示). 8.(1)问题发现. 如图1,和均为等边三角形,点、、均在同一直线上,连接. ①求证:. ②求的度数. ③线段、之间的数量关系为__________. (2)拓展探究. 如图2,和均为等腰直角三角形,,点、、在同一直线上,为中边上的高,连接. ①请判断的度数为____________. ②线段、、之间的数量关系为________.(直接写出结论,不需证明) 9.如图,中,,,点为射线上一动点,连结,作且. (1)如图1,过点作交于点,求证:; (2)如图2,连结交于点,若,,求证:点为中点. (3)当点在射线上,连结与直线交于点,若,,则______.(直接写出结果) 10.如图1,在平面直角坐标系中,点的坐为,点的坐标为,在中,轴交轴于点. (1)求和的度数; (2)如图,在图的基础上,以点为一锐角顶点作,,交于点,求证:; (3)在第()问的条件下,若点的标为,求四边形的面积. 11.如图,在中,,过点做射线,且,点从点出发,沿射线方向均匀运动,速度为;同时,点从点出发,沿向点匀速运动,速度为,当点停止运动时,点也停止运动.连接,设运动时间为.解答下列问题: (1)用含有的代数式表示和的长度; (2)当时,请说明; (3)设的面积为,求与之间的关系式. 12.已知:如图1,直线,EF分别交AB,CD于E,F两点,,的平分线相交于点K. (1)求的度数; (2)如图2,,的平分线相交于点,问与的度数是否存在某种特定的等量关系?写出结论并证明; (3)在图2中作,的平分线相交于点,作,的平分线相交于点,依此类推,作,的平分线相交于点,请用含的n式子表示的度数.(直接写出答案,不必写解答过程) 13.探索发现: …… 根据你发现的规律,回答下列问题: (1)= ,= ; (2)利用你发现的规律计算: (3)利用规律解方程: 14.小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题:“如图(1),在等边三角形中,点在上,点在的延长线上,且,试确定线段与的大小关系,并说明理由”.小敏与小颖讨论后,进行了如下解答: (1)取特殊情况,探索讨论:当点为的中点时,如图(2),确定线段与的大小关系,请你写出结论:_____(填“”,“”或“”),并说明理由. (2)特例启发,解答题目: 解:题目中,与的大小关系是:_____(填“”,“”或“”).理由如下: 如图(3),过点作EF∥BC,交于点.(请你将剩余的解答过程完成) (3)拓展结论,设计新题:在等边三角形中,点在直线上,点在直线上,且,若△的边长为,,求的长(请你画出图形,并直接写出结果). 15.已知:MN∥PQ,点A,B分别在MN,PQ上,点C为MN,PQ之间的一点,连接CA,CB. (1)如图1,求证:∠C=∠MAC+∠PBC; (2)如图2,AD,BD,AE,BE分别为∠MAC,∠PBC,∠CAN,∠CBQ的角平分线,求证:∠D+∠E=180°; (3)在(2)的条件下,如图3,过点D作DA的垂线交PQ于点G,点F在PQ上,∠FDA=2∠FDB,FD的延长线交EA的延长线于点H,若3∠C=4∠E,猜想∠H与∠GDB的倍数关系并证明. 16.如图,在中,为的中点,,.动点从点出发,沿方向以的速度向点运动;同时动点从点出发,沿方向以的速度向点运动,运动时间是. (1)在运动过程中,当点位于线段的垂直平分线上时,求出的值; (2)在运动过程中,当时,求出的值; (3)是否存在某一时刻,使?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 17.探究发现:如图①,在中,内角的平分线与外角的平分线相交于点. (1)若,则 ; 若,则 ; (2)由此猜想:与的关系为 (不必说明理由). 拓展延伸:如图②,四边形的内角与外角的平分线相交于点,. (3)若,,求的度数,由此猜想与,之间的关系,并说明理由. 18.如图1,直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上,∠EDF=30°,∠ABC=40°,CD平分∠ACB,将△DEF绕点D按逆时针方向旋转,记∠ADF为α(0°<α<180°),在旋转过程中; (1)如图2,当∠α= 时,,当∠α= 时,DE⊥BC; (2)如图3,当顶点C在△DEF内部时,边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N, ①此时∠α的度数范围是 ; ②∠1与∠2度数的和是否变化?若不变求出∠1与∠2度数和;若变化,请说明理由; ③若使得∠2≥2∠1,求∠α的度数范围. 