【考试必备】湖南衡阳市第一中学中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析.docx

中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共12小題，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为（A），（B），（C）.（D）的四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂属.
1．（3分）的绝对值是　　
A．2 B． C． D．
2．（3分）某8种食品所含的热量值分别为：120，184，122，119，126，119，118，124，则这组数据的众数和中位数分别是　　
A．134，120 B．119，120 C．119，121 D．119，122
3．（3分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体是　　

A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
4．（3分）计算的结果是　　
A． B． C． D．
5．（3分）若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为　　
A． B． C． D．
6．（3分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而减少，则点的坐标可以为　　
A． B． C． D．
8．（3分）《卖油翁》中写道：“（翁乃取葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超若铜钱直径，中闻有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入孔中的概率是　　
A． B． C． D．
9．（3分）如图，是的直径，是的弦，，均是的切线，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
10．（3分）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为　　

A．16 B．20 C．24 D．32
11．（3分）如图，点，在函数的图象上，点，在函数的图象上，轴，若点，的横坐标分别为1和2，，则的值为　　

A． B．2 C．3 D．4
12．（3分）如图，在正方形中，点是对角线的中点，是线段上的动点（不与点，重合），交于点，于点，则对于下列结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若在实数范围内的值存在，则实数的取值范围是　　．
14．（3分）化简：的结果是　　．
15．（3分）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为　　．
16．（3分）如图，在中，是边的垂直平分线，且分别与，交于点和，若，，则　　．

17．（3分）如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，，，都是格点，若图中扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为　　．

18．（3分）如图，在中，，，若是边上任意一点，且满足，与边的交点为，则线段的最小值是　　．

三、解答题（本大题共9小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（5分）计算：
20．（5分）求满足不等式组的所有整数解
21．（5分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）
如图，已知：，，
求作：，使圆心在边上，且与，均相切．

22．（6分）如图，反比例函数的图象与正比例函数交于和两点，点在第三象限内，轴，．
（1）求的值及点的坐标；
（2）求的值．

23．（8分）学校今年组织学生参加志愿者活动，活动分为甲、乙、丙三组图和扇形统计图反映了学生参加活动的报名情况，请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）若在参加活动的学生中随机抽取一名学生，则抽到乙组学生的概率是　　．
（2）今年参加志愿者共　　人，并把条形统计图补充完整；
（3）学校两年前参加志愿者的总人数是810人，若这两年的年增增长率相同，求这个年增长率．（精确到

24．（8分）某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买，两种花木共100棵绿化操场，其中花木每棵50元，花木每棵100元．
（1）若购进，两种花木刚好用去8000元，则购买了，两种花木各多少棵？
（2）如果购买花木的数量不少于花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．
25．（8分）如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的圆与、分别交于点、，且．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求的半径．

26．（11分）已知抛物线；与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，若动点在对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）如图2，设点关于对称轴的对称点为，是线段上的一个动点若，求直线的表达．

27．（10分）已知，在中，，点在边上，点在边上，，过点作交的延长线于点．
（1）如图1，当时：
①的度数为　　；
②求证：．
（2）如图2，当时，求的值（用含的式子表示）．

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小題，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为（A），（B），（C）.（D）的四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂属.
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：的绝对值是2，
即．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【分析】根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：在这8个数中，119出现了2次，出现的次数最多，
众数是119；
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：118，119，119，
中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共12小題，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为（A），（B），（C）.（D）的四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂属.
1．（3分）的绝对值是　　
A．2 B． C． D．
2．（3分）某8种食品所含的热量值分别为：120，184，122，119，126，119，118，124，则这组数据的众数和中位数分别是　　
A．134，120 B．119，120 C．119，121 D．119，122
3．（3分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体是　　

A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
4．（3分）计算的结果是　　
A． B． C． D．
5．（3分）若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为　　
A． B． C． D．
6．（3分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而减少，则点的坐标可以为　　
A． B． C． D．
8．（3分）《卖油翁》中写道：“（翁乃取葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超若铜钱直径，中闻有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入孔中的概率是　　
A． B． C． D．
9．（3分）如图，是的直径，是的弦，，均是的切线，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
10．（3分）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为　　

