数学建模与数学实验非线性规划公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx

数学建模与数学试验数学建模与数学试验非线性规划非线性规划 1第1页第1页实验目试验内容试验内容2、掌握用数学软件求解优化问题。、掌握用数学软件求解优化问题。1、直观理解非线性规划基本内容。、直观理解非线性规划基本内容。1 1、非线性规划基本理论。、非线性规划基本理论。4 4、试验作业。、试验作业。2、用数学软件求解非线性规划。、用数学软件求解非线性规划。3、钢管订购及运送优化模型、钢管订购及运送优化模型2第2页第2页*非线性规划基本解法非线性规划基本解法非线性规划基本概念非线性规划基本概念非线性规划非线性规划 返回返回3第3页第3页 定义定义 假如目的函数或约束条件中至少有一个是非线性函数时最优化问题就叫做非线性规划问题非线性规划问题非现性规划基本概念非现性规划基本概念 普通形式普通形式:（1）其中 ，是定义在 En 上实值函数，简记:其它情况其它情况:求目的函数最大值或约束条件为小于等于零情况，都可通过取其相反数化为上述普通形式4第4页第4页 定义定义1 1 把满足问题（1）中条件解 称为可行解可行解（或可行（或可行点点），所有可行点集合称为可行集可行集（或（或可行域可行域）记为D即 问题(1)可简记为 定义定义2 2 对于问题(1)，设 ，若存在 ,使得对一切 ，且 ，都有 ，则称X*是f(X)在D上局局部极小值点部极小值点（局部最优解局部最优解）尤其地当 时，若 ，则称X*是f(X)在D上严格局部极小值点严格局部极小值点（严格局部最优解严格局部最优解）定义定义3 3 对于问题(1),设 ,对任意 ,都有 则称X*是f(X)在D上全局极小值点全局极小值点（全局最优解全局最优解）尤其地当 时，若 ，则称X*是f(X)在D上严格全局极小值点严格全局极小值点（严格全局最优解严格全局最优解）返回返回5第5页第5页非线性规划基本解法非线性规划基本解法SUTM外点法外点法SUTM内点法（障碍罚函数法）内点法（障碍罚函数法）1、罚函数法、罚函数法2、近似规划法近似规划法 返回返回6第6页第6页 罚函数法罚函数法 罚函数法罚函数法基本思想是通过结构罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化办法去求解这类办法称为序列无约束最小化办法序列无约束最小化办法简称为SUMTSUMT法法 其一为SUMTSUMT外点法外点法，其二为SUMTSUMT内点法内点法7第7页第7页 其中T(X,M)称为罚函数罚函数，M称为罚因子罚因子，带M项称为罚项罚项，这里罚函数只对不满足约束条件点实行处分：当 时，满足各 ，故罚项=0，不受处分当 时，必有 约束条件，故罚项0，要受处分SUTMSUTM外点法外点法8第8页第8页 罚函数法缺点缺点是：每个近似最优解Xk往往不是允许解，而只能近似满足约束，在实际问题中这种结果也许不能使用；在解一系列无约束问题中，计算量太大，尤其是伴随Mk增大，也许造成错误1、任意给定初始点X0，取M11，给定允许误差 ，令k=1；2、求无约束极值问题 最优解，设为Xk=X(Mk)，即 ；3、若存在 ，使 ，则取MkM()令k=k+1返回（2），不然，停止迭代得最优解 .计算时也可将收敛性判别准则 改为 .SUTM SUTM外点法外点法(罚函数法)迭代环节迭代环节9第9页第9页SUTMSUTM内点法（内点法（障碍函数法）10第10页第10页 内点法迭代环节内点法迭代环节11第11页第11页 近似规划法基本思想近似规划法基本思想：将问题(3)中目的函数 和约束条件 近似为线性函数，并对变量取值范围加以限制，从而得到一个近似线性规划问题，再用单纯形法求解之，把其符合原始条件最优解作为(3)解近似近似规划法近似规划法每得到一个近似解后，都从这点出发，重复以上环节 这样，通过求解一系列线性规划问题，产生一个由线性规划最优解构成序列，经验表明，这样序列往往收敛于非线性规划问题解。12第12页第12页 近似规划法算法环节下列算法环节下列13第13页第13页 返回返回14第14页第14页用MATLAB软件求解,其输入格式输入格式下列:1.x=quadprog(H,C,A,b);2.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);3.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);4.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0);5.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options);6.x,fval=quaprog(.);7.x,fval,exitflag=quaprog(.);8.x,fval,exitflag,output=quaprog(.);1、二次规划、二次规划15第15页第15页例例1 1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22 s.t.x1+x22 -x1+2x22 x10,x20 MATLAB（youh1）1、写成原则形式写成原则形式：2、输入命令输入命令：H=1-1;-1 2;c=-2;-6;A=1 1;-1 2;b=2;2;Aeq=;beq=;VLB=0;0;VUB=;x,z=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、运算结果运算结果为：x=0.6667 1.3333 z=-8.2222s.t.16第16页第16页 1.