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数列知识点梳理
一、数列的相关概念
(一)数列的概念
1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作简记.
2．数列的第项与项数的关系若用一个公式给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列可以看做定义域为（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
(二)数列的表示方法
数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。
(三)数列的分类
1． 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。
2． 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。
3． 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。
递增数列的判断：比较f(n+1)与f(n)的大小（作差或作商）
(四)数列通项与前项和的关系
1． 2．
二、等差数列的相关知识点
1．定义：。
当d>0时，递增数列，d<0时，递减数列，d=0时，常数数列。
2．通项公式：
d=，d= 是点列（n，an）所在直线的斜率.
3．前n项的和：
{}是等差数列。
4．等差中项：若a、b、c等差数列，则b为a与c的等差中项:2b=a+c
5、等差数列的判定方法(n∈N*)
(1)定义法: an+1-an=d是常数 (2)等差中项法:
(3)通项法: (4)前n项和法:
6．性质:设{an}是等差数列，公差为d,则
(1)m+n=p+q,则am+an=ap+aq 特别地，当时，则有
(2) an,an+m,an+2m……组成公差为md的等差数列.
(3) Sn, S2n-Sn, S3n-S2n……组成公差为n2d的等差数列.
(4)若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 均是等差数列，公差分别为：
(5)若等差数列、的前和分别为、，且，则 .如设{}与{}是两个等差数列，它们的前项和分 别为和，若，那么___________，__________
（6）的最值：法1、可求二次函数的最值；法2、求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值.例：若是等差数列，首项，，则使前n项和 成立的最大正整数n是 （答：4006）
7．知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,
8、巧设元：三数:, 四数：
9、项数为偶数的等差数列，有，，

项数为奇数的等差数列，有， ，.例、项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.
10、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.
三、等比数列的相关知识点（类比等差数列）
1、定义：（为常数，）或

2、通项公式：=（）=
3、前项和：（要注意q的讨论）（q1）
4、等比中项：成等比数列，或.只有同号两数才存在等比中项，且有两个，如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______
5、等比数列的判定方法(n∈N*)
(1)定义法: an+1/an=q是常数 (2)等比中项法:
(3)通项法: (为非零常数). (4)前n项和法:
6、性质：是等比数列
（1）若，则 特别地，当时，则有
例：在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；
各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。
（2）an,an+m,an+2m……组成公比为 的等比数列.
（3）仍为等比数列,公比为.
例、在等比数列中，为其前n项和，若，则的值 为______（答：40）
（4）若是等比数列，则、成等比数列；若成等比数列，则、成等比数列；公比分别为：
7．知三求二, 可考虑统一转化为两个基本量;或利用数列性质,
8、巧设元：三数:, 四数：
9、非零常数列既是等比数列，又是等差数列.故常数数列是此数列既成等差数列又成等比数列的 条件. 例、设数列的前项和为（）， 关于数列有下列三个命题：①若，则既是等差数列又是等比数列；②若，则是等差数列；③若，则是等比数列。这些命题中，真命题的序号是
10、正数列{}成等比，则数列成等差数列；若数列{}成等差，则数列成等比数列；例、已知且，设数列满足，且，则　　　　　. （答：）
11、 在等比数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时， .
12.会从函数角度理解和处理数列问题.
四、求通项
1、等差、等比数列公式法； 2、形如 an+1-an=f(n) 形式，求法：累加法；
3、形如an+1=an·f(n), 求法：累乘法；4、形如an+1=Aan+B (AB≠0), 求法：构造法
例、已知，求；已知求
5、 形如 (k≠0)形式，求法：m=1时求倒数；另外可能周期数列或构造法
例：已知，求（答：）；已知数列满足=1，，求（答：）
6、已知Sn,求an ， 求法：阶差法. 即利用公式 =注意：一定不要忘记对n取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n2的关系式，从而决定能否将其合并。
例、已知的前项和满足，求（答：）；
数列满足，求（答：）
7、 已知 求 ，用作商法 .例、数列中，对所有的都有，则______（）
五、数列求和的常用方法：
1、公式法：（等差、等比数列直接用公式） 常用公式：①1+2+3 …+n =
② ③例、等比数列的前项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝_____（答：）；
2、等差数列的绝对值的和 （已知等差数列前n项和为）
① 当a1>0,d<0时，若ak≥0,ak+1<0,则:S=|a1|+|a2|+……|ak|+|ak+1|+……|an|=
② 当a1<0,d>0时，若ak≤0,ak+1>0,则:
S=|a1|+|a2|+……|ak|+|ak+1|+……|an|=
3、分组求和法：
例、求数列 的前n项和
4、 并项求和法
例、（答：）
5、倒序相加法：
例、求证：
已知，则＝______
6、裂项相消求和,常见类型
①；②；③
④ ； ⑤
例、求和： （答：）；
在数列中，，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）
7、错位相减法: 适用于其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。
例、为等比数列，，已知，，①求数列
的首项和公比；②求数列的通项公式.（答：①，；②）；
8、 通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再以上求和法求和。
例、求和： （答：）
六、等比数列的前项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为：

⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第二年年初可存款：
=.
⑶分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.
。