数学建模之初等模型市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

第1页第1页一 雨中行走问题一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚才出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简朴事情是你应该在雨中尽也许地快走，以降低雨淋时间。但假如考虑到降雨方向改变，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好策略。试建立数学模型来探讨怎样在雨中行走才干降低淋雨程度。第2页第2页1 建模准备建模目的：在给定降雨条件下，设计一个雨中行走策略，使得你被雨水淋湿程度最小。主要原因：淋雨量，降雨大小，降雨方向（风），路程远近，行走速度2）降雨大小用降雨强度 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上降下水厚度。在这里可视其为一常量。3）风速保持不变。4）你一定常速度 米/秒跑完全程 米。2 模型假设及符号阐明1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。淋雨总量用 升来记。第3页第3页3 模型建立与计算1）不考虑雨方向，此时，你前后左右和上方都将淋雨。淋雨面积 雨中行走时间 降雨强度模型中结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽也许快跑能降低淋雨量。第4页第4页从而能够计算被淋雨水总量为2.041（升）。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升雨水，大约有4 酒瓶水量。这是不可思议。表明：用此模型描述雨中行走淋雨量不符合实际。原因：不考虑降雨方向假设，使问题过于简化。第5页第5页2）考虑降雨方向。人迈进方向若记雨滴下落速度为 （米/秒）雨滴密度为雨滴下落反方向表示在一定期刻在单位体积空间内，由雨滴所占空间百分比数，也称为降雨强度系数。因此，由于考虑了降雨方向，淋湿部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。第6页第6页顶部淋雨量前表面淋雨量总淋雨量（基本模型）第7页第7页能够看出：淋雨量与降雨方向和行走速度相关。问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。情形1结果表明：淋雨量是速度减函数，当速度尽也许大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒速度在雨中猛跑，则计算得第8页第8页情形2 结果表明：淋雨量是速度减函数，当速度尽也许大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒速度在雨中猛跑，则计算得情形3 此时，雨滴将从后面向你身上落下。第9页第9页出现这个矛盾原因：我们给出基本模型是针对雨从我们给出基本模型是针对雨从你前面落到身上情形你前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。当行走速度慢于雨滴水平运动速度，即这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上雨水量是淋雨总量为第10页第10页再次代如数据，得结果表明：当行走速度等于雨滴下落水平速度时，淋当行走速度等于雨滴下落水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上雨水淋湿了。雨量最小，仅仅被头顶上雨水淋湿了。若雨滴是以 角度落下，即雨滴以 角从背后落下，你应当以此时，淋雨总量为这意味着你刚好跟着雨滴迈进，前后都没淋雨。第11页第11页当行走速度快于雨滴水平运动速度，即你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你前胸。被淋得雨量是淋雨总量为第12页第12页4 结论若雨是迎着你迈进方向向你落下，这时策略很简朴，应以最大速度向前跑；若雨是从你背后落下，你应控制你在雨中行走速度，让它刚好等于落雨速度水平分量。5 注意 关于模型检查，请大家观测、体会并验证。雨中行走问题建模过程又一次使我们看到模型假设重 要性，模型阶段适应性。第13页第13页二 席位分派问题 某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？按惯例分派席位方案，即按人数百分比分派原则 表示某单位席位数 表示某单位人数 表示总人数 表示总席位数1 问题提出问题提出第14页第14页2020个席位分派结果个席位分派结果系别人数n所占百分比n分派方案席位数甲100100/200(50/100)20=10乙6060/200(30/100)20=6丙40 40/200(20/100)20=4现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。