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欣赏数学真善美第1页第1页世上万物，以真善美为最高境界。世上万物，以真善美为最高境界。n“教育形态数学教育形态数学”与与“学术形态数学学术形态数学”之间一个重大区别，之间一个重大区别，就在于是否含有就在于是否含有“数学欣赏数学欣赏”内涵。内涵。冰凉美丽下火热思考冰凉美丽下火热思考 两者都要欣赏。两者都要欣赏。n 被淹没在被淹没在形式演绎形式演绎海洋里真善美，海洋里真善美，需要大力挖掘、需要大力挖掘、专心体察才干发觉，专心体察才干发觉，感受、体验和欣赏。感受、体验和欣赏。第2页第2页语文教学与数学教学n欣赏，欣赏，是教育一部分。是教育一部分。n语文教育重在欣赏，语文教育重在欣赏，比如语文课教学生比如语文课教学生欣赏古文，欣赏唐诗，却基本上不会作欣赏古文，欣赏唐诗，却基本上不会作古诗，写古文。古诗，写古文。n但是，从小学到大学，数学教育重点是但是，从小学到大学，数学教育重点是“做题目做题目”，几乎不谈几乎不谈“欣赏欣赏”二字。二字。第3页第3页数学欣赏需要“教”吗？需要，非常需要n数学学好了，数学学好了，题目会做了，题目会做了，思维自然思维自然就严密了。就严密了。数学数学“真真”，也就在其中也就在其中了，了，用不到什么尤其用不到什么尤其“数学欣赏数学欣赏”。n形式化表示数学，如同曲折表示诗词，形式化表示数学，如同曲折表示诗词，其背后掩蔽着思想办法和文化底蕴，需其背后掩蔽着思想办法和文化底蕴，需要教师故意识地启发、点拨、解释，才要教师故意识地启发、点拨、解释，才干使学生有所领悟。干使学生有所领悟。第4页第4页数学教学之贫困n 数学各章小结就是一幅数学各章小结就是一幅 逻辑框图。逻辑框图。数学思想呢？数学价值呢？数学思想呢？数学价值呢？n 把数学等同与逻辑，把数学等同与逻辑，就把美丽数学女王，就把美丽数学女王，描写成一幅描写成一幅X光片里一付骨架光片里一付骨架第5页第5页欣赏需要指导、哺育欣赏需要指导、哺育 n提出提出问题问题，揭示冰凉形式后面揭示冰凉形式后面 数学本质数学本质；n对比对比分析分析，体察古今中外数学体察古今中外数学 理性精神理性精神；n梳理梳理思想思想，领略抽象数学模型领略抽象数学模型 智慧结晶智慧结晶；n构作构作意境意境，沟通数学思考背后沟通数学思考背后 人文情景人文情景。第6页第6页欣赏就是讲道理欣赏就是讲道理 既要讲推理，既要讲推理，更要讲道理。更要讲道理。n萧树铁等萧树铁等高等数学改革高等数学改革研究汇报研究汇报（非数学类）。（非数学类）。高等教育出版社高等教育出版社 第7页第7页一、欣赏数学之真一、欣赏数学之真n爱因斯坦说过爱因斯坦说过 “为何数学比其它一切学科受到特殊尊重为何数学比其它一切学科受到特殊尊重?理由之一是数学命题理由之一是数学命题绝对可靠性和无绝对可靠性和无可争辩性。可争辩性。至于其它各个学科命题则在至于其它各个学科命题则在某种程度上都是可争辩，经常处于会被某种程度上都是可争辩，经常处于会被新发觉事实推翻危险之中新发觉事实推翻危险之中”。第8页第8页例例1.“对顶角相等对顶角相等”教学。欣赏点：这样教学。欣赏点：这样明显命题为何要证实？（提出问题）明显命题为何要证实？（提出问题）n几何原本。几何原本。命题命题1515：对顶角相等。用公理：对顶角相等。用公理3 3：等量减：等量减等量，等量，其差相等。其差相等。n定理本身非常直观，定理本身非常直观，无人质疑。假如就事论事地解说无人质疑。假如就事论事地解说一番，一番，或者时髦地让学生或者时髦地让学生“量一量量一量”、“拼一拼拼一拼”那那样地活动一下，样地活动一下，都不能使学生取得数学之都不能使学生取得数学之“真真”欣赏。