A．16 B．20 C．24 D．32
11．（3分）如图，点，在函数的图象上，点，在函数的图象上，轴，若点，的横坐标分别为1和2，，则的值为　　

A． B．2 C．3 D．4
12．（3分）如图，在正方形中，点是对角线的中点，是线段上的动点（不与点，重合），交于点，于点，则对于下列结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若在实数范围内的值存在，则实数的取值范围是　　．
14．（3分）化简：的结果是　　．
15．（3分）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为　　．
16．（3分）如图，在中，是边的垂直平分线，且分别与，交于点和，若，，则　　．

17．（3分）如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，，，都是格点，若图中扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为　　．

18．（3分）如图，在中，，，若是边上任意一点，且满足，与边的交点为，则线段的最小值是　　．

三、解答题（本大题共9小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（5分）计算：
20．（5分）求满足不等式组的所有整数解
21．（5分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）
如图，已知：，，
求作：，使圆心在边上，且与，均相切．

22．（6分）如图，反比例函数的图象与正比例函数交于和两点，点在第三象限内，轴，．
（1）求的值及点的坐标；
（2）求的值．

23．（8分）学校今年组织学生参加志愿者活动，活动分为甲、乙、丙三组图和扇形统计图反映了学生参加活动的报名情况，请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）若在参加活动的学生中随机抽取一名学生，则抽到乙组学生的概率是　　．
（2）今年参加志愿者共　　人，并把条形统计图补充完整；
（3）学校两年前参加志愿者的总人数是810人，若这两年的年增增长率相同，求这个年增长率．（精确到

24．（8分）某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买，两种花木共100棵绿化操场，其中花木每棵50元，花木每棵100元．
（1）若购进，两种花木刚好用去8000元，则购买了，两种花木各多少棵？
（2）如果购买花木的数量不少于花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．
25．（8分）如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的圆与、分别交于点、，且．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求的半径．

26．（11分）已知抛物线；与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，若动点在对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）如图2，设点关于对称轴的对称点为，是线段上的一个动点若，求直线的表达．

27．（10分）已知，在中，，点在边上，点在边上，，过点作交的延长线于点．
（1）如图1，当时：
①的度数为　　；
②求证：．
（2）如图2，当时，求的值（用含的式子表示）．

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小題，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为（A），（B），（C）.（D）的四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂属.
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：的绝对值是2，
即．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【分析】根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：在这8个数中，119出现了2次，出现的次数最多，
众数是119；
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：118，119，119，
中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共12小題，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为（A），（B），（C）.（D）的四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂属.
1．（3分）的绝对值是　　
A．2 B． C． D．
2．（3分）某8种食品所含的热量值分别为：120，184，122，119，126，119，118，124，则这组数据的众数和中位数分别是　　
A．134，120 B．119，120 C．119，121 D．119，122
3．（3分）若几何体的三视图如图所示，则该几何体是　　

A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
4．（3分）计算的结果是　　
A． B． C． D．
5．（3分）若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为　　
A． B． C． D．
6．（3分）若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
7．（3分）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而减少，则点的坐标可以为　　
A． B． C． D．
8．（3分）《卖油翁》中写道：“（翁乃取葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超若铜钱直径，中闻有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油滴恰好落入孔中的概率是　　
A． B． C． D．
9．（3分）如图，是的直径，是的弦，，均是的切线，若，则的度数是　　

A． B． C． D．
10．（3分）如图，在菱形中，点，分别是，的中点，连接，若，则菱形的周长为　　

A．16 B．20 C．24 D．32
11．（3分）如图，点，在函数的图象上，点，在函数的图象上，轴，若点，的横坐标分别为1和2，，则的值为　　

A． B．2 C．3 D．4
12．（3分）如图，在正方形中，点是对角线的中点，是线段上的动点（不与点，重合），交于点，于点，则对于下列结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）若在实数范围内的值存在，则实数的取值范围是　　．
14．（3分）化简：的结果是　　．
15．（3分）一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为　　．
16．（3分）如图，在中，是边的垂直平分线，且分别与，交于点和，若，，则　　．

