辽宁省阜新市2021年中考数学试题（解析版）.doc

辽宁省阜新市2021年中考数学试题
一、选择题（在每一个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）
1. 计算：，其结果等于（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的加减运算即可求解．
详解】=2
故选A．
【点睛】此题主要考查有理数的加法运算，解题的关键是熟知其运算法则．
2. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据左视图的定义即可求解．
【详解】由图可知左视图是

故选B．
【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知左视图的定义．
3. 在庆祝中国共产党成立100周年的“红色记忆”校园歌咏比赛中，15个参赛班级按照成绩（成绩各不相同）取前7名进入决赛，小红知道了自己班级的比赛成绩，如果要判断自己的班级能否进入决赛，还需要知道这15个参赛班级成绩的（ ）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】由于比赛取前7名参加决赛，共有15名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】解：15个不同的成绩按从小到大排序后，中位数之后的共有7个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选：B．
【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
4. 不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据解不等式组的方法可以求得原不等式组的解集，从而可以解答本题．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
故原不等式组的解集为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确解不等式组的方法．
5. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断两个点是否在同一象限内，然后根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】∵点，都在反比例函数的图象上，∴ ，图象位于第二、四象限内，且 随 增大而增大，
∵，
∴点在第四象限，点在第二象限，
∴ ，
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质，并会用数形结合的思想解决问题．
6. 小颖有两顶帽子，分别为红色和黑色，有三条围巾，分别为红色、黑色和白色，她随机拿出一顶帽子和一条围巾戴上，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用列表法或树状图即可解决．
【详解】分别用r、b代表红色帽子、黑色帽子，用R、B、W分别代表红色围巾、黑色围巾、白色围巾，列表如下：

R
B
W
r
rR
rB
rW
b
bR
bB
bW
则所有可能的结果数为6种，其中恰好为红色帽子和红色围巾的结果数为1种，根据概率公式，恰好为红色帽子和红色围巾的概率是．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单事件的概率，常用列表法或画树状图来求解．
7. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，若，则的度数是（ ）

A. 40° B. 35° C. 30° D. 25°
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可求解．
【详解】∵，
∴=
故选B．
【点睛】此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的性质．
8. 在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据从七年级每年100万字增加到九年级的每年121万字，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，
依题意得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ）

A. B. 点A的坐标为
C. 当时，y随x增大而减小 D. 图象的对称轴为直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．
【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误；
∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确
∵
∴A点坐标为（-3，0），故B错误；
由图可知当时，y随x增大而减小，故C错误；
故选D．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
10. 如图，弧长为半圆的弓形在坐标系中，圆心在．将弓形沿x轴正方向无滑动滚动，当圆心经过的路径长为时，圆心的横坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出一个周期圆心走的路程，即可求出圆心经过的路径长为时圆心的位置，故可求解．
【详解】如图，圆心在，可得r=2
∴OA=，AB=2r=4，BC=，==
∴一个周期圆心经过的路径长为OA++BC=4，
∴C（4+2，0），
故当圆心经过的路径长为时，
÷4=505…1
∴圆心的横坐标是505×（4+2）+=
故选D．

【点睛】此题主要考查弧与坐标综合，解题的关键是根据题意求出一个周期圆心经过的路径长．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】直接计算求解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，负指数幂的计算，熟练掌握计算方法是解题的关键．
12. 如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为_________°．

【答案】60
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可求出的度数，即可得到的度数，再利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为_________．

【答案】
【解析】
【分析】设、分别与交于点、 ，则 ，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答．
【详解】如图，

设、分别与交于点、 ，则 ，
∴ ,
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
由图可知： ，

∴ ，
即与的相似比为 ，
∴与的周长比为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比．
14. 如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度约为_________ m（结果精确到1m，）．

【答案】57
【解析】
【分析】根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点，可得四边形 是矩形，继而得到，在中，可求出 ，然后在中，求出 ，即可求解．
【详解】解：根据题意画出下图：，，垂足分别为点、点， ，，，，垂足为点，

∵，，，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在中， ，
在中， ，
∴ ，
即乙楼高度约为57 ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的应用中仰角俯角问题，解题的关键是明确题意构造直角三角形，并结合利用锐角三角函数解直角三角形．
15. 如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知，．当折痕GH最长时，线段BH的长为_________．

【答案】（或6.8）
【解析】
【分析】根据题意确定点E与点D重合时，折痕GH最长，根据翻折变换的性质得出，设，则在中根据勾股定理列出方程，解方程即可，再用即可求出答案．
【详解】当点E与点D重合时，GH最长，如图所示，
由折叠可知：

设，则
∵四边形ABCD为矩形，
∴
在中，
∵
∴，
解得：
∴
故填：（或6.8）．
【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，解题关键是确定折痕最长时E点的位置，根据题意列出方程求解．
16. 育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班出发1h后，七（2）班才出发，同时七（2）班派一名联络员骑自行车在两班队伍之间进行联络，联络员和七（1）班的距离s（km）与七（2）班行进时间t（h）的函数关系图象如图所示．若已知联络员用了第一次返回到自己班级，则七（2）班需要_________ h才能追上七（1）班．

