数学建模公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx
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1、第三章第三章 简朴优化模型简朴优化模型3.1 存贮模型存贮模型3.2 生猪发售时机生猪发售时机3.3 森林救火森林救火3.4 最优价格最优价格3.5 血管分支血管分支3.6 消费者均衡消费者均衡3.7 冰山运送冰山运送第1页第1页 现实世界中普遍存在着优化问题现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数)建立静态优化模型关键之一是根据建模目的拟定恰当目的函数 求解静态优化模型普通用微分法求解静态优化模型普通用微分法静静 态态 优优 化化 模模 型型第2页第2页3.1 存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品,轮换产品时因更换设配
2、件厂为装配线生产若干种产品,轮换产品时因更换设备要付生产准备费,产量不小于需求时要付贮存费。该厂备要付生产准备费,产量不小于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。生产能力非常大,即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件,生产准备费件,生产准备费5000元,贮存费元,贮存费每日每件每日每件1元。试安排该产品生产计划,即多少天生产元。试安排该产品生产计划,即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小。一次(生产周期),每次产量多少,使总费用最小。要要 求求不只是回答问题,并且要建立生产周期、产量与不只是回答问题,并且要建立
3、生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间关系。需求量、准备费、贮存费之间关系。第3页第3页问题分析与思考问题分析与思考 天天生产一次天天生产一次,每次,每次100件,无贮存费,准备费件,无贮存费,准备费5000元。元。日需求日需求100件,准备费件,准备费5000元,贮存费每日每件元,贮存费每日每件1元。元。10天生产一次天生产一次,每次,每次1000件,贮存费件,贮存费900+800+100 =4500元,准备费元,准备费5000元,总计元,总计9500元。元。50天生产一次天生产一次,每次,每次5000件,贮存费件,贮存费4900+4800+100=122500元,准备费元,准备费500
4、0元,总计元,总计127500元。元。平均天天费用平均天天费用950元元平均天天费用平均天天费用2550元元1010天生产一次平均天天费用最小吗天生产一次平均天天费用最小吗?天天费用天天费用5000元元第4页第4页 这是一个优化问题,关键在建立目的函数。这是一个优化问题,关键在建立目的函数。显然不能用一个周期总费用作为目的函数显然不能用一个周期总费用作为目的函数目的函数目的函数天天总费用平均值天天总费用平均值 周期短,产量小周期短,产量小 周期长,产量大周期长,产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少,准备费多贮存费少,准备费多准备费少,贮存费多准备费少,贮存费多存在最佳周期和产量,使总费用
5、(两者之和)最小存在最佳周期和产量,使总费用(两者之和)最小第5页第5页模模 型型 假假 设设1.产品天天需求量为常数产品天天需求量为常数 r;2.每次生产准备费为每次生产准备费为 c1,天天每件产品贮存费为天天每件产品贮存费为 c2;3.T天生产一次(周期)天生产一次(周期),每次生产每次生产Q件,当贮存量件,当贮存量 为零时,为零时,Q件产品马上到来(生产时间不计);件产品马上到来(生产时间不计);建建 模模 目目 设设 r,c1,c2 已知,求已知,求T,Q 使天天总费用平均值最小。使天天总费用平均值最小。4.为以便起见,时间和产量都作为连续量处理。为以便起见,时间和产量都作为连续量处理
6、。第6页第6页模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间函数贮存量表示为时间函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件,件,q(0)=Q,q(t)以以需求速率需求速率r递减,递减,q(T)=0.一周期一周期总费用总费用天天总费用平均天天总费用平均值(目的函数)值(目的函数)离散问题连续化离散问题连续化一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/2第7页第7页模型求解模型求解求求 T 使使模型分析模型分析模型应用模型应用c1=5000,c2=1,r=100T=10(天天),Q=1000(件件),C=1000(元元)回答问题回答问题第8页第8页 经济批量订货公式经济批量订货公式(EOQ公式公式)天天需求量
7、天天需求量 r,每次订货费,每次订货费 c1,天天每件贮存费天天每件贮存费 c2,用于订货、供应、存贮情形用于订货、供应、存贮情形不允许缺货存贮模型不允许缺货存贮模型 问:为何不考虑生产费用?在什么条件下才不考虑?问:为何不考虑生产费用?在什么条件下才不考虑?T天订货一次天订货一次(周期周期),每次订货每次订货Q件,当贮存量降到件,当贮存量降到零时,零时,Q件马上到货。件马上到货。第9页第9页允许缺货存贮模型允许缺货存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货,造成损失出现缺货,造成损失原模型假设:贮存量降到零时原模型假设:贮存量降到零时Q件件马上生产