17．（3分）如图，在的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，，，都是格点，若图中扇形恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为　　．

18．（3分）如图，在中，，，若是边上任意一点，且满足，与边的交点为，则线段的最小值是　　．

三、解答题（本大题共9小题，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（5分）计算：
20．（5分）求满足不等式组的所有整数解
21．（5分）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法和证明）
如图，已知：，，
求作：，使圆心在边上，且与，均相切．

22．（6分）如图，反比例函数的图象与正比例函数交于和两点，点在第三象限内，轴，．
（1）求的值及点的坐标；
（2）求的值．

23．（8分）学校今年组织学生参加志愿者活动，活动分为甲、乙、丙三组图和扇形统计图反映了学生参加活动的报名情况，请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）若在参加活动的学生中随机抽取一名学生，则抽到乙组学生的概率是　　．
（2）今年参加志愿者共　　人，并把条形统计图补充完整；
（3）学校两年前参加志愿者的总人数是810人，若这两年的年增增长率相同，求这个年增长率．（精确到

24．（8分）某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买，两种花木共100棵绿化操场，其中花木每棵50元，花木每棵100元．
（1）若购进，两种花木刚好用去8000元，则购买了，两种花木各多少棵？
（2）如果购买花木的数量不少于花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．
25．（8分）如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的圆与、分别交于点、，且．
（1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
（2）若，，求的半径．

26．（11分）已知抛物线；与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，若动点在对称轴上，当的周长最小时，求点的坐标；
（3）如图2，设点关于对称轴的对称点为，是线段上的一个动点若，求直线的表达．

27．（10分）已知，在中，，点在边上，点在边上，，过点作交的延长线于点．
（1）如图1，当时：
①的度数为　　；
②求证：．
（2）如图2，当时，求的值（用含的式子表示）．

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小題，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为（A），（B），（C）.（D）的四个选项，其中只有一个是正确的，请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂属.
【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
【解答】解：的绝对值是2，
即．
故选：．
【点评】本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【分析】根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：在这8个数中，119出现了2次，出现的次数最多，
众数是119；
把这组数据按照从小到大的顺序排列为：118，119，119，
中学自主招生数学试卷

一、选择题：本大题共12个小题,在每小题的四个选项中只有一个是正确的,请把正确的选
项选出来,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.每小题涂对得3分,满分36分.

1. 下列各数中：-、12π、、0.010010001、、0是无理数的有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.关于x的方程-2x+4x+1=0的两个根分别是x、x,则x+x是
A.2 B. -2 C. 3 D. 5
3.点P在平面直角坐标系中，位于x轴上方，距离x轴3个单位长度，距离y轴4个单位长度，则点P关于x轴对称的点的坐标是
A.（3，4）、（-3，4） B. （4，-3）、（-4，-3）
第四题图
D
C
A
E
B
C. （3，-4）、（-3，-4） D. （4，3）、（-4，3）
4.如图，在四边形ABCD中，点E在线段DC的延长线上，能使直线AD∥BC的条件有：（1）∠D=∠BCE，（2）∠B=∠BCE，（3）∠A+∠B=180，（4）∠A+∠D=180 ，（5）∠B=∠D
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则等腰三角形的周长是
A.9cm B.12cm C.9cm或12cm D. 都不对
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90，Sin∠A=，AB=8cm，则
△ABC的面积是
A.6cm B.24cm C. 2cm D. 6cm
7.班主任老师给获得文明小组的同学们发放水果，若每人5个，多8个，若每人7个，差4个，问有多少名同学？多少个水果？
A.6名，38个 B.4名，28个 C. 5名，30个 D. 7名，40个
8.如图，二次函数y=ax+bx+c的图像如图所示，直线m是
图像的对称轴，则下列各式的取值正确的是：a>0, b<0，c>0，
b-4ac<0，2a+b>0，a+b+c>0
A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

9.X的值适合不等式且x是正整数，则x的值是
A.0，1 B.0，1，2 C. 1，2 D.1
10. 如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F
是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O与点E，EF=3m，则
⊙O直径的长是
A. B. C. D.