首先建立M文献fun.m,定义目的函数F（X）:function f=fun(X);f=F(X);2、普通非线性规划、普通非线性规划 其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数构成向量，其它变量含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本环节分三步：17第17页第17页3.建立主程序.非线性规划求解函数是fmincon,命令基本格式下列：(1)x=fmincon(fun,X0,A,b)(2)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq)(3)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)(4)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon)(5)x=fmincon(fun,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,nonlcon,options)(6)x,fval=fmincon(.)(7)x,fval,exitflag=fmincon(.)(8)x,fval,exitflag,output=fmincon(.)输出极值点M文献迭代初值参数阐明变量上下限18第18页第18页注意：注意：1 fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数GradObj设置为on），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。2 fmincon函数中型算法使用是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。3 fmincon函数也许会给出局部最优解，这与初值X0选取相关。19第19页第19页1、写成原则形式写成原则形式：s.t.2x1+3x2 6 s.t x1+4x2 5 x1,x2 0例例220第20页第20页2、先建立先建立M-文献文献 fun3.m:function f=fun3(x);f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)2+(1/2)*x(2)2MATLAB(youh2)3、再建立主程序youh2.m：x0=1;1;A=2 3;1 4;b=6;5;Aeq=;beq=;VLB=0;0;VUB=;x,fval=fmincon(fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)4、运算结果为：运算结果为：x=0.7647 1.0588 fval=-2.029421第21页第21页1先建立先建立M文献文献 fun4.m,定义目的函数定义目的函数:function f=fun4(x);f=exp(x(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x1+x2=0 s.t.1.5+x1x2-x1-x2 0 -x1x2 10 0例例32再建立再建立M文献文献mycon.m定义非线性约束：定义非线性约束：function g,ceq=mycon(x)g=x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10;22第22页第22页3主程序主程序youh3.m为为:x0=-1;1;A=;b=;Aeq=1 1;beq=0;vlb=;vub=;x,fval=fmincon(fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon)MATLAB(youh3)3.运算结果为运算结果为：x=-1.2250 1.2250 fval=1.895123第23页第23页 例4 1先建立先建立M-文献文献fun.m定义目的函数定义目的函数:function f=fun(x);f=-2*x(1)-x(2);2再建立再建立M文献文献mycon2.m定义非线性约束：定义非线性约束：function g,ceq=mycon2(x)g=x(1)2+x(2)2-25;x(1)2-x(2)2-7;24第24页第24页3.主程序主程序fxx.m为为:x0=3;2.5;VLB=0 0;VUB=5 10;x,fval,exitflag,output =fmincon(fun,x0,VLB,VUB,mycon2)MATLAB(fxx(fun)25第25页第25页4.运算结果为运算结果为:x=4.0000 3.0000fval=-11.0000exitflag=1output=iterations:4 funcCount:17 stepsize:1 algorithm:1x44 char firstorderopt:cgiterations:返回返回26第26页第26页应用实例：应用实例：供应与选址供应与选址 某公司有6个建筑工地要动工，每个工地位置（用平面坐标系a，b表示，距离单位：千米）及水泥日用量d(吨)由下表给出。当前有两个暂时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20吨。假设从料场到工地之间都有直线道路相连。（1）试制定天天供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总吨千米数最小。