黑龙江省绥化市2021年中考数学真题试卷（解析版）.doc

二○二一年绥化市初中毕业学业考试数学试题
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）请在答题卡上用铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑
1. 现实世界中，对称无处不在．在美术字中，有些汉字也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．
【详解】解：A、“美”是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、“丽”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、“绥”不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、“化”不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，属于基础题，熟练掌握对称图形的概念即可求解．
2. 据国家卫健委统计，截至6月2日，我国接种新冠疫苗已超过704000000剂次．把704000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
详解】704000000=7.04×108，
故选：D．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 如图是由7个相同的小正方体组合而成的几何体．这个几何体的左视图是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】从左边看，从左往右小正方形的个数依次为：3，1，1．故选B．
【点睛】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确把握观察方向是解题关键．
4. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. 且 C. 且 D.
【答案】C
【解析】
【分析】要使式子在实数范围内有意义，必须保证根号下为非负数，分母不能为零，零指数幂的底数也不能为零，满足上述条件即可．
【详解】解：式子在实数范围内有意义，
必须同时满足下列条件：
，，，
综上：且，
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，当上述式子同时出现则必须同时满足．
5. 定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（ ）
A. B. 5 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意列出算式，求解即可
【详解】

．
故选B．
【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等．
6. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 任意一个三角形中，三角形两边的差小于第三边
B. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
C. 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角一定相等
D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形两边之差小于第三边、中位线定理、平行四边形的判定方法依次即可求解．
【详解】解：选项A：三角形的两边之差小于第三边，故选项A正确，不符合题意；
选项B：三角形的中位线平行且等于第三边的一半，故选项B正确，不符合题意；
选项C：一个角的两边分别平行另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故选项C不正确，是假命题，符合题意；
选项D：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握各个基本定理和性质是解决本类题的关键．
7. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，算术平方根，以及实数的运算法则逐一判断．
【详解】A、(a5)2=a10，故A错，
B、x4⋅x4=x8，故B正确，
C、，故C错，
D、−=-3- ，故D错，
故选：B
【点睛】本题考查了算术平方根，实数的运算，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟悉并灵活运用以上性质是解题的关键．
8. 已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形
【答案】C
【解析】
【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.
【详解】设这个多边形的边数为n，
则（n－2）×180°＝4×360°，
解得：n＝10，
故选C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解．
9. 近些年来，移动支付已成为人们的主要支付方式之一．某企业为了解员工某月两种移动支付方式的使用情况，从企业2000名员工中随机抽取了200人，发现样本中两种支付方式都不使用的有10人，样本中仅使用种支付方式和仅使用种支付方式的员工支付金额（元）分布情况如下表：
支付金额（元）

仅使用
36人
18人
6人
仅使用
20人
28人
2人
下面有四个推断：
①根据样本数据估计，企业2000名员工中，同时使用两种支付方式的为800人；
②本次调查抽取的样本容量为200人；
③样本中仅使用种支付方式的员工，该月支付金额的中位数一定不超过1000元；
④样本中仅使用种支付方式的员工，该月支付金额的众数一定为1500元．
其中正确的是（ ）
A. ①③ B. ③④ C. ①② D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】①用样本估计总体的思想；
②根据表可以直接算出样本容量；
③利用中位数定义可以直接判断；
④根据众数的定义可以直接判断．
【详解】解：根据题目中的条件知：
①从企业2000名员工中随机抽取了200人，同时使用两种支付方式的人为：（人），
样本中同时使用两种支付方式的比例为：，
企业2000名员工中，同时使用两种支付方式的为：（人），
故①正确；
②本次调查抽取的样本容量为200；
故②错误；
③样本中仅使用种支付方式的员工共有：60人，其中支付金额在之间的有，36人，超过了仅使用种支付方式的员工数的一半，由中位数的定义知：中位数一定不超过1000元，
故③是正确；
④样本中仅使用种支付方式的员工，从表中知月支付金额在之间的最多，但不能判断众数一定为1500元，
故④错误；
综上：①③正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了概率公式、运用样本估计总体的思想、中位数和众数的定义，解题的关键是：熟练掌握公式及相关的定义，根据图表信息解答．
10. 根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品?设原计划平均每天可生产箱药品，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设原计划平均每天可生产箱药品，则实际每天生产箱药品，再根据“生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同”建立方程求解即可．
【详解】解：设原计划平均每天可生产箱药品，则实际每天生产箱药品，
原计划生产4500箱所需要的时间为：，
现在生产6000箱所需要的时间为：，
由题意得：；
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
11. 已知在中，，．点为边上的动点，点为边上的动点，则线段的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作点F关于直线AB的对称点F’，如下图所示，此时EF+EB= EF’+EB，再由点到直线的距离垂线段长度最短求解即可．
【详解】解：作点F关于直线AB的对称点F’，连接AF’，如下图所示：