11.如图，等腰△ABC中，∠BAC=120，点D在边BC上，等腰△ADE绕点A顺时针旋转30后，点D落在边AB上，点E落在边AC上，若AE=2cm，则四边形ABDE的面积是多少
A. 4cm B. cm C.2cm D.4cm

12.如图，在正方形ABCD中，对角线相交于点O，BN平分∠CBD，交边CD于点N，交对角线AC于点M，若OM=1，则线段DN的长是多少
A. 1.5 B. 2 C. D. 2

第Ⅱ卷（非选择题，共114分）
二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.
13.某校春季运动会，小红参加100米和200米的比赛，每组六人分别在1--6号跑道同时进行比赛，问小红两次都抽到3号跑道的概率是 。
14.反比例函数y=图像的两个分支与一次函数y=x+b的图像相交于点A（1，y）、B，BD垂直于y轴，垂足为D,△OBD的面积为1，则b的值是 。
15.一组数据a、b、c、d、e的方差是3，则新数据2a+4、2b+4、2c+4、2d+4、2e+4的方差是 。
A
D
C
B
M
N
E
F
第十七题图
H
16.若x-4x+3=0，则分式的值是 。
第十八题图
（1）
（2）
17.如图，对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的N点处，同时得到折痕BM，BM与EF交与点H,连接线段BN，则EH与HN的比值是 。
18.如图，有四块如图(1)这样的小正方体摆在一起，其主视图如图(2)，则左视图有 种画法。
B
A

D
C
第十九题图
19.如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠ADC=30，以CD为直径做半圆与边AD相交，则阴影部分的面积是 cm。
20.观察算式：
（1）==
=====10，
（2） ===
===100=10
你能发现什么规律？用你发现的规律直接写出下题的结果：
= 。

三、解答题：本大题共6个小题，满分74分. 解答时请写出必要的演推过程.
21. （本小题满分10分）
解分式方程：+=1
22. （本小题满分12分）
为了更好的促进学生进行“阳光体育”运动，某校对全体学生进行了各项体育检测，下面是根据七年级（1）班50名学生的综合成绩，整理并制作了如下表格和一幅不完整的条形统计图：
成绩（分）
40～50
50～60
60～70
70～80
80～90
90～100
人数（名）
x
6
9
y
12
z
说明：各分数段包括前面的分数，不包括后面的分数。60分以下为一般，60～80分为良好，80～100分为优秀.

根据上述信息，解答下列问题：
（1）计算x、y、z的值：x= ，y= ， z= 。
（2）请补全空气质量天数条形统计图；根据条形统计图直接写出体育成绩这组数据的中位数在那个小组内________；
（3）根据已完成的扇形统计图，写出体育成绩等级为优秀的学生所占的百分比 ；它所对应扇形统计图中的圆心角度数是 。
（4）估计班级的平均分是 。

第二十三题图
23. （本小题满分12分）
如图，BC是⊙O的直径， AB是⊙O的弦，OEAB，E是垂足， 弦CD经过点E，连接AD,OE=2,∠D=30
（1）求证：AE=CEDE
（2）求DE的长

24. （本小题满分13分）
某单位为了创建城市文明单位，准备在单位的墙（线段MN所示）外开辟一处长方形的土地进行绿化美化，除墙体外三面要用栅栏围起来，计划用栅栏50米。
（1）不考虑墙体长度，问长方形的各边的长为多少时，长方形的面积最大？
（2）若墙体长度为20米，问长方形面积最大是多少？

