微积分高斯公式与散度市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

定理：定理：设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑曲面由分片光滑曲面 围成，围成，函数函数 在在 上含有上含有一阶连续偏导数，则有公式：一阶连续偏导数，则有公式：其中其中 表示表示 边界曲面外侧。边界曲面外侧。一、高斯（一、高斯（GaussGauss）公式）公式第六节第六节 高斯公式与散度高斯公式与散度 第1页第1页高斯公式：高斯公式：如左图：如左图：取下侧；取下侧；取上侧；取上侧；取外侧。取外侧。第2页第2页（1 1）高斯公式表示了空间闭区域上三重积分）高斯公式表示了空间闭区域上三重积分 与其边界曲面上曲面积分之间关系；与其边界曲面上曲面积分之间关系；（2 2）使用高斯公式时注意事项：）使用高斯公式时注意事项：分别是对什么变量求偏导数；分别是对什么变量求偏导数；是否满足高斯公式条件；是否满足高斯公式条件；取是闭曲面外侧。取是闭曲面外侧。第3页第3页二、高斯公式应用二、高斯公式应用 间闭区域间闭区域 整个边界曲面整个边界曲面 其中其中 为柱面为柱面 及及 例例1 1、计算曲面积分、计算曲面积分 平面平面 ，所围成空，所围成空外侧。外侧。第4页第4页例例2 2、计算曲面积分、计算曲面积分 其中其中 为锥面为锥面 介于平介于平 面面 ，之间部分下侧，之间部分下侧，是是 在在 处处单位法向量方向余弦。单位法向量方向余弦。若上述问题中曲面改为取上侧，则如何计算？若上述问题中曲面改为取上侧，则如何计算？第5页第5页例例3 3、计算曲面积分、计算曲面积分 为为 椭球面椭球面 外侧。外侧。若上式中若上式中 为球面为球面 外侧时如何计算？外侧时如何计算？第6页第6页三、散度三、散度 （divergencedivergence）用散度来表示高斯公式另外一个形式：用散度来表示高斯公式另外一个形式：定义：定义：向量场向量场在点在点 处处散度散度 第7页第7页表示单位时间内通过表示单位时间内通过 流向流向 外部流体外部流体 总质量，即总质量，即流量流量或或通量通量。设设 为场内一点，为包围点为场内一点，为包围点 任一闭曲面，其任一闭曲面，其所围区域所围区域 位于场内。则位于场内。则 其中：其中：为密度为为密度为1 1不可压缩流体稳定速度场；不可压缩流体稳定速度场；取外侧。取外侧。第8页第8页平均源强：平均源强：单位时间从单位体积内流出平均流量，即单位时间从单位体积内流出平均流量，即 源头强度：源头强度：第9页第9页表示不可压缩流体稳定流场表示不可压缩流体稳定流场 在点在点 处处 源头强度源头强度。称向量场在点称向量场在点 处有处有正源正源，即在点，即在点 处处 及其近旁有流体在涌出。及其近旁有流体在涌出。称向量场在点称向量场在点 处有处有负源负源或或漏漏，即在点，即在点 处及其近旁有流体在消失。处及其近旁有流体在消失。称向量场为称向量场为无源场无源场。第10页第10页例例4 4、求下列向量场散度。、求下列向量场散度。在点在点 处。处。例例5 5、求向量场求向量场 穿过穿过 流向外侧流量。其中流向外侧流量。其中 整个表面。整个表面。立方体立方体 第11页第11页四、小结四、小结 1 1、高斯公式、高斯公式 2 2、应注意条件、应注意条件 （1 1）；（2 2）是有界闭区域是有界闭区域 边界曲面外侧；边界曲面外侧；（3 3）相应位置。相应位置。3 3、物理意义：、物理意义：第12页第12页作业作业习题习题8-68-6：1 1（3 3）（）（4 4）（）（5 5）、）、3 3 思考题思考题 设空间区域设空间区域 由曲面由曲面 与平面与平面 围成，其中围成，其中 为正常数。记为正常数。记 表面外侧为表面外侧为 ，证实：证实：体积为体积为 ，第13页第13页