微分几何曲线的概念公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

2 曲线概念曲线是微分几何主要研究对象，面且其研究办法也适合用于曲面论，因此学好曲线论是非常主要本节主要内容为2.1曲线概念2.2光滑曲线 曲线正常点2.3曲线切线和法线2.4曲线弧长 自然参数第1页第1页2.1曲线概念几种观点1、把曲线当作是两个曲面交线2、把曲线当作是动点运动轨迹3、用映射观点来定义交线为此先简介映射相关知识第2页第2页给出两个集合 和 ，假如集合 中每一个点（元素），有 中点 和它相应，则我们说给定了 到 一个映射 ，称为点 像，称为 原像对于任取集合 中点 和 ，假如 时有 ，则称映射 是一一（或单）假如 ，我们就说 是从 到 在上映射（或称满）映射相关知识第3页第3页定义：假如一个开直线段到三维欧氏空间内建立相应是一一，双方连续在上映射，则我们把三维欧氏空间中映射像称为简朴曲线。（得到曲线无自交点）例1：开椭圆弧向量参数表示是第4页第4页例2：圆柱螺线向量参数表示是例例1和例和例2 分别是分别是曲线坐标式参数方程和向量式参数方程对于曲线：r=r(t)，t增长方向要求为曲线正向.第5页第5页定义：假如向量函数 在区间 上连续，取坐标原点为 始点，则其终点 所描述图形 称为曲线 ，且称为曲线 向量式参数方程，称为曲线 坐标式参数方程。注：曲线坐标式和向量式参数方程是不唯一。第6页第6页2.2光滑曲线 曲线正常点定义：假如曲线参数表示式 或中函数是 阶连续可微函数，则把这类曲线称为 类曲线。当 时，类曲线又称为光滑曲线。第7页第7页对于光滑曲线 ，假设对于曲线 上 有 则这一点称为曲线正常点。假如在一段曲线上 则 变成常向量，这时曲线段缩成一点，因此一段曲线上 点是孤立点。曲线上所有点都是正常点时，则称曲线为正则曲线。性质1、在正常点附近点也是正常点证：因此由数分知识在某小邻域内 则有第8页第8页2、在正常点附近曲线上点可表示成证：设 是正常点，则 则在小邻域内有 ，代入则得结论。也也许其它表示第9页第9页例例若参数曲线 C:r r(t)a=const.,tR R，则其几何图形仅仅表示一点，而不是正常曲线；此时所有参数值相应于图形实体同一点这是非正则曲线极端例子例例圆柱螺线视为动点轨迹，通常参数化为r(t)(a cos(w t),a sin(w t),v t),tR，其中三个常数 a 0,w 0 和 v 0 分别为动点运动圆周半径、角速率和向上速率此时r(t)(aw sin(wt),aw cos(wt),v)0，阐明该参数化使之成为正则曲线第10页第10页2.3曲线切线和法面给出曲线上一点 点，是 邻近一点，把线 绕 点旋转，使 点沿曲线趋近于 点，若割线 趋近于一定位置，则我们把割线 极限位置称为曲线在 点切线，定点 称为切点。对于曲线 ，称 为曲线在相应点 切向量。第11页第11页曲线上一点切线方程曲线上一点 相应参数是 ，点向径是 ，是切线上任一点向径，由于 则得 点切线向量式方程为其中 为切线上参数。注：1、切线是通过切点所有直线中最贴近曲线。2、正常点有唯一切线3、切向量与曲线正向一致第12页第12页切线坐标式方程切线坐标式方程设 则切线方程消去 得到这是坐标表示切线方程。第13页第13页法面：通过切点，而垂直于切线平面称为曲线法面。曲线法面方程：设曲线上一点 ，相应参数是 ，点向径是 是法面上任一点向径，则由得到曲线法面方程向量式为 若设则由上述法面方程坐标式为 （坐标表示法面方程）第14页第14页2.4曲线弧长 自然参数曲线弧长设 C:r r(t),t(a,b)考虑过点r(t0)和 r(t0 t)割线有 而正则性确保 r(t)0，当 t 0 时第15页第15页定义：对于正则曲线 称积分为曲线 从点 到 弧长。自然参数：我们知道曲线有不同参数表示，能否找一个参数使研究曲线很方便呢？回答是必定这就是弧长参数（自然参数）。1、弧长参数优越性 当s=t有2、r r(t)参数是自然参数充要条件是3、弧长作参数是能够做到。第16页第16页例：圆柱螺线参数化为 r(t)(a cos(wt),a sin(wt),vt),tR，其中三个常数 a 0,w 0 和 v 0 0 试求t=0计起到t弧长解解：r(t)=(aw sin(wt),aw cos(wt),v)，第17页第17页参数变换定义：对于曲线 给出函数 假如 ，则称 为曲线 一个参数变换，在次变换下曲线 方程为命题1：参数变换曲线正则性和正向不变。证：t增长则u增长,故正向不变 故正则性不变第18页第18页命题：曲线上两点间弧长与参数选取无关。证：设 为曲线 一个参数变换且第19页第19页