19.(1)在等边三角形ABC中, ①如图①,D,E分别是边AC,AB上的点且AE=CD,BD与EC交于点F,则∠BFE的度数是 度; ②如图②,D,E分别是边AC,BA延长线上的点且AE=CD,BD与EC的延长线交于点F,此时∠BFE的度数是 度; (2)如图③,在△ABC中,AC=BC,∠ACB是锐角,点O是AC边的垂直平分线与BC的交点,点D,E分别在AC,OA的延长线上,AE=CD,BD与EC的延长线交于点F,若∠ACB=α,求∠BFE的大小.(用含α的代数式表示). 20.请按照研究问题的步骤依次完成任务. (问题背景) (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”, 请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D. (简单应用) (2)如图2,AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,若∠ABC=20°,∠ADC=26°,求∠P的度数(可直接使用问题(1)中的结论) (问题探究) (3)如图3,直线AP平分∠BAD的外角∠FAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE, 若∠ABC=36°,∠ADC=16°,猜想∠P的度数为 ; (拓展延伸) (4)在图4中,若设∠C=x,∠B=y,∠CAP=∠CAB,∠CDP=∠CDB,试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 (用x、y表示∠P) ; (5)在图5中,AP平分∠BAD,CP平分∠BCD的外角∠BCE,猜想∠P与∠B、D的关系,直接写出结论 . 【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除 一、压轴题 1.(1)①证明见解析;②DE=14;(2)①8t-10;②t=2;③t= 【解析】 【分析】 (1)①先证明∠DAC=∠ECB,由AAS即可得出△ADC≌△CEB; ②由全等三角形的性质得出AD=CE=8,CD=BE=6,即可得出DE=CD+CE=14; (2)①当点N在线段CA上时,根据CN=CN−BC即可得出答案; ②点M与点N重合时,CM=CN,即3t=8t−10,解得t=2即可; ③分两种情况:当点N在线段BC上时,△PCM≌△QNC,则CM=CN,得3t=10−8t,解得t=1011;当点N在线段CA上时,△PCM≌△QCN,则3t=8t−10,解得t=2;即可得出答案. 【详解】 (1)①证明:∵AD⊥DE,BE⊥DE, ∴∠ADC=∠CEB=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠DAC+∠DCA=∠DCA+∠BCE=90°, ∴∠DAC=∠ECB, 在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB(AAS); ②由①得:△ADC≌△CEB, ∴AD=CE=8,CD=BE=6, ∴DE=CD+CE=6+8=14; (2)解:①当点N在线段CA上时,如图3所示: CN=CN−BC=8t−10; ②点M与点N重合时,CM=CN, 即3t=8t−10, 解得:t=2, ∴当t为2秒时,点M与点N重合; ③分两种情况: 当点N在线段BC上时,△PCM≌△QNC, ∴CM=CN, ∴3t=10−8t, 解得:t=; 当点N在线段CA上时,△PCM≌△QCN,点M与N重合,CM=CN, 则3t=8t−10, 解得:t=2; 综上所述,当△PCM与△QCN全等时,则t等于s或2s, 故答案为:s或2s. 【点睛】 本题是三角形综合题目,考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形的性质、分类讨论等知识;本题综合性强,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 2.(1)见解析;(2)见解析;(3)3 【解析】 【分析】 (1)根据等腰三角形的性质和外角的性质即可得到结论; (2)过E作EF∥AC交AB于F,根据已知条件得到△ABC是等边三角形,推出△BEF是等边三角形,得到BE=EF,∠BFE=60°,根据全等三角形的性质即可得到结论; (3)连接AF,证明△ABF≌△CBF,得AF=CF,再证明DH=AH=CF=3. 