由对称性可知，EF=EF’，
此时EF+EB= EF’+EB，
由“点到直线的距离垂线段长度最小”可知，
当BF’⊥AF’时，EF+EB有最小值BF0，此时E位于上图中的E0位置，
由对称性知，∠CAF0=∠BAC=90°-75°=15°，
∴∠BAF0=30°，
由直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半可知，
BF0=AB=，
故选：B．
【点睛】本题考查了30°角所对直角边等于斜边的一半，垂线段最短求线段最值等，本题的核心思路是作点F关于AC的对称点，将EF线段转移，再由点到直线的距离最短求解．
12. 如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（ ）
①；
②当点与点重合时；
③的面积的取值范围是；
④当时，．

A. ①③ B. ③④ C. ②③ D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3<BG<．从而判断①不正确；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；
③当点E与点A重合时，的面积有最小值，当点G与点D重合时的面积有最大值．故<<．
④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，从而可求出△MEG的面积．
【详解】解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形，
∴EF⊥BG且BN=GN，
若BN=AB，则BG=2AB=6，
又∵点E是AD边上的动点，
∴3<BG<．
故①错误；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3，
在Rt△ABE中

即
解得：AE=，
∴BF=DE=6-=．
∴HF=-=．
在Rt△EFH中
=；
故②正确；

③当点E与点A重合时，如图所示，的面积有最小值= =，
当点G与点D重合时的面积有最大值==．
故<<．
故③错误．

④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，
∴．
故④正确．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键．
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
13. 在单词（数学）中任意选择一个字母恰好是字母“”的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】直接由概率公式求解即可．
【详解】解：单词中共有11个字母，
其中t出现 了2次，
故任意选择一个字母恰好是字母“”的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查运用概率公式求概率，根据已知条件找出总情况数和符合条件的情况数是解题关键．
14. 在实数范围内分解因式：_________．
【答案】．
【解析】
【分析】利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：
=
=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了利用平方差公式分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
15. 一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__________cm．
【答案】40
【解析】
【分析】设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，所以根据原题所给出的等量关系，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设弧所在圆的半径为r，
由题意得，
，
解得，r=40cm．
16. 当时，代数式的值是____．
【答案】
【解析】
【分析】先根据分式的加减乘除运算法则化简，然后再代入x求值即可．
【详解】解：由题意可知：
原式

，
当时，原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，属于基础题，运算过程中细心即可求解．
17. 某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品．已知购买2个种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个种奖品和2个种奖品共需130元．学校准备购买两种奖品共20个，且种奖品的数量不小于种奖品数量的，则在购买方案中最少费用是_____元．
【答案】330
【解析】
【分析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个种奖品共需100元；购买5个A种奖品和2个种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品数量的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得：，
解得：
∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式：
m≥(20-m)，解得：m≥，
∴≤m≤20，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，
∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式与一次函数．
18. 已知是一元二次方程的两个根，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解： ∵是一元二次方程的两个根，
根据根与系数的关系得：，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟知是解题关键．
19. 边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意作出图形，找出直角三角形，它的外接圆与内切圆半径为直角三角形的两条边，根据三角函数值即可求出．
【详解】如图：正六边形中，过作
中，,
它的外接圆与内切圆半径的比值是
．

故答案为．
【点睛】本题考查了正多边形的外接圆和内切圆的相关知识，对称性，特殊角的锐角三角函数，依题意作出图形是解决本题的关键．
20. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在的双曲线上．点的对应点分别是点．若点为的中点，且，则的值为____．

【答案】
【解析】
【分析】先利用轴对称和中点的定义，确定EG和EO之间的关系，再利用平行线分线段成比例定理及推论，得到FG和OD之间的关系，设EG=x，FG=y，用它们表示出D点坐标，接着得到B点坐标，利用，得到，再利用反比例函数的定义，计算出B点横纵坐标的积，即为所求k的值．
【详解】解：如图所示，由轴对称的性质可知：GE=GA，CG=OG，BC=OD，
∵点为的中点，
∴AE=OA，
∴,
∵MN∥y轴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴，
设EG=x，FG=y，则OG=3x，OD=4y，
∴，
因为D点和B点关于MN对称，
∴
∵，
∴
∴,
∵点恰好落在的双曲线上，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了轴对称的性质、中点的定义、平行线分线段成比例定理的推论、反比例函数的定义等内容，解决本题的关键是牢记相关定义与性质，能根据题意在图形中找到对应关系，能挖掘图形中的隐含信息等，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
21. 在边长为4的正方形中，连接对角线，点是正方形边上或对角线上的一点，若，则______．
【答案】1或或
【解析】
【分析】按P在正方形的边上和对角线上分别画出图形，再逐个求解即可．
【详解】解：∵PB=3PC，
∴P点不可能位于边AB上，接下来分类讨论：
情况一：当P点位于正方形边BC上时，如下图1所示：

∵PB=3PC，
∴PC=BC=1；
情况二：当P位于正方形边CD上时，如下图2所示：

设PC=x，则BP=3PC=3x，在Rt△BPC中，由勾股定理可知：
4²+x²=(3x)²，解得x=(负值舍去)，
∴PC=；
情况三：当P位于正方形边AD上时，如下图3所示：

