高考数学复习精编单元测试题—平面向量与解三角形.doc

辽宁名校2011届高三数学单元测试—平面向量与解三角形

注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名．考号．考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列说法中正确的是 （ ）
A．共面向量就是向量所在的直线在同一平面内；
B．长度相等的向量叫做相等向量；
C．零向量的长度为零；
D．共线向量的夹角为．
2．已知a，b，则a·b的解集是 （ ）
A． B． C． D．
3．如果a=(1,x)，b=(-1,3)，且（2a+b）∥（a-2b），则x= （ ）
A．－3 B．3 C． D．
4．已知a，b，若（2a-b）⊥b，则的值为 （ ）
A． B．3 C．1或3 D．或3
5．在△ABC中，若 （ ）
A． B． C． D．
6．e1、e2是平面内不共线的两向量，已知e1-ke2，2e1+e2，3e1-e2，若三点共线，则的值是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在中,,则的值为 （ ）
A．10 B．20 C．－10 D．20
8．在△中，若，则= （ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，若则△ABC的形状是 （ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
10．下列说法中错误的是 （ ）
①，则或；②；③.
A．①、② B．①、③ C．②、③ D．①、②、③
11．在△ABC中，若∠C=60°，则= （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为 （ ）
A. 6 B．2 C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在横线上．
13．向量,则与平行的单位向量的坐标为 ．
14．设p = (2,7)，q = (x,-3)，若p与q的夹角，则x的取值范围是 .
15．以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使，则的坐标为 .
16．地面上画了一个60°的角ÐBDA，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米，正好到达ÐBDA的另一边BD上的一点，我们将该点就记为点B，则B与D之间的距离为 米.
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
设向量
（1）若与垂直，求的值；
（2）求的最大值;
（3）若，求证：∥.

18．（本小题满分12分）
在△中，所对的边分别为，，．
（1）求；
（2）若，求,，．

19．（本小题满分12分）
已知等腰直角三角形中，AC、BD为中线，求与夹角的余弦值．

20．（本小题满分12分）
已知A、B、C是直线上的不同三点，O是外一点，向量满足，记；
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间．

21．（本小题满分12分）
已知△ABC中，（a－c）（sinA+sinC）=（a－b）sinB，
（1）求∠C； （2）若△ABC的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．

22．（本小题满分14分）
已知向量m＝（，），n＝(，)，记f(x)=m•n；
（1）若f(x)=1,求的值；
（2）若△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函
数f(A)的取值范围．

参考答案

一、选择题
1．C；解析：共面向量就是平行向量，故A是错的；
相等向量是指长度相等且方向相同的向量，故B是错的；
根据共线向量的概念知共线向量的夹角为0°或180°，故D是错的；
∴正确的只有C．
2．C；解析：∵a·b， ∴a·b的解集是.
3．A；解析：∵2a+b=(1,2x+3)，a-2b=(3,x-6)；
又2a+b∥a-2b，∴1×(x-6)-(2x+3)×3=0，解得x= -3．
4．D；解析：由a，b，得2a-b；
∵2a-b⊥b， ∴（2a-b）·b=0，即，解得．
5. C；解析：．
6． B；解析：∵三点共线， ∴与共线， ∴存在实数，使得；
∵3e1 -e2 -（2e1+e2）= e1 -2e2， ∴e1-ke2e1 -2e2，
∵e1、e2是平面内不共线的两向量， ∴ 解得.
7． D；解析：由题意可知的夹角为,
∴=.
8．C；解析：或．
9．B；解析：；
∴；
∴；
∴或，得或；∴△ABC是直角三角形．
10．D；解析：∵时, ,∴当时不能得出或；
∴①是错误的.
∵是数量,所以为一个向量,并且此向量与共线；虽然也是一个向量,但它与共线；
∴不一定与相等；∴②是错误的.
∵，（为与的夹角）；
∴当且仅当时, 才成立；∴③是错误的.
∴本题三种说法均不正确.
11．A；解析：==（*），
∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab，∴a2+b2=ab+c2，代入（*）式得=1
12．D；解析：，所以.
二、填空题
13．；解析：因为||=,故所求的单位向量为
．
14．(,+∞)； 解析： p与q的夹角Û p•q>0Û2x-21>0Û，
即xÎ(,+∞).
15．（-2，5）或（2，-5）；解析：设，
则由…………①，
而又由得…………②，
由①②联立得.
.
16．16；解析：记拐弯处为点A，则已知即为△ABD中，AD=10, AB=14, ÐBDA=60°；
设BD=x，则，
即，整理得，
解得，（舍去）；∴BD=16．
三、解答题
17．解：（1）∵b－2c，且a与b－2c垂直，
∴，
即，
∴， ∴. （…………4分）
（2）∵b+c，
∴︱b+c︱
，
∴当时，︱b+c︱取最大值，且最大值为. （……8分）
（3）∵，∴，即，
∴，即a与b共
线，∴a∥b. （…………12分）
18．解：（1）由 得 ，
则有 =，
解得， 即. （…………6分）
（2） 由 推出 ；而,
∴, 则有 ， 解得 . （……12分）
19．解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为轴、轴建立直角坐标系，设，则，（）；（……3分）
∴, （…………6分）
∵与的夹角为，
∴=，
即与夹角的余弦值为． （…………12分）
20．解:（1）∵ ，且A、B、C是直线上的不同三点，
∴， ∴； （…………6分）
（2）∵，∴，（…………8分）
∵的定义域为，而在上恒正，
∴在上为增函数，即的单调增区间为．（……12分）
21．解：（1）由（a－c）（sinA+sinC）=（a－b）sinB，得（a－c）（a +c）=（a－b）b，

答：水分和氧气是使铁容易生锈的原因。∴a2－c2=ab－b2，∴a2+b2－c2=ab，∴cosC== （…………4分）

17、细胞学说的建立被誉为19世纪自然科学的三大发现之一。又∵0°＜C＜180°，∴C=60° （…………6分）

17、大熊座的明显标志就是我们熟悉的由七颗亮星组成的北斗七星，（2）S=absinC=×ab=4sinAsinB=4sinAsin（120°－A）
=4sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=6sinAcosA+2sin2A

25、意大利的科学家伽利略发明了望远镜，天文学家的“第三只眼”是天文望远镜，可以分为光学望远镜和射电望远镜两种。=3sin2A－cos2A+=2sin（2A－30°）+ （…………10分）

预计未来20年，全球人均供水量还将减少1/3。∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=3 （…………12分）
22．解：（1）f(x)=m•n===，

答：如水资源缺乏，全球气候变暖，生物品种咖快灭绝，地球臭氧层受到破坏，土地荒漠化等世界性的环境问题。 ∵f(x)=1， ∴， （…………4分）

9、月球地貌的最大特征，就是分布着许多大大小小的环形山，环形山大多是圆形的。关于环形山的形成，目前公认的观点是“撞击说”。 ∴=． （…………6分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴由正弦定理得，
∴，∴，

5、月球在圆缺变化过程中出现的各种形状叫作月相。月相变化是由于月球公转而发生的。它其实是人们从地球上看到的月球被太阳照亮的部分。∵，∴，且，

9、物质的变化一般分为物理变化和化学变化。化学变化伴随的现象很多，最重要的特点是产生了新物质。物质发生化学变化的过程中一定发生了物理变化。∴ ∴； （…………10分）
∴， ∴ ∴ ；

一、填空：又∵f(x)＝，∴f(A)=，（…………12分）
故函数f(A)的取值范围是（1,）． （…………14分）