【详解】 解:(1)∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ∵DE=DC, ∴∠E=∠DCE, ∴∠ABC-∠E=∠ACB-∠DCB, 即∠EDB=∠ACD; (2)∵△ABC是等边三角形, ∴∠B=60°, ∴△BEF是等边三角形, ∴BE=EF,∠BFE=60°, ∴∠DFE=120°, ∴∠DFE=∠CAD, 在△DEF与△CAD中, , ∴△DEF≌△CAD(AAS), ∴EF=AD, ∴AD=BE; (3)连接AF,如图3所示: ∵DE=DC,∠EDC=30°, ∴∠DEC=∠DCE=75°, ∴∠ACF=75°-60°=15°, ∵BF平分∠ABC, ∴∠ABF=∠CBF, 在△ABF和△CBF中, , △ABF≌△CBF(SAS), ∴AF=CF, ∴∠FAC=∠ACF=15°, ∴∠AFH=15°+15°=30°, ∵AH⊥CD, ∴AH=AF=CF=3, ∵∠DEC=∠ABC+∠BDE, ∴∠BDE=75°-60°=15°, ∴∠ADH=15°+30°=45°, ∴∠DAH=∠ADH=45°, ∴DH=AH=3. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰三角形和直角三角形的性质,三角形的外角的性质,等边三角形的判定和性质,证明三角形全等是解决问题的关键. 3.(1)∠AFE=60°;(2)见解析;(3) 【解析】 【分析】 (1)通过证明 得到对应角相等,等量代换推导出; (2)由(1)得到, 则在 中利用30°所对的直角边等于斜边的一半,等量代换可得; (3)通过在PF上取一点K使得KF=AF,作辅助线证明和全等,利用对应边相等,等量代换得到比值.(通过将顺时针旋转60°也是一种思路.) 【详解】 (1)解:如图1中. ∵为等边三角形, ∴AC=BC,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°, 在和中, , ∴(SAS), ∴∠BCE=∠DAC, ∵∠BCE+∠ACE=60°, ∴∠DAC+∠ACE=60°, ∴∠AFE=60°. (2)证明:如图1中,∵AH⊥EC, ∴∠AHF=90°, 在Rt△AFH中,∵∠AFH=60°, ∴∠FAH=30°, ∴AF=2FH, ∵, ∴EC=AD, ∵AD=AF+DF=2FH+DF, ∴2FH+DF=EC. (3)解:在PF上取一点K使得KF=AF,连接AK、BK, ∵∠AFK=60°,AF=KF, ∴△AFK为等边三角形, ∴∠KAF=60°, ∴∠KAB=∠FAC, 在和中, , ∴(SAS), ∴∠AKB=∠AFC=120°, ∴∠BKE=120°﹣60°=60°, ∵∠BPC=30°, ∴∠PBK=30°, ∴, ∴, ∵ ∴ . 【点睛】 掌握等边三角形、直角三角形的性质,及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键. 4.,;,;,. 【解析】 【分析】 (1)①如图①知,得 可求出解. ②由图②知得可求出解. (2)①由图③折叠知,可推出,即可求出解. ②由图④中折叠知,可推出,即可求出解. (3)如图⑤-1、⑤-2中分别由折叠可知,、,即可求得 、. 【详解】 解:(1)①如图①中, ,, , 故答案为. ②如图②中,, , 故答案为. (2)①如图③中由折叠可知, , , , , ; ②如图④中根据折叠可知, , , , , , ; (3)如图⑤-1中,由折叠可知,, ; 如图⑤-2中,由折叠可知,, . 【点睛】 本题考查了图形的变换中折叠属全等变换,图形的角度及边长不变及一些角度的计算问题,突出考查学生的观察能力、思维能力以及动手操作能力,本题是代数、几何知识的综合运用典型题目. 5.(1)内错角相等,两直线平行;(2)∠1+2∠2=180°;(3)4或10 【解析】 【分析】 (1)根据平行线的判定定理,即可得到答案; (2)由折叠的性质得:∠3=∠4,若a∥b,则∠3=∠2,结合三角形内角和定理,即可得到答案; (3)分两种情况:①当B1在B的左侧时,如图2,当B1在B的右侧时,如图3,分别求出的长,即可得到答案. 【详解】 (1)∵, ∴a∥b(内错角相等,两直线平行), 故答案是:内错角相等,两直线平行; (2)如图1,由折叠的性质得:∠3=∠4, 若a∥b,则∠3=∠2, ∴∠4=∠2, ∵∠2+∠4+∠1=180°, ∴∠1+2∠2=180°, ∴要使a∥b,则与应该满足的关系是:∠1+2∠2=180°. 