欣赏。n数学与民主古希腊城邦实行数学与民主古希腊城邦实行奴隶主奴隶主民主政治。民主政治。民主要民主要求说服、说服需要证实、公理化办法得到应用。求说服、说服需要证实、公理化办法得到应用。n中国古代数学是国家管理数学。中国古代数学是国家管理数学。第9页第9页向理性奔腾向理性奔腾n要点是要问：要点是要问：“这样明显命题要不要证实？这样明显命题要不要证实？”中国古代数学没有这样命题。中国古代数学没有这样命题。古希腊数学家古希腊数学家提出这样定理，提出这样定理，认为需要证实，认为需要证实，并且使用并且使用“等量减等量其差相等等量减等量其差相等”公理加以证实。两相对公理加以证实。两相对照，照，才知道自己肤浅，古希腊理性精神伟大。才知道自己肤浅，古希腊理性精神伟大。n从从“显然正确因而不必证实显然正确因而不必证实”，到到“崇尚理崇尚理性需要证实性需要证实”，是一次思想上奔腾，是一次思想上奔腾，能够说能够说震撼了许多孩子们震撼了许多孩子们“灵魂灵魂”第10页第10页例例2.“飞矢不动飞矢不动”与与“瞬时速瞬时速度度”。n欣赏点欣赏点：“辩证精密思维典范，辩证精密思维典范，微积分微积分思维人文意境思维人文意境”。n微分学精髓在于结识函数局部。微分学精髓在于结识函数局部。如何透如何透过微积分教材形式化陈说，真正领略微过微积分教材形式化陈说，真正领略微积分思考本质，积分思考本质，是微积分教学一项主要是微积分教学一项主要任务。任务。第11页第11页飞矢不动静止运动观 函数描写运动不足n古希腊哲学家芝诺问他学生：古希腊哲学家芝诺问他学生：“一支射出箭是一支射出箭是动还是不动？动还是不动？”n“那还用说，当然是动。那还用说，当然是动。”n“那么，在这一瞬间里，这支箭是动，还是不那么，在这一瞬间里，这支箭是动，还是不动？动？”n“不动，老师。不动，老师。”n“这一瞬间是不动，那么其它瞬间呢？这一瞬间是不动，那么其它瞬间呢？”n“也是不动，老师也是不动，老师”n“因此，射出去箭是不动因此，射出去箭是不动”第12页第12页惠施（约前惠施（约前370约前约前310）提出）提出“飞鸟之景，飞鸟之景，未尝动也未尝动也”，n把直觉瞬时速度，把直觉瞬时速度，化为能够言传瞬时速化为能够言传瞬时速度，度，需要克服需要克服“飞矢不动飞矢不动“芝诺悖论。芝诺悖论。n考察函数不能孤立地一点一点考察，考察函数不能孤立地一点一点考察，而而要联系其周围环境。要联系其周围环境。这是微积分关键思这是微积分关键思想之一：想之一：考察考察“局部局部”。n微积分微积分“真真”，通过局部精密分析显通过局部精密分析显示出来，使人觉得示出来，使人觉得“妙不可言妙不可言”。第13页第13页整体是由局部构成整体是由局部构成n常言道，常言道，“聚沙成塔，集腋成裘聚沙成塔，集腋成裘”，那是简那是简朴堆砌。朴堆砌。其实，其实，科学地看待事物，科学地看待事物，其单元并其单元并非一个个孤立点，非一个个孤立点，而是一个有内涵局部。而是一个有内涵局部。n人体由细胞构成，人体由细胞构成，物体由分子构成。物体由分子构成。社会由社会由乡镇构成，乡镇构成，因此费孝通因此费孝通“江村调查江村调查”，解剖解剖一个乡村以观测整体，一个乡村以观测整体，竟成为中国社会学典竟成为中国社会学典型之作。型之作。同样，同样，社会由更小局部社会由更小局部 家庭构家庭构成。成。因此，因此，我们户口以家庭为单位。我们户口以家庭为单位。第14页第14页“近朱者赤，近朱者赤，近墨者黑近墨者黑”。n看人，要问他看人，要问他/她身世、家庭、社会关系，孤她身世、家庭、社会关系，孤立地考察一个人是不行。立地考察一个人是不行。