系别人数n所占百分比n分派方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%20=6.3丙34 34/200=17.0%17.0%20=3.410641064现象现象1 1 丙系虽少了丙系虽少了6 6人，但席位仍为人，但席位仍为4 4个。（不公平！）个。（不公平！）第15页第15页为了在表决提案时也许出现10：10平局，再设一个席位。2121个席位分派结果个席位分派结果系别人数n所占百分比n分派方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%21=6.615丙34 34/200=17.0%17.0%21=3.5701173现象现象2 2 总席位增长一席，丙系反而减少一席。（不公平！）总席位增长一席，丙系反而减少一席。（不公平！）惯例分派办法惯例分派办法：按百分比分派完取整数名额后，剩余名额按百分比分派完取整数名额后，剩余名额按惯例分给小数部分较大者。按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平分派席位方案？存在不公平现象，能否给出更公平分派席位方案？第16页第16页2 建模分析建模分析目的：建立公平分派方案。反应公平分派数量指标可用每席位代表人数每席位代表人数来衡量。系别 人数 席位数n每席位代表人数公平程度甲1031031010103/10=10.3103/10=10.3中中乙63636 663/6=10.563/6=10.5差差丙34 34 4 434/4=8.534/4=8.5好好系别人数席位数n每席位代表人数甲1001001010100/10=10100/10=10乙60606 660/6=1060/6=10丙40 40 4 440/4=1040/4=10第17页第17页系别人数席位数n每席位代表人数公平程度甲1031031111103/11=9.36103/11=9.36中中乙63637 763/7=963/7=9好好丙34 34 3 334/3=11.3334/3=11.33差差普通地，单位人数席位数n每席位代表人数A AB B当席位分派公平第18页第18页但通常不一定相等，席位分派不公平程度用下列原则来判断。此值越小分派越趋于公平，但这并不是一个好衡量原则。单位人数p席位数nn每席位代表人数n绝对不公平原则A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,DC,D不公平程度大为改进！第19页第19页2）相对不公平表示每个席位代表人数，总人数一定期，此值越大，代表人数就越多，分派席位就越少。则A吃亏,或对A 是不公平。定义“相对不公平”对A 相对不公平值；同理，可定义对B 相对不公平值为：第20页第20页对B 相对不公平值；建立了衡量分派不公平程度数量指标制订席位分派方案标准是使它们尽也许小。3 3 建模建模若A、B两方已占有席位数为用相对不公平值讨论当席位增长1 个时，应当给A 还是B 方。不失普通性，有下面三种情形。第21页第21页情形情形1 1阐明即使给A 单位增长1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。情形情形2 2阐明当对A 不公平时，给A 单位增长1席，对B 又不公平。计算对B 相对不公平值情形情形3 3阐明当对A 不公平时，给B 单位增长1席，对A 不公平。计算对A 相对不公平值第22页第22页则这一席位给A 单位，不然给B 单位。结论结论：当（当（*）成立时，增长一个席位应分派给）成立时，增长一个席位应分派给A A 单位，单位，反之，应分派给反之，应分派给 B B 单位。单位。第23页第23页记记则增长一个席位应分派给则增长一个席位应分派给QQ值值 较大一方。较大一方。这样分派席位办法称为QQ值办法值办法。若A、B两方已占有席位数为4 4 推广推广 有m 方分派席位情况设方人数为，已占有个席位，当总席位增长1 席时，计算则1 席应分给Q值最大一方。从开始，即每方至少应得到以1 席，（假如有一方1 席也分不到，则把它排除在外。）第24页第24页5 举例举例甲、乙、丙三系各有些人数103，63，34，有21个席位，如何分派？按按Q值办法：值办法：第25页第25页甲1乙1丙145678910111213141516 1718192021甲：11，乙：6，丙：4第26页第26页练习练习学校共1000学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人委员会，试用惯例分派办法，dHondt办法和Q值办法分派各楼委员数，并比较结果。第27页第27页dHondt办法有k个单位，每单位人数为 pi，总席位数为n。做法：用自然数1,2,3,分别除以每单位人数，从所得数中由大到小取前 n 个，（这n 个数来自各个单位人数用自然数相除结果），这n 个数中哪个单位有几种所分席位就为几种。第28页第28页