故答案是:∠1+2∠2=180°; (3)①当B1在B的左侧时,如图2, ∵AB//,a∥b, ∴AA1=BB1=3, ∴=AC- AA1=7-3=4; ②当B1在B的右侧时,如图3, ∵AB//,a∥b, ∴AA1=BB1=3, ∴=AC+AA1=7+3=10. 综上所述:=4或10. 【点睛】 本题主要考查平行线的判定和性质定理,折叠的性质以及三角形的内角和定理,掌握“平行线间的平行线段长度相等”是解题的关键. 6.探究:30;(2)拓展:20°;(3)应用:120 【解析】 【分析】 (1)利用直角三角形的性质依次求出∠A,∠ACD即可; (2)利用直角三角形的性质直接计算得出即可; (3)利用三角形的外角的性质得出结论,直接转化即可得出结论. 【详解】 (1)在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°, ∴∠A=60°, ∵CD⊥AB, ∴∠ADC=90°, ∴∠ACD=90°﹣∠A=30°; 故答案为:30, (2)∵BE⊥CP, ∴∠BEC=90°, ∵∠CBE=70°, ∴∠BCE=90°﹣∠CBE=20°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACD=90°﹣∠BCE=70°, ∵AD⊥CP, ∴∠CAD=90°﹣∠ACD=20°; (3)∵∠ADP是△ACD的外角, ∴∠ADP=∠ACD+∠CAD=60°, 同理,∠BEP=∠BCE+∠CBE=60°, ∴∠CAD+∠CBE+∠ACB=∠CAD+∠CBE+∠ACD+∠BCE=(∠CAD+∠ACD)+(∠CBE+∠BCE)=120°, 故答案为120. 【点睛】 此题是三角形的综合题,主要考查了直角三角形的性质,三角形的外角的性质,垂直的定义,解本题的关键是充分利用直角三角形的性质:两锐角互余,是一道比较简单的综合题. 7.(1)(1)①125°;②,(2);(3) 【解析】 【分析】 (1)①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°,然后根据角平分线的定义,结合三角形内角和定理可求∠BDC; ②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A,采用①的推导方法即可求解; (2)由三角形外角性质得,然后结合角平分线的定义求解; (3)由折叠的对称性得,结合(1)②的结论可得答案. 【详解】 解:(1)①∵∠ABC,∠DCB=∠ACB, ∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB =180°﹣(∠ABC+∠ACB) =180°﹣(180°﹣70°) =125° ②∵∠ABC,∠DCB=∠ACB, ∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠DCB =180°﹣(∠ABC+∠ACB) =180°﹣(180°﹣∠A) =90°+∠A =90°+α. 故答案分别为125°,90°+α. (2)∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE ∴,, ∴= 即. (3)由轴对称性质知:, 由(1)②可得, ∴. 【点睛】 本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算,熟练掌握三角形内角和定理,以及三角形的外角性质是解题的关键. 8.(1)①详见解析;②60°;③;(2)①90°;② 【解析】 【分析】 (1)易证∠ACD=∠BCE,即可求证△ACD≌△BCE,根据全等三角形对应边相等可求得AD=BE,根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB的大小; (2)易证△ACD≌△BCE,可得∠ADC=∠BEC,进而可以求得∠AEB=90°,即可求得DM=ME=CM,即可解题. 【详解】 解:(1)①证明:∵和均为等边三角形, ∴,, 又∵, ∴, ∴. ②∵为等边三角形, ∴. ∵点、、在同一直线上, ∴, 又∵, ∴, ∴. ③ , ∴. 故填:; (2)①∵和均为等腰直角三角形, ∴,, 又∵, ∴, ∴, 在和中, , ∴, ∴. ∵点、、在同一直线上, ∴, ∴. ②∵, ∴. ∵,, ∴. 又∵, ∴, ∴. 故填:①90°;②. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质,本题中求证△ACD≌△BCE是解题的关键. 9.