n函数也是同样，函数也是同样，孤立地只看一点数值不行，孤立地只看一点数值不行，还要和周围个点上函数值联系起来看。微积分还要和周围个点上函数值联系起来看。微积分就是突破了初等数学就是突破了初等数学“就事论事就事论事”、孤立地考、孤立地考察一点、不及周围静态思考，察一点、不及周围静态思考，转而用动态地转而用动态地考察考察“局部局部”思考办法，思考办法，终于创造了科学黄终于创造了科学黄金时代。金时代。第15页第15页微分学告诉我们：如何处理“变量”局部和整体n局部是一个模糊名词。没有说多大。就象一个人成长，大局部能够是社会变动、乡土文化、学校影响，小能够是某老师、某熟人，再小些仅限父母家庭。各人环境是不同。最终我们把环境中各种影响聚集起来研究某人特性。n一样，微积分方法，就是考察函数在一点周围，然后用极限方法，确定函数在该点性态。n微积分阐述“局部”思维，是精密思维过程，表达了数学“真”。第16页第16页 震撼于数学模型之深刻震撼于数学模型之深刻二、二、欣赏数学欣赏数学“善善”第17页第17页n数学知识推动社会科技与文数学知识推动社会科技与文明发展，以其独特方式为人明发展，以其独特方式为人类文明发展服务，这是类文明发展服务，这是 数学数学“善善”表现。表现。第18页第18页例例3 勾股定理教学设计：勾股定理教学设计：从数学文化高度欣赏n当前时髦勾股定理教学设计：发觉，探究，摸索1 1、探究、发觉勾股定理，工作单有、探究、发觉勾股定理，工作单有6 6张之多。张之多。2 2、各种各样证实，、各种各样证实，古希腊证实，古希腊证实，赵赵爽证实爽证实。几百种之多。几百种之多。换个思绪：换个思绪：欣赏勾股定理未尝不可欣赏勾股定理未尝不可第19页第19页最后晚餐，达.芬奇第20页第20页 n 第21页第21页像欣赏一幅名画那样像欣赏一幅名画那样 欣赏勾股定理之价值n用历史发展简介各种数学文化：n 陈子定理，勾三股四弦五；n 古希腊证实；n 巴比仑泥板中勾股数；n 中国赵爽代数证实。n 北京国际数学家大会会标；n 费马定理处理，n 与外星人通讯使用图形。第22页第22页例例4 坐标价值。坐标价值。n欣赏点：欣赏点：用坐标拟定位置，用坐标拟定位置，那是地理学目的。那是地理学目的。坐标系数学价值远超出坐标系数学价值远超出“拟定位置拟定位置”。n近年来，平面直角坐标系引进，近年来，平面直角坐标系引进，成为中学数学成为中学数学公开课热门课题。公开课热门课题。大量教学案例，大量教学案例，都只是让都只是让学生用一对有序数来拟定位置。学生用一对有序数来拟定位置。n用纵横交错办法拟定位置，用经纬度表示一个用纵横交错办法拟定位置，用经纬度表示一个地点位置，地点位置，乃是地理学常识。乃是地理学常识。n数学使用坐标系，则远超于此，其实质是要用数学使用坐标系，则远超于此，其实质是要用坐标表示数学对象。坐标表示数学对象。第23页第23页上海长宁区老师把教室课桌椅并拢，上海长宁区老师把教室课桌椅并拢，用塑料绳摆成直角坐标系用塑料绳摆成直角坐标系 n“两个坐标都是负数两个坐标都是负数 同窗站起来（第三象限）同窗站起来（第三象限）n“两个坐标都相同同窗站起来（直线两个坐标都相同同窗站起来（直线y=xy=x）n “第一个坐标为第一个坐标为0 0 同窗站起来（同窗站起来（y y轴）轴）n n这样这样“玩坐标玩坐标”，用坐标表示用坐标表示“数学对象数学对象”，才是坐标系数学价值所在。才是坐标系数学价值所在。n不欣赏坐标系不欣赏坐标系“数学本质数学本质”，肤浅地停留在肤浅地停留在“东大街、北大街东大街、北大街”交汇处那样肤浅常识，就谈交汇处那样肤浅常识，就谈不上什么数学欣赏了。不上什么数学欣赏了。第24页第24页例5 微分方程 y=ay，表示数学模型。