25. （本小题满分13分）
如图，直角边长为6的等腰Rt△ABC中，点D、E分别在直角边AC、BC上，DE∥AB，EC=4
（1）如图1，将△DEC沿射线AC方向平移，得到△DEC，边DE与BC的交点为M，连接BE，当CC多大时，△BME是等腰直角三角形 ？并说明理由．
（2）如图2，将△DEC绕点C旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△DEC，连接AD、BE，边DE的中点为F．
①在旋转过程中，AD和BE有怎样的数量关系？并说明理由；
（2）
M
（1）
②连接BF，当BF最大时，求AD的值．（结果保留根号）

26. （本小题满分14分）
如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB=10,tan∠DAB=,抛物线经过点B、C、D。
（1）求抛物线的解析式
（2）直线EF与BC平行，与抛物线只有一个交点，求直线EF解析式
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形，若存在直接写出P点坐标，若不存在说明理由。

参考答案
一、选择题：本大题共12个小题,每小题3分,满分36分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
D
B
B
C
A
D
C
B
C
B
二、填空题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.
13. 14.1或-3 15.12 16.2 17.1:2 18.3
19.28- 20.10
三、解答题：本大题共6个小题，满分74分.解答时请写出必要的演推过程.
21.（本小题满分10分）
解：+=1
去分母，得：2x+（x-3）（x-1）=x（x-3）………………………………2分
去括号，得：2x+x-x-3x+3=x-3x………………………………………4分
移项合并同类项，得：x=-3 … ……………………………………………6分
检验：当x=-3时，x（x-3）≠0 ……………………………………………8分
所以：x=-3是原分式方程的解 ……………………………………………10分

27. （本小题满分12分）
解：

（1）计算x、y、z的值：x= 3 ，y= 11 ， z= 9 。 ………………3分
（2）请补全空气质量天数条形统计图；根据条形统计图直接写出体育成绩这组数据的中位数在那个小组内___良好___；………………………………………………6分
（3）根据已完成扇形统计图，写出体育成绩等级为优秀的学生所占的百分比 42% ；扇形统计图中的圆心角度数是 151.2 。……………………………………10分
（4）估计班级的平均分是 75 。 ……
中学自主招生数学试卷

一．选择题（满分30分，每小题3分）
1．估计﹣2的值在（　　）
A．0到l之间 B．1到2之问 C．2到3之间 D．3到4之间
2．已知图中所有的小正方形都全等，若在右图中再添加一个全等的小正方形得到新的图形，使新图形是中心对称图形，则正确的添加方案是（　　）

A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．3x2﹣2x2＝1 B． +＝ C．x÷y•＝x D．a2•a3＝a5
4．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
5．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（　　）
A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较
6．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图可以是（　　）

A． B．
C． D．
7．已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则函数y＝﹣bx+k的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
8．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣4x﹣4＝0 B．x2﹣36x+36＝0
C．4x2+4x+1＝0 D．x2﹣2x﹣1＝0
9．如图，在菱形ABCD中，点P从B点出发，沿B→D→C方向匀速运动，设点P运动时间为x，△APC的面积为y，则y与x之间的函数图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
10．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是AB边上的动点，过点B作直线CE的垂线，垂足为F，当点E从点A运动到点B时，点F的运动路径长为（　　）

A． B．2 C．π D．π

二．填空题（满分18分，每小题3分）
11．因式分解：a3﹣9a＝　 　．
12．方程＝的解是　 　．
13．已知，如图，扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，若以A为圆心，OA长为半径画弧交弧AB于点C，过点C作CD⊥OA，垂足为D，则图中阴影部分的面积为　 　．

14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则此抛物线的对称轴是　 　．
15．已知点A是双曲线y＝在第一象限的一动点，连接AO，过点O做OA⊥OB，且OB＝2OA，点B在第四象限，随着点A的运动，点B的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　 　．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，将矩形ABCD绕点D按顺时针方向旋转得到矩形DEFG，点A落在矩形ABCD的边BC上，连接CG，则CG的长是　 　．