(1)见解析;(2)见解析;(3)或 【解析】 【分析】 (1)证明△AFD≌△EAC,根据全等三角形的性质得到DF=AC,等量代换证明结论; (2)作FD⊥AC于D,证明△FDG≌△BCG,得到DG=CG,求出CE,CB的长,得到答案; (3)过F作FD⊥AG的延长线交于点D,根据全等三角形的性质得到CG=GD,AD=CE=7,代入计算即可. 【详解】 解:(1)证明:∵FD⊥AC, ∴∠FDA=90°, ∴∠DFA+∠DAF=90°, 同理,∠CAE+∠DAF=90°, ∴∠DFA=∠CAE, 在△AFD和△EAC中, , ∴△AFD≌△EAC(AAS), ∴DF=AC, ∵AC=BC, ∴FD=BC; (2)作FD⊥AC于D, 由(1)得,FD=AC=BC,AD=CE, 在△FDG和△BCG中, , ∴△FDG≌△BCG(AAS), ∴DG=CG=1, ∴AD=2, ∴CE=2, ∵BC=AC=AG+CG=4, ∴E点为BC中点; (3)当点E在CB的延长线上时,过F作FD⊥AG的延长线交于点D, BC=AC=4,CE=CB+BE=7, 由(1)(2)知:△ADF≌△ECA,△GDF≌△GCB, ∴CG=GD,AD=CE=7, ∴CG=DG=1.5, ∴, 同理,当点E在线段BC上时,, 故答案为:或. 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键. 10.(1)∠OAD=∠ODA=45°;(2)证明见解析;(3)18. 【解析】 【分析】 (1)由等腰直角三角形的性质可求解; (2)通过“ASA”可证得△ODB≌△OAP,进而可得BO=OP; (3)过点P作PF⊥x轴于点F,延长FP交BC于N,过点A作AQ⊥BC于Q,由“AAS”可证△OBM≌△OPF,可得PF=BM=2,OF=OM=4,由面积和差关系可求四边形BOPC的面积. 【详解】 (1)∵点A的坐为(2,0),点D的坐标为(0,-2), ∴OA=OD, ∵∠AOD=90°, ∴∠OAD=∠ODA=45°; (2)∵∠BOE=∠AOD=90°, ∴∠BOD=∠AOP, ∵∠ABC=∠ACB=45°, ∴∠BAC=90°,AB=AC, ∵∠OAD=∠ODA=45°, ∴∠ODB=135°=∠OAP, 在△ODB和△OAP中, , ∴△ODB≌△OAP(ASA), ∴BO=OP; (3)如图,过点P作PF⊥x轴于点F,延长FP交BC于N,过点A作AQ⊥BC于Q, ∵BC∥x轴,AQ⊥BC,PF⊥x轴, ∴AQ⊥x轴,PN⊥BC,∠AOM=∠BMO=90°, ∴点Q横坐标为2, ∵∠BAC=90°,AB=AC,AQ⊥BC, ∴BQ=QC, ∵点B的标为(-2,-4), ∴BM=2,OM=4,BQ=4=QC, ∵PF⊥x轴, ∴∠OFP=∠OMB=90°, 在△OBM和△OPF中, , ∴△OBM≌△OPF(AAS), ∴PF=BM=2,OF=OM=4, ∵BC∥x轴,AQ⊥x轴,NF⊥x轴, ∴OM=AQ=FN=4, ∴PN=2, ∵∠PNC=90°,∠ACB=45°, ∴∠ACB=∠CPN=45°, ∴CN=PN=2, ∵四边形BOPC的面积=S△OBM+S梯形OMNP+S△PNC, ∴四边形BOPC的面积=×2×4+×4×(2+4)+×2×2=18. 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识,难度较大,添加恰当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键. 11.(1)CP=3t,BQ=8-t;(2)见解析;(3)S=16-2t. 【解析】 【分析】 (1)直接根据距离=速度时间即可; (2)通过证明,得到∠PQC=∠BCQ,即可求证; (3)过点C作CM⊥AB,垂足为M,根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4,即可求解. 【详解】 解:(1)CP=3t,BQ=8-t; (2)当t=2时,CP=3t=6,BQ=8-t=6 ∴CP=BQ ∵CD∥AB ∴∠PCQ=∠BQC 又∵CQ=QC ∴ ∴∠PQC=∠BCQ ∴PQ∥BC (3)过点C作CM⊥AB,垂足为M ∵AC=BC,CM⊥AB ∴AM=(cm) ∵AC=BC,∠ACB= ∴∠A=∠B= ∵CM⊥AB ∴∠AMC= ∴∠ACM= ∴∠A=∠ACM ∴CM=AM=4(cm) ∴ 因此,S与t之间的关系式为S=16-2t. 【点睛】 此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质,熟练掌握逻辑推理是解题关键. 