e 价值n欣赏点：欣赏点：人口增长、碳人口增长、碳1414衰减，衰减，连续复利，它们连续复利，它们有一个共同数学模型。常数有一个共同数学模型。常数e e 和他们密切相关，和他们密切相关，一付友好数学情景。一付友好数学情景。n复利公式复利公式 A（1+/n）n（一年分为（一年分为n 期复利）。期复利）。n 然后令然后令n ,就进一步看出就进一步看出 常数常数e“自然自然”特特性了。性了。n数学数学“善善”在这里表达为在这里表达为“友好友好”、“合理合理”、“自然自然”，而不是天上掉下来林妹妹而不是天上掉下来林妹妹“。第25页第25页例例6 代数模型：代数模型：三根导线例子。三根导线例子。n欣赏点欣赏点：“在看不见数学地方，构建数学模型。感受在看不见数学地方，构建数学模型。感受数学思维之深刻。数学思维之深刻。n代数建模关键思想是代数建模关键思想是“文字参与运算文字参与运算”。也就是说，。也就是说，代数实质是用文字代表未知数，并且由文字代表代数实质是用文字代表未知数，并且由文字代表“未未知数知数”和已知数能够进行运算，即进行和已知数能够进行运算，即进行“式式”运算。运算。n“代数就是用文字代表数代数就是用文字代表数”？自然数互换律，？自然数互换律，就写了就写了AB=BA,AB=BA,这里，这里，用文字用文字A,BA,B代表任意自然数，代表任意自然数，可是这可是这和代数无关。和代数无关。第26页第26页如何测三根导线电阻？n电阻分别是x,y,z.于是，他列出下列三元一次联立方程：n x+y=a n y+z=bn z+x=c x y z上海51中学陈振宣老师提供袁枚曾说：袁枚曾说：“学如箭镞，学如箭镞，才如弓弩，才如弓弩，识识以领之，以领之，方能中鹄（方能中鹄（gu)”。第27页第27页看不见数学领域利用数学看不见数学领域利用数学 19481948年数学地图年数学地图n19481948：美国仙农发表美国仙农发表信息信息数学理论数学理论n19481948：维纳发表：维纳发表控制论控制论。信息、信息、控制控制是数学是数学吗？吗？n1948：冯冯诺依曼：诺依曼：计算机计算机方案形成方案形成n 中国缺乏这样数学偶像中国缺乏这样数学偶像！第28页第28页“三根导线三根导线”问题启发问题启发n在看起来在看起来“没有数学问题没有数学问题”地方发觉数学地方发觉数学问题，问题，那往往是那往往是“大大”数学创造。数学创造。n只会把只会把“别人已经做过问题重做一遍别人已经做过问题重做一遍”是是远远不够。远远不够。n国际数学奥林匹克竞赛金牌难拿，但是，国际数学奥林匹克竞赛金牌难拿，但是，三根导线作者所含有创新性，则愈加难能三根导线作者所含有创新性，则愈加难能可贵可贵。n这样优秀案例为何进不了数学教材？这样优秀案例为何进不了数学教材？第29页第29页 三、三、欣赏数学美欣赏数学美 震撼于数学思维内在之震撼于数学思维内在之友好意境友好意境第30页第30页 n数学美，数学美，不要老是拿不要老是拿“黄金分割黄金分割”说事；说事；n数学美，数学美，不能只是重复数学家已经说过不能只是重复数学家已经说过“统统一美，友好美，简朴美，奇异美一美，友好美，简朴美，奇异美。要开要开发更多发更多 数学美学价值；数学美学价值；n数学数学意境意境之美，之美，为大众容易理解。为大众容易理解。实无限和潜无限：实无限和潜无限：杜甫：杜甫：“无边落木萧萧下，无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来不尽长江滚滚来”。第31页第31页例例7“无界变量无界变量”意境之美。意境之美。