8、出来马上生产出来(或马上到货或马上到货)现假设:允许缺货现假设:允许缺货,天天每件缺货损失费天天每件缺货损失费 c3,缺货需补足缺货需补足T一周期一周期贮存费贮存费一周期一周期缺货费缺货费周期周期T,t=T1贮存量降到零贮存量降到零一周期总费用一周期总费用第10页第10页天天总费用天天总费用平均值平均值(目的函数)(目的函数)一周期总费用一周期总费用求求 T,Q 使使为与为与不允许缺货存贮模型相不允许缺货存贮模型相比,比,T记作记作T,Q记作记作Q第11页第11页不允不允许缺许缺货模货模型型记记允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货第12页第12页允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1t
9、T注意:缺货需补足注意:缺货需补足Q 每七天期初存贮每七天期初存贮量量R每七天期生产量每七天期生产量R(或订货量)(或订货量)Q不允许缺货时产量不允许缺货时产量(或订货量或订货量)第13页第13页3.2 生猪发售时机生猪发售时机饲养场天天投入饲养场天天投入4元资金,用于饲料、人力、设元资金,用于饲料、人力、设备,备,预计预计可使可使80公斤重生猪体重增长公斤重生猪体重增长2公斤。公斤。问问题题市场价格当前为每公斤市场价格当前为每公斤8元,但是元,但是预测预测天天会减天天会减少少 0.1元,问生猪应何时发售。元,问生猪应何时发售。假如假如预计预计和和预测预测有误差,对结果有何影响。有误差,对结果
10、有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增长,发售单价随投入资金使生猪体重随时间增长,发售单价随时间减少,故存在最佳发售时机,使利润最大时间减少,故存在最佳发售时机,使利润最大第14页第14页求求 t 使使Q(t)最大最大10天后发售,可多得利润天后发售,可多得利润20元元建模及求解建模及求解生猪体重生猪体重 w=80+rt发售价格发售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4t利润利润 Q=R-C=pw-C预计预计r=2,若当前发售,利润为若当前发售,利润为808=640(元)(元)t 天天发售发售=10Q(10)=660 640g=0.1第15页第15页敏感性分
11、析敏感性分析研究研究 r,g改变时对模型结果影响改变时对模型结果影响 预计预计r=2,g=0.1 设设g=0.1不变不变 t 对对r(相对)敏感度(相对)敏感度 生猪天天体重增长量生猪天天体重增长量r 增长增长1%,发售时间推迟,发售时间推迟3%。rt第16页第16页敏感性分析敏感性分析预计预计r=2,g=0.1研究研究 r,g改变时对模型结果影响改变时对模型结果影响 设设r=2不变不变 t 对对g(相对)敏感度(相对)敏感度 生猪价格天天减少量生猪价格天天减少量g增长增长1%,发售时间提前,发售时间提前3%。gt第17页第17页健壮性分析健壮性分析保留生猪直到利润增值等于天天费用时发售保留生
12、猪直到利润增值等于天天费用时发售由由 S(t,r)=3提议过一周后提议过一周后(t=7)重新预计重新预计 ,再作计算。再作计算。研究研究 r,g不是常数时对模型结果影响不是常数时对模型结果影响 w=80+rt w=w(t)p=8-gt p=p(t)若若 (10%),则则 (30%)天天利润增值天天利润增值 天天投入资金天天投入资金 第18页第18页3.3 森林救火森林救火森林失火后,要拟定派出消防队员数量。森林失火后,要拟定派出消防队员数量。队员多,森林损失小,救援费用大;队员多,森林损失小,救援费用大;队员少,森林损失大,救援费用小。队员少,森林损失大,救援费用小。综合考虑损失费和救援费,拟
13、定队员数量。综合考虑损失费和救援费,拟定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x减函数减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x增函数增函数,由队员人数和救火时间决定由队员人数和救火时间决定.存在恰当存在恰当x,使,使f1(x),f2(x)之和最小之和最小第19页第19页 关键是对关键是对B(t)作出合理简化假设作出合理简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1
14、,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)大体图形大体图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.第20页第20页模型假设模型假设 3)f1(x)与与B(t2)成正比,系数成正比,系数c1(烧毁单位面积损失费)烧毁单位面积损失费)1)0 t t1,dB/dt 与与 t成正比,系数成正比,系数 (火势蔓延速度)火势蔓延速度)2)t1 t t2,降为降为-x(为队员平均灭火为队员平均灭火速度)速度)4)每个)每个队员单位时间灭火费用队员单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3假设假设1)
15、解释解释 rB火势以失火点为中心,火势以失火点为中心,均匀向四周呈圆形蔓延,均匀向四周呈圆形蔓延,半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比,成正比,dB/dt与与 t成正比成正比.第21页第21页模型建立模型建立b0t1tt2假设假设1)目的函数目的函数总费用总费用假设假设3)4)假设假设2)第22页第22页模型建立模型建立目的函数目的函数总费用总费用模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小结果解释结果解释 /是火势不继续蔓延至少队员数是火势不继续蔓延至少队员数b0t1t2t其中其中 c1,c2,c3,t1,为已知参为已知参数数第23页第23页模型模型应用应用c1,
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