2022届甘肃高三上学期数学(理)期中试题.docx

甘肃省兰州一中2022届高三上学期期中考试（数学理）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数，则z2= （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合A=，B={x|x2-2x-3<0}，那么A∩(CRB)为 （ ）
A．(-1，5) B．(-1，3)
C．(-∞，-1) ∪[3，+∞) D．[3，5]
3．与函数的图象相同的函数是 （ ）
A. y = x-1 B. y = C. y = |x-1| D. y =
4．若曲线在点处的切线方程是，则 （ ）
A． B． C． D．
5．某个容量为的样本的频率分布直方图如右，则在区间[4, 5）上的数据的频数为 （ ）
A．70 B．
C．30 D．
6．设随机变量ξ等可能取值1，2，3，…，n，
如果P（ξ<4）=0．3，那么n的值为 （ ）
A．3 B．4
C．9 D．10
7．函数y =的最大值是 （ ）
A．3 B．4 C．8 D．5
8．设a=log54，b=（log53）2，c=log45，则 （ ）
A．a < c < b　 B．b < c < a C．a < b < c　　　 D．b < a < c
9．若与在区间（1，2）上都是减函数，则实数的取值范围是
（ ）
A． B．
C．（0，1） D．
10．已知函数，是的反函数，若（），则的值为 （ ）
A． B．4 C．1 D．10
11．一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是 （ ） A．a <0 B．a >0 C．a <-1 D．a >1
12．数列{an}中，a1=，an+an+1=，则（a1+a2+…+an） = （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数f （x）和g（x）都是定义在R上的奇函数，函数F（x） = a f （x）+bg（x） +2在区间（0，+∞）上的最大值是5，则F（x）在（－∞，0）上的最小值是 ．
14．等差数列{}中，，，则此数列的前15项之和是 ．
15．已知数列{}的前n项和（），那么数列{}的通项= ．
16．若关于x的不等式2－>|x－a| 至少有一个负数解，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题：（本大题有6小题，共70分；应按题目要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题10分）解关于x的不等式： （a＞0，a≠1）．
18．（本题10分）已知函数是奇函数，当x>0时，有最小值2，且f （1）．
（Ⅰ）试求函数的解析式；
（Ⅱ）函数图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

19．（本题12分）已知数列{an}中，a1=0，a2 =4，且an+2-3an+1+2an= 2n+1（），数列{bn}满足bn=an+1-2an．
（Ⅰ）求证:数列{-}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{}的通项公式；
（Ⅲ）求．
20．（本题12分）某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得，记．
（Ⅰ）求的概率；
（Ⅱ）若前两次均出现正面，求的概率．
21．（本题12分）已知函数对任意实数p、q都满足
．
（Ⅰ）当时，求的表达式；
（Ⅱ）设求；
（Ⅲ）设求证：．
22．（本题14分）已知函数f （x） = ax3 +x2 -ax，其中a，x∈R．
（Ⅰ）若函数f （x） 在区间（1，2）上不是单调函数，试求a的取值范围；
（Ⅱ）直接写出（不需给出运算过程）函数的单调递减区间；
（Ⅲ）如果存在a∈（-∞，-1]，使得函数， x∈[-1, b]
（b > -1），在x = -1处取得最小值，试求b的最大值．

参考答案
一、选择题：（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
D
A
C
D
B
D
D
A
C
B
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．-1； 14．180； 15．； 16．
三、解答题：（共70分）
17．（本题10分）
解：原不等式等价于……① ……………1分 ① 当时，①式可化为
即 亦即
∴ x > a+1 ………………5分
②当时，①式可化为
即 亦即
∴ ………………9分
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为． ．………………10分
18．（本题10分）
解：（Ⅰ）∵ f（x）是奇函数 ∴f（―x） =―f（x）
即
……………………1分

当且仅当时等号成立．则 ……2分
由得 ，即，
，解得；
又 ，
……………………………………………5分
（Ⅱ）设存在一点（x0，y0）在y=f （x）图象上，
则关于（1，0）的对称点（，―y0）也在y =f （x）图象上， …………6分
则 解得：或
∴函数f （x）图象上存在两点和关于点（1，0）
对称． …………………………………10分
19．（本题12分）
解：（Ⅰ）由 an+2-3an+1+2an= 2n+1 得 （an+2-2an+1）-（ an+1-2an）= 2n+1；
即 bn+1-bn = 2n+1，而 b1=a2-2a1=4， b2 =b1+22=8；
∴ { bn+1-bn}是以4为首项，以2为公比的等比数列．…………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ），bn+1-bn = 2n+1， b1=4，
∴ bn = （bn-bn-1）+ （bn-1-bn-2）+···+（b2-b1） + b1
=2n + 2n-1 +···+22 +4 = 2n+1． ………………………6分
即 an+1-2an=2n+1，∴ ；
∴ {}是首项为0，公差为1的等差数列，
则 ，∴． ………………………9分
（Ⅲ） ∵ ，
∴． ………………………12分
20．（本题12分）
解：（Ⅰ），需4次中有3次正面1次反面，设其概率为
则； ………………………6分
（Ⅱ）6次中前两次均出现正面，要使，则后4次中有2次正面、2次反面或3次正面、1次反面，设其概率为．
则． ………12分
21．（本题12分）
解：（Ⅰ）由已知得
． ………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知；
于是 =；
故 =6
=． ………………………7分
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知 ：　，设
则
．
两式相减得+…+

∴ ． ……………………12分
22．（本题14分）
解：（Ⅰ）解法一：
依题意知方程在区间（1，2）内有不重复的零点，
由得
∵x∈（1，2）， ∴
∴；
令 （x∈（1，2）），则，
∴在区间（1，2）上是单调递增函数，其值域为，
故a的取值范围是． ………………………5分
解法二：
依题意知方程即在区间（1，2）内有不重复
的零点，
当a=0时，得 x=0，但0（1，2）；
当a≠0时，方程的△=1+12a2>0，,必有两异号根，
欲使f （x） 在区间（1，2）上不是单调函数，方程在（1，2）内一定有一根，设，则F（1）·F（2）<0，
即 （2a+2）（11a+4）<0，解得 ，
故 a的取值范围是 ．
（解法二得分标准类比解法一）
（Ⅱ）函数g （x） 的定义域为（0，+∞），
当 a≥0时，g （x）在（0，+∞）上单调递增，无单调递减区间；
当 a<0时，g （x）的单调递减区间是 ………………8分
（Ⅲ）；
依题意 在区间[-1, b]上恒成立，
即 ①
当x∈[-1, b] 恒成立，
当 x=-1时，不等式①成立；
当 -1< x ≤b时，不等式①可化为
②
令 ，由a∈（-∞,-1]知，的图像是
开口向下的抛物线，所以，在闭区间上的最小值必在区间的端点处取得，
而，
∴不等式②恒成立的充要条件是，
即，
亦即 a∈（-∞,-1]；
当a∈（-∞,-1]时，，
∴ （b >-1）， 即 b2+b-4 ≤ 0；
解得 ；
但b >-1， ∴；
故 b的最大值为，此时 a =-1符合题意． ……………14分

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