【答案】2
【解析】
【分析】分析题目可知，当七（2）班出发时，七（1）班出发1小时，已经走了4km，即七（1）班的速度为图中表示联络员追上七（1）班，用时h，可以算出联络员与七（1）班的速度差那么联络员的速度为联络员用了第一次返回到自己班级七（2）班，即联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，据此列出方程，求出七（2）班的速度，即可计算出追上七（1）班所需时间．
【详解】解：由题意得：
七（1）班的速度为：
联络员与七（1）班的速度差为：
即联络员的速度为：
当七（2）班出发时，
联络员用走的路程等于七（2）班走的路程与联络员走的路程之和，
设七（2）班的速度为
列出方程：
，
解得：
即七（2）班的速度为，
则七（2）班追上七（1）班需要的时间为：

故填：2．
【点睛】本题考查从函数图像获取信息，解题关键是由图像给出的信息，结合实际问题，求出两个班级的速度．
三、解答题（17、18、19、20题每题8分，21、22题每题10分，共52分）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】分式算式中有加法和除法两种运算，且有括号，按照运算顺序，先算括号里的加法，再算除法，最后代入计算即可．
详解】原式

当时，
原式．
【点睛】本题是分式的化简求值题，考查了二次根式的混合运算，二次根式的除法等知识，化简时要注意运算顺序，求值时，最后结果的分母中不允许含有二次根式．
18. 下面是小明关于“对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．

（1）三角形在平面直角坐标系中的位置如图1所示，简称G，G关于y轴的对称图形为，关于轴的对称图形为．则将图形绕____点顺时针旋转____度，可以得到图形．
（2）在图2中分别画出G关于 y轴和直线的对称图形，．将图形绕____点（用坐标表示）顺时针旋转______度，可以得到图形．
（3）综上，如图3，直线和所夹锐角为，如果图形G关于直线的对称图形为，关于直线的对称图形为，那么将图形绕____点（用坐标表示）顺时针旋转_____度（用表示），可以得到图形．
【答案】（1）O，180；（2）图见解析，，90；（3），
【解析】
【分析】（1）根据图形可以直接得到答案；
（2）根据题意画出图形，观察图形，利用图形旋转的性质得到结论；
（3）从（1）（2）问的结论中得到解题的规律，求出两个函数的交点坐标，即可得出答案．
【详解】解：（1）由图象可得，图形与图形关于原点成中心对称，
则将图形绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形；
故答案为：O，180；
（2），如图；

由图形可得，将图形绕点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形，
故答案为：，90；
（3）∵当G关于y轴的对称图形为，关于轴的对称图形为时，与关于原点（0,0）对称，即图形绕O点顺时针旋转180度，可以得到图形；
当G关于 y轴和直线的对称图形，时，图形绕点（用坐标表示）顺时针旋转90度，可以得到图形，点（0,1）为直线与 y轴的交点，90度角为直线与 y轴夹角的两倍；
又∵直线和的交点为，夹角为，
∴当直线和所夹锐角为，图形G关于直线的对称图形为，关于直线的对称图形为，那么将图形绕点（用坐标表示）顺时针旋转度（用表示），可以得到图形．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了图形的对称性与旋转的性质，关键在于根据题意正确的画出图形，得出规律．
19. 育红学校为了了解学生家长对教育部《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》（以下简称《通知》）的了解程度，随机抽取了该校部分学生家长进行问卷调查，问卷分为A（十分了解），B（了解较多），C（了解较少），D（不了解）四个选项，要求每位被调查家长必选且只能选择其中的一项．在对调查数据进行统计分析时，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请你依据图中信息解答下列问题：

（1）参与这次学校调查的学生家长共_________人；
（2）通过计算将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有2000名学生家长，请估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有多少人？
【答案】（1）150 ；（2）见解析；（3）1120人
【解析】
【分析】（1）观察两幅统计图中A分别是30人，其所占的百分比为20%，则可求得参与这次学校调查的学生家长总人数；
（2）在求得了参与调查的学生家长总人数的情况下，根据A、B、D的人数，即可求得C的人数，从而可把条形统计图补充完整；
（3）可求得该校参与调查的学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的百分比，用此百分比作为该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的百分比，其与2000的积便是所求的结果．
【详解】解：（1）由条形统计图知，A所占的人数为30人，由扇形统计图知，A所占的百分比为20%，所以参与这次学校调查的学生家长共有：30÷20%=150（人）．
故答案为：150 ；
（2）C选项人数为 ：（人）
补充条形统计图如下图所示．

（3）（人）
所以估计该校学生家长中对《通知》“十分了解”和“了解较多”的一共约有1120人．
【点睛】本题综合考查了两种统计图：条形统计图和扇形统计图，用样本的百分比估计总体的百分比，关键是读懂两个统计图，并能从统计图中获取有用的信息．
20. 为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
【答案】（1）甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；（2）12天
【解析】
【分析】（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，根据题意列出分式方程，故可求解；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意列出不等式，故可求解．
【详解】解：（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，
根据题意，得
解这个方程，得．
经检验，是所列方程的根．
（间），
所以，甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室．
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意，得