12.(1);(2),证明见解析;(3) 【解析】 【分析】 (1) 过 作KG∥AB,交 于 ,证出∥KG,得到,,根据角平分线的性质及平行线的性质得到,即可得到答案; (2)根据角平分线的性质得到,,根据求出,根据求出答案; (3)根据(2)得到规律解答即可. 【详解】 (1) 过 作KG∥AB,交 于 , ∵ , ∴∥KG, ,, ,分别为与的平分线, ,, ∵, , , ,则 ; (2) , 理由为: ,的平分线相交于点, ,, ,即 , , , , ; (3)由(2)知; 同理可得=, ∴. 【点睛】 此题考查平行线的性质:两直线平行,内错角相等;平行公理的推论:平行于同一直线的两直线平行;角平分线的性质;(3)是难点,注意总结前两问的做题思路得到规律进行解答. 13.(1);(2);(3)见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据简单的分式可得,相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差,即可得到和 (2)根据(1)规律将乘法写成减法的形式,可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数,因此可得它们的和. (3)首先利用(2)的和的结果将左边化简,再利用分式方程的解法求解即可. 【详解】 解:(1), ; 故答案为 (2)原式= ; (3)已知等式整理得: 所以,原方程即: , 方程的两边同乘x(x+5),得:x+5﹣x=2x﹣1, 解得:x=3, 检验:把x=3代入x(x+5)=24≠0, ∴原方程的解为:x=3. 【点睛】 本题主要考查学生的归纳总结能力,关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点. 14.(1),理由详见解析;(2),理由详见解析;(3)3或1 【解析】 【分析】 (1)根据等边三角形的性质、三线合一的性质证明即可; (2)根据等边三角形的性质,证明△≌△即可; (3)注意区分当点在的延长线上时和当点在的延长线上时两种情况,不要遗漏. 【详解】 解:(1),理由如下: , ∵△是等边三角形,, 点为的中点, ,,, , , ; 故答案为:; (2),理由如下: 如图3: ∵△为等边三角形,且EF∥BC, ,,; ; ,,, 在△与△中, , ∴△≌△(AAS), , ∴△为等边三角形, , . (3)①如图4,当点在的延长线上时,过点作EF∥BC,交的延长线于点: 则,; ,; ∵△为等边三角形, ,,, ;而, ,; 在△和△中, , ∴△≌△(AAS),; ∵△为等边三角形,,, ; ②如图5,当点在的延长线上时,过点作EF∥BC,交的延长线于点: 类似上述解法,同理可证:,, . 【点睛】 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质.熟练掌握等边三角形的性质,构造合适的全等三角形是解题的关键. 15.(1)见解析;(2)见解析;(3)猜想:∠H= 3∠GDB,证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)作辅助线:过C作EF∥MN,根据平行的传递性可知这三条直线两两平行,由平行线的性质得到内错角相等∠MAC=∠ACF,∠BCF=∠PBC,再进行角的加和即可得出结论; (2)根据角平分线线定理得知,利用平角为180°得到∠DAE=90°,同理得,再根据四边形内角和180°,得出结论; (3)由(1)(2)中的结论进行等量代换得到3∠ADB=2∠E,并且两角的和为180°,由此得到两个角的度数分别为72°和108°,利用角的和与差得到∠HDA=36°,∠H=54°,由此得到倍数关系. 【详解】 (1)如图:过C作EF∥MN, ∵MN∥PQ, ∴MN∥EF∥PQ, ∴∠MAC=∠ACF,∠BCF=∠PBC, ∴∠ACF+∠BCF=∠MAC+∠PBC,即∠ACB=∠MAC+∠PBC. (2)∵AD,AE分别为∠MAC,∠CAN的角平分线, ∴, ∴,于是∠DAE=90° 同理可得:,由(1)可得: ∵ . (3)猜想:∠H= 3∠GDB. 理由如下:由(1)可知:, ∵3∠C=4∠E, ∴6∠ADB=4∠E, ∴3∠ADB=2∠E, ∵∠ADB+∠E=180°, ∴∠ADB=72°,∠E=108°, ∵DG⊥DA,∴∠GDB=18°, ∵∠FDA=2∠FDB, ∴∠ADF=144°, ∴∠HDA=36°, ∵DA⊥AE, ∴∠H=54°, ∴∠H=3∠GDB. 