（2）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个暂时料场，改建两个新，日储量各为20吨，问应建在何处，节约吨千米数有多大？27第27页第27页（一）、建立模型（一）、建立模型 记工地位置为记工地位置为(ai，bi)，水泥日用量为，水泥日用量为di，i=1,6;料场位置为料场位置为(xj，yj)，日储量为，日储量为ej，j=1,2；从料场；从料场j向工地向工地i运送量为运送量为Xij。当用暂时料场时决议变量为：Xij，当不用暂时料场时决议变量为：Xij，xj，yj。28第28页第28页（二）使用暂时料场情形（二）使用暂时料场情形 使用两个暂时料场A(5,1)，B(2,7).求从料场j向工地i运送量为Xij，在各工地用量必须满足和各料场运送量不超出日储量条件下，使总吨千米数最小，这是线性规划问题.线性规划模型为：设X11=X1,X21=X 2,X31=X 3,X41=X 4,X51=X 5,X61=X 6X12=X 7,X22=X 8,X32=X 9,X42=X 10,X52=X 11,X62=X 12 编写程序gying1.mMATLAB（gying1）29第29页第29页计算结果为：计算结果为：x=3.0000 5.0000 0.0000 7.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 4.0000 0.0000 6.0000 10.0000fval=136.227530第30页第30页（三）改建两个新料场情形（三）改建两个新料场情形 改建两个新料场，要同时拟定料场位置(xj,yj)和运送量Xij，在同样条件下使总吨千米数最小。这是非线性规划问题。非线性规划模型为：31第31页第31页设 X11=X1,X21=X 2,X31=X 3,X41=X 4,X51=X 5,X61=X 6 X12=X 7,X22=X 8,X32=X 9,X42=X 10,X52=X 11,X62=X 12 x1=X13,y1=X14,x2=X15,y2=X16 （1）先编写M文献liaoch.m定义目的函数。MATLAB（liaoch）(2)取初值为线性规划计算结果及暂时料场坐标:x0=3 5 0 7 0 1 0 0 4 0 6 10 5 1 2 7;编写主程序gying2.m.MATLAB（gying2）32第32页第32页(3)计算结果为：x=3.0000 5.0000 0.0707 7.0000 0 0.9293 0 0 3.9293 0 6.0000 10.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867fval=105.4626exitflag=133第33页第33页(4)若修改主程序gying2.m,取初值为上面计算结果:x0=3.0000 5.0000 0.0707 7.0000 0 0.9293 0 0 3.9293 0 6.0000 10.0707 6.3875 4.3943 5.7511 7.1867得结果为:x=3.0000 5.0000 0.3094 7.0000 0.0108 0.6798 0 0 3.6906 0 5.9892 10.3202 5.5369 4.9194 5.8291 7.2852fval=103.4760exitflag=1总吨千米数比上面结果略优.(5)若再取刚得出结果为初值,却计算不出最优解.MATLAB（gying2）MATLAB（gying2）34第34页第34页(6)若取初值为:x0=3 5 4 7 1 0 0 0 0 0 5 11 5.6348 4.8687 7.2479 7.7499,则计算结果为:x=3.0000 5.0000 4.0000 7.0000 1.0000 0 0 0 0 0 5.0000 11.0000 5.6959 4.9285 7.2500 7.7500fval=89.8835exitflag=1总吨千米数89.8835比上面结果更加好.通过此例可看出fmincon函数在选取初值上主要性.MATLAB（gying2）返回返回35第35页第35页钢管订购及运送优化模型钢管订购及运送优化模型“网易杯”全国大学生数学建模竞赛B题36第36页第36页符号阐明：符号阐明：37第37页第37页1、铺设总费用：、铺设总费用：2、成本及运送总费用：、成本及运送总费用：总费用总费用=铺设总费用铺设总费用+成本及运送总费用成本及运送总费用=C+W模型分析与建立模型分析与建立38第38页第38页建立模型建立模型39第39页第39页模型求解模型求解利用利用MATLAB软件包求解得：软件包求解得：40第40页第40页订购和运送方案表订购和运送方案表 返回返回41第41页第41页 某厂向用户提供发动机，协议要求，第一、二、某厂向用户提供发动机，协议要求，第一、二、三季度末分别交货三季度末分别交货40台、台、60台、台、80台每季度生产台每季度生产费用为费用为 （元），其中（元），其中x是该季生产台数是该季生产台数若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度储费，每台每季度c元已知工厂每季度最大生产能元已知工厂每季度最大生产能力为力为100台，第一季度开始时无存货，设台，第一季度开始时无存货，设a=50、b=0.2、c=4，问工厂应如何安排生产计划，才干既，问工厂应如何安排生产计划，才干既满足协议又使总费用最低讨论满足协议又使总费用最低讨论a、b、c改变对计划改变对计划影响，并作出合理解释影响，并作出合理解释练习练习 1 142第42页第42页练习练习 2 2 返回返回43第43页第43页谢谢 谢！谢！44第44页第44页