解这个不等式，得．
所以，最多安排甲公司工作12天．
【点睛】此题主要考查分式方程与不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解．
21. 在图1中似乎包含了一些曲线，其实它们是由多条线段构成的．它不但漂亮，还蕴含着很多美妙的数学结论．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是直线AB，BC上的点（E，F在直线AC的两侧），且．

（1）如图2，求证：；
（2）若直线AC与EF相交于点G，如图3，求证：；
（3）设正方形ABCD的中心为O，，用含的式子表示的度数（不必证明）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α．
【解析】
【分析】（1）四边形ABCD是正方形，，，又知道，可得到即可求解；
（2）作交AC于点H,则,知道四边形ABCD是正方形可得，推出，，，，，得到，，又知道得到即可求解
（3）分三种情况①点E在线段AB上、②点E在线段BA的延长线上、③点E在线段AB的延长线上，逐一进行讨论即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴．
又∵，
∴．
∴．
（2）（解法一）作交AC于点H，如图1．则．

图1
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
由（1）同理可得，
∴．
（解法二）作交AC于点H ，如图2．

图2
∵四边形ABCD是正方形，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
连接CE，FH ．
又∵．
∴四边形CEHF是平行四边形．
∴．
由（1）同理可得，
∴．
（3）解：①当点E在线段AB上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
即∠EDF=90°，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDF=∠2=45°，
∴∠1=45°-∠3，
∵∠BCD=90°，
∴∠3+∠2+∠CFE=90°，
∴∠3=90°-45°-α=45°-α，
∴∠1=45°-∠3=α，
∵∠DGO=∠ACD+∠1，
∴∠DGO=α+45°；
②当点E在线段BA的延长线上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=45°，
∵，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADF+∠CDF=∠ADC=90°，
∴∠EDA+∠ADF=90°，
即∠EDF=90°，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDF=∠GFD=∠BDC=45°，
∴∠1=∠2，
∵∠BCD=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∵∠3=∠CFE-∠GFD=α-45°，
∴∠2=90°-α+45°=135°-α，
∴∠1=∠2=135°-α，
∴∠DGO=90°-∠1=α-45°；
③当点E在线段AB的延长线上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠ACD=45°，∠ABC=∠ADC=90°，
∵，
∴∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=90°，
即∠EDF=90°，
∴∠2=∠3，
∵DE=DF，DG⊥EF，
∴∠GDE=∠DEG=45°，
∴∠1+∠3=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CFE+∠2+∠DEG=90°，
∵∠CFE-∠2=45°，
∴∠CFE=∠1=α，
∴∠DGO+∠1=∠ACD=45°，
∴∠DGO=45°-α．
综上：∠DGO=α+45°或∠DGO=α-45°或∠DGO=45°-α．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用全等三角形的判定和性质得DE=DF，利用等腰直角三角形的性质求解．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于点，，过点B的直线交抛物线于点C．

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2） 若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合），求面积的最大值；
（3）若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 或或
【解析】
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入抛物线的解析式中，得关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求得a、b，从而可求得抛物线的函数解析式；
（2）过点P作轴，交x轴于点D，交BC于点E，作于点F，连接PB，PC，则有，设，则可得E点坐标，从而可分别求得PE、DE，从而求得PE，解由二次函数与一次函数组成的方程组，可求得点C的坐标，
进而求得△PBC的面积关于m的函数，求出函数的最值即可；
（3）设点M的坐标为(p,q)，分别求出直线OM、ON的解析式，再求得ON与直线的交点N的坐标，根据OM=ON，即可求出p与q的值，从而求得点M的坐标．
【详解】（1）将点，代入中，得：

解得
∴该抛物线表达式为．
（2）过点P作轴，交x轴于点D，交BC于点E，作于点F，连接PB，PC，如图．

设点，则点．
∵点P、E均位于直线的下方
∴P、E两点的纵坐标均为负
∴，
∴
∵点C的坐标为方程组的一个解
∴解这个方程组，得，
∵点B坐标为
∴点C的横坐标为
∴
∴

．（其中）
∵
∴这个二次函数有最大值，且当时，的最大值为．
（3）存在
设M(p,q)，其中，且p≠0， 则直线OM的解析式为：
由于ON⊥OM，则直线ON的解析式为：
解方程组 ，得，
即点N的坐标为
∴
∵，且OM=ON
∴
∴
即 或
把代入两式中并整理，得： 或
解方程得： ，，， (舍去)
当时，；当时，；当时，
故点M的坐标分别为：或或
当p=0时，则q=－3，即M(0,－3)，而，且OM⊥OB
即此时点M也满足题意
综上所述，满足题意的点M的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数的压轴题，也是中考常考题型，它考查了待定系数法求二次数解析式，二次函数的图象，求二次函数的最值，平面直角坐标系中图象旋转问题，解方程组，勾股定理等知识，运算量较大，这对学生的运算能力提出了更高的要求；求三角形面积时用到图形的割补方法，这是在平面直角坐标系中求图象面积常用的方法．