三．解答题
17．（9分）（x+3）（x﹣1）＝12（用配方法）
18．（9分）如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图．
（1）在图1中，作AD的中点P；
（2）在图2中，作AB的中点Q．

19．（10分）先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．
20．（10分）抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

21．（12分）如图，在⊙O中，点A是的中点，连接AO，延长BO交AC于点D．
（1）求证：AO垂直平分BC．
（2）若，求的值．

22．（12分）如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y＝（x＞0）的图象与边BC交于点F
（1）若△OAE的面积为S1，且S1＝1，求k的值；
（2）若OA＝2，OC＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象与边AB、边BC交于点E和F，当△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上，求k的值．

23．（12分）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西55°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东35°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B、C两地的距离（结果保留整数）（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8）

24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣，过点A（﹣3，2）和点B（2，），与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB
（1）求抛物线y＝ax2+bx﹣的函数表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）∠AOB的大小是　 　；
（4）将△OCD绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点C′，点D的对应点是点D′，直线AC′与直线BD′交于点M，在△OCD旋转过程中，当点M与点C′重合时，请直接写出点M到AB的距离．

25．（14分）如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB．
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值；
（3）若＝，求证：CD＝DH．

参考答案
1．B．
2．B．
3．D．
4．D．
5．B．
6．A．
7．C．
8．C．
9．A．
10．D．
11．a（a+3）（a﹣3）．
12．x＝﹣4
13．π+．
14．x＝3．
15．y＝﹣．

16．．

17．解：将原方程整理，得
x2+2x＝15（1分）
两边都加上12，得
x2+2x+12＝15+12（2分）
即（x+1）2＝16
开平方，得x+1＝±4，即x+1＝4，或x+1＝﹣4（4分）
∴x1＝3，x2＝﹣5（5分）

18．
解：（1）如图点P即为所求；
（2）如图点Q即为所求；

19．解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
20．解：（1）10÷20%＝50，
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；
补全条形图如图所示：

（3）700×＝56，
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．
21．（1）证明：延长AO交BC于H．
∵＝，
∴OA⊥BC，
∴BH＝CH，
∴AO垂直平分线段BC．

（2）解：延长BD交⊙O于K，连接CK．
在Rt△ACH中，∵tan∠ACH＝＝，
∴可以假设AH＝4k，CH＝3k，设OA＝r，
在Rt△BOH中，∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2＝9k2+（4k﹣r）2，
∴r＝k，
∴OH＝AH＝OA＝k，
∵BK是直径，
∴∠BCK＝90°，
∴CK⊥BC，∵OA⊥BC，
∴OA∥CK，
∵BO＝OK，BH＝HC，
∴CK＝2OH＝k，
∵CK∥OA，
∴△AOD∽△CKD，
∴＝＝＝．

22．解：（1）设E（a，b），则OA＝b，AE＝a，k＝ab
∵△AOE的面积为1，
∴k＝1，k＝2；
答：k的值为：2．
（2）过E作ED⊥OC，垂足为D，△BEF沿EF折叠，点B恰好落在OC上的B′，
∵OA＝2，OC＝4，点E、F在反比例函数y＝的图象上，
∴E（，2），F（4，），
∴EB＝EB′＝4﹣，BF＝B′F＝2﹣，
∴＝，
由△EB′F∽△B′CF得：，
∵DE＝2，
∴B′C＝1，
在Rt△B′FC中，由勾股定理得：
12+（）2＝（2﹣）2，解得：k＝3，
答：k的值为：3．

23．解：过B作BD⊥AC于点D．
在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝4×0.8＝3.2（千米），
∵△BCD中，∠CBD＝90°﹣35°＝55°，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4.48（千米），
∴BC＝CD÷sin∠CBD≈6（千米）．
答：B、C两地的距离大约是6千米．

24．解：（1）∵抛物线y＝