【点睛】 考查平行线中角度的关系,学生要熟悉掌握平行线的性质以及角平分线定理,结合角的和与差进行计算,本题的关键是平行线的性质. 16.(1)时,点位于线段的垂直平分线上;(2);(3)不存在,理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据题意求出BP,CQ,结合图形用含t的代数式表示CP的长度,根据线段垂直平分线的性质得到CP=CQ,列式计算即可; (2)根据全等三角形的对应边相等列式计算; (3)根据全等三角形的对应边相等列式计算,判断即可. 【详解】 解:(1)由题意得, 则, 当点位于线段的垂直平分线上时,, ∴, 解得,, 则当时,点位于线段的垂直平分线上; (2)∵为的中点,, ∴, ∵, ∴, ∴, 解得,, 则当时,; (3)不存在,∵, ∴, 则 解得,,, ∴不存在某一时刻,使. 【点睛】 本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质,掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键. 17.(1)40°25°;(2)(或)(3)= 【解析】 【分析】 (1)先根据两角平分线写出对应的等式关系,再分别写出两个三角形内角和的等式关系,最后联立两等式化解,将的角度带入即可求解; (2)由(1)可得,即可求解; (3)在与的平分线相交于点,可知,又因为,两直线平行内错角相等,得出,再根据三角形一外角等于不相邻的两个内角的和,得出,再由四边形的内角和定理得出,最后在中:,代入整理即可得出结论. 【详解】 解:(1)由题可知:BE为的角平分线,CE为的角平分线, =2=2,=2, , 三角形内角和等于, 在中:, 即:, ①, 在中:, 即:, ②, 综上所述联立①②,由①-②×2可得 :, , , , 当,则; 当,则; 故答案为,; (2)由(1)知:(或); (3)∵与的平分线相交于点, ∴, , 又∵, ∴(两直线平行,内错角相等), ∵是的一个外角, ∴(三角形一外角等于不相邻的两个内角的和), 在四边形中,四边形内角和为,, , ∴, ∴①, ∴, 即, 在中:,, 由上可得:, ②, 又∵, ∴, , , 由①②可得,, , . 【点睛】 本题主要考查了三角形的外角性质的应用和角平分线的定义,能正确运用性质进行推理和计算是解此题的关键,注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 18.(1)10°,100°;(2)①55°<α<85°;②∠1与∠2度数的和不变,理由见解析③55°<α≤60°. 【解析】 【分析】 (1)当∠EDA=∠B=40°时,,得出30°+α=40°,即可得出结果;当时,DE⊥AB,得出50°+α+30°=180°,即可得出结果; (2)①由已知得出∠ACD=45°,∠A=50°,推出∠CDA=85°,当点C在DE边上时,α+30°=85°,解得α=55°,当点C在DF边上时,α=85°,即可得出结果; ②连接MN,由三角形内角和定理得出∠CNM+∠CMN+∠MCN=180°,则∠CNM+∠CMN=90°,由三角形内角和定理得出∠DNM+∠DMN+∠MDN=180°,即∠2+∠CNM+∠CMN+∠1+∠MDN=180°,即可得出结论; ③由,∠1+∠2=60°,得出∠2≥2(60°−∠2),解得∠2≥40°,由三角形内角和定理得出∠2+∠NDM+α+∠A=180°,即∠2+30°+α+50°=180°,则∠2=100°−α,得出100°−α≥40°,解得α≤60°,再由当顶点C在△DEF内部时,55°<α<85°,即可得出结果. 【详解】 解:(1)∵∠B=40°, ∴当∠EDA=∠B=40°时,, 而∠EDF=30°, ∴, 解得:α=10°; 当时,DE⊥AB, 此时∠A+∠EDA=180°, , ∴, 解得:α=100°; 故答案为10°,100°; (2)①∵∠ABC=40°,CD平分∠ACB, ∴∠ACD=45°,∠A=50°, ∴∠CDA=85°, 当点C在DE边上时,, 解得:, 当点C在DF边上时,, ∴当顶点C在△DEF内部时,; 故答案为:; ②∠1与∠2度数的和不变;理由如下: 连接MN,如图所示: 在△CMN中,∵∠CNM+∠CMN+∠MCN=180°, ∴∠CNM+∠CMN=90°, 在△MND中,∵∠DNM+∠DM- 配套讲稿:
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