n欣赏点：欣赏点：用用“满园春色关不住，满园春色关不住，一枝红一枝红杏出墙来杏出墙来”，加以描慕，人文意境和数加以描慕，人文意境和数学意境互相交融，学意境互相交融，浑然一体。浑然一体。n对任意正数对任意正数M，n总存在一个下标总存在一个下标 n，n 使得使得 xn M （六盘水师院杨光老师提供）六盘水师院杨光老师提供）第32页第32页例例8 对称与对联。不变量之美对称与对联。不变量之美n欣赏点：欣赏点：“数学美和文学美是相通，改数学美和文学美是相通，改变中不变量是数学美共同本源变中不变量是数学美共同本源”。只说。只说改变，改变，化归是不够，在改变中寻求不变化归是不够，在改变中寻求不变性质和不变量，是人类文明发展正道。性质和不变量，是人类文明发展正道。第33页第33页 对称和对仗对称和对仗n 对称是几何变换。对称是几何变换。变换之后有不变量。轴对变换之后有不变量。轴对称、中心对称后图形不变、长度角度都不变。称、中心对称后图形不变、长度角度都不变。n 中国对仗：中国对仗：“明月松间照，清泉石上流明月松间照，清泉石上流”（王（王维诗句）。维诗句）。“明月明月”对对“清泉清泉”，变中有不变中有不变。形容词对形容词，变。形容词对形容词，名词对名词，名词对名词，自然景自然景物仍然是自然景物。物仍然是自然景物。n 文化上看，文化上看，两者异曲同工。只是数学愈加准两者异曲同工。只是数学愈加准确、比较抽象而已。确、比较抽象而已。清泉石上流明月松间照第34页第34页守恒之科学美守恒之科学美n 民族要发展，民族要发展，但是老式不变；但是老式不变；n 物理上能量守恒；物理上能量守恒；n 解方程：解方程：移项、变形但是保持移项、变形但是保持“根根”不不变；变；n 拓扑学：七桥问题；拓扑学：七桥问题；第35页第35页不变性质和不变量，不变性质和不变量，是一篇大学问。是一篇大学问。n化归，化归，是一个将未知转化为已知办法，是一个将未知转化为已知办法，化归是和不变化归是和不变性质联系在一起。性质联系在一起。n方程变形，最后化为已知可解情形，方程变形，最后化为已知可解情形，但是但是“变形变形”“化归化归”，必须保持原方程根不变。必须保持原方程根不变。n不等式证实，不等式证实，也通过不断地放大和缩小化为已知情形，也通过不断地放大和缩小化为已知情形，但是不等号方向不能变。但是不等号方向不能变。n一切化归必须以某个一切化归必须以某个“不变不变”为前提。为前提。n流传很广流传很广“关系关系-映射映射-反演（反演（RMI）原理，）原理，是是 一个特一个特殊化归。殊化归。但是，但是，这里映射，这里映射，必须保持一个不变性。必须保持一个不变性。比如，这个映射是比如，这个映射是“同构同构”和和“同态同态”等等，等等，然后才然后才干处理问题。干处理问题。第36页第36页例例9 拉格朗日微分中值定理拉格朗日微分中值定理“存在性定理存在性定理”意境。意境。n欣赏点：“只知道它存在，只知道它存在，却不知道它在哪里却不知道它在哪里”，n拉格朗日中值定理叙述为：设拉格朗日中值定理叙述为：设 f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内点点都有导数，那么内点点都有导数，那么 f(b)f(a)=f()(b a)n 连续函数介值性定理连续函数介值性定理n 抽屉原理：抽屉原理：n相应文学意境。请看贾岛诗句：相应文学意境。请看贾岛诗句：“松下问童子，言师采药去；松下问童子，言师采药去；云深不知处，只在此山中云深不知处，只在此山中”。第37页第37页 n数学欣赏是一门学问，数学欣赏是一门学问，就像就像“艺术欣赏艺术欣赏”、“文学欣赏文学欣赏”同样同样需要专门需要专门 研究。研究。我们期待未来。我们期待未来。n 谢谢大家第38页第38页