设AP=x，则DP=4-x，
Rt△ABP中，BP²=AP²+AB²=x²+16，
Rt△CPD中，CP²=PD²+CD²=(4-x)²+16=x²-8x+32，
∵BP=3PC，
∴x²+16=9(x²-8x+32)，
整理得到：x²-9x+34=0，此方程无解，
故P点不可能位于边AD上；
情况四：P点位于对角线BD上时，过P点作PH⊥BC于H点，如下图所示：

设PC=x，则BP=3PC=3x，
∵∠DBC=45°，∴△BPH为等腰直角三角形，其三边之比为，
∴BH=PH=，CH=BC-BH=，
在Rt△PHC中，由勾股定理可知：PC²=PH²+CH²，
∴，
整理得：，此方程无解，
故P点不可能在对角线BD上；
情况五：P点位于对角线AC上时，过P点作PH⊥BC于H点，如下图所示：

设PC=，则BP=3PC=，
∵∠PCB=45°，∴△PCH为等腰直角三角形，其三边之比为，
∴PH=CH=，BH=BC-CH=4-x，
在Rt△PHB中，由勾股定理可知：PB²=PH²+BH²，
∴，
整理得：，
解得：(负值舍去)，
∴；
综上所述，或或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用及分类讨论的思想，本题中由于P点的位置未定，故需要分多种情况讨论．
22. 下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第个图形中三角形个数是_______．

【答案】
【解析】
【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n2，结合两部分即可得出答案．
【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，
则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，
下半部规律为：12、22、32、42……n2，
∴上下两部分统一规律为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．
三、解答题（本题共7个小题，共54分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
23. （1）如图，已知为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点．使．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在上图中，如果，则的周长是_______．
【答案】（1）见解析；（2）9．
【解析】
【分析】（1）直接根据垂直平分线-尺规作图方法作图即可；
（2）根据（1）中可知，即可求得的周长．
【详解】（1）作法：如图所示，
①连接（用虚线），
②作的垂直平分线交于，
③标出点即为所求，

（2）∵，
∴，
∴的周长＝9．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的做法－尺规作图，熟知垂直平分线的性质是解题的关键．
24. 如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，为平面直角坐标系的原点，矩形的4个顶点均在格点上，连接对角线．

（1）在平面直角坐标系内，以原点为位似中心，把缩小，作出它的位似图形，并且使所作的位似图形与的相似比等于；
（2）将以为旋转中心，逆时针旋转，得到，作出，并求出线段旋转过程中所形成扇形的周长．
【答案】（1）见详解；（2）见详解； 弧长是
【解析】
【分析】（1）根据位似图形的定义作图即可；（定义：如果两个图形不仅相似，而且对应点的连线交于一点，这两个图形叫做位似图形，交点叫做位似中心；）
（2）根据图形旋转的方法：将顶点与旋转中心的连线旋转即可得旋转后的图形；OB旋转后扇形的半径为OB长度，在坐标网格中，根据直角三角形勾股定理可得OB长度，然后代入扇形弧长公式,同时加上扇形两半径即可求出答案．
【详解】（1）位似图形如图所示

（2）作出旋转后图形，
，
周长是．
【点睛】题目主要考察位似图形的画法、旋转图形画法、勾股定理及弧长公式的计算，难点是对定义的理解及对公式的运用．
25. 一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为，点在同一条直线上，测得，，其中一段支撑杆，另一段支撑杆，求支撑杆上的点到水平地面的距离是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据）

【答案】点到水平地面的距离约为．
【解析】
【分析】过作交于，过作交延长线于，证明四边形FMDN为矩形，得到MF=DN，在Rt△BDN中求出DN的长，再在Rt△MED中求出EM的长，最后将EM与MF相加即得到答案．
【详解】解：过作交于，过作交延长线于，如下图所示：

在中，，
由30°所对直角边等于斜边的一半可知，，
，
，
，
，
，
在中：，代入数据：
，

∴四边形是矩形，
，
，
，
又已知，
在中：，
，
，
故点到水平地面的距离约为．
【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形等知识点，属于基础题，熟练掌握三角函数的定义是解决本题的关键．
26. 小刚和小亮两人沿着直线跑道都从甲地出发，沿着同一方向到达乙地，甲乙两地之间的距离是720米，先到乙地的人原地休息，已知小刚先从甲地出发4秒后，小亮从甲地出发，两人均保持匀速前行．第一次相遇后，保持原速跑一段时间，小刚突然加速，速度比原来增加了2米/秒，并保持这一速度跑到乙地（小刚加速过程忽略不计）．小刚与小亮两人的距离（米）与小亮出发时间（秒）之间的函数图象，如图所示．根据所给信息解决以下问题．

（1）_______，______；
（2）求和所在直线的解析式；
（3）直接写出为何值时，两人相距30米．
【答案】（1）；（2）；；（3）t为46 ，50，110，138时，两人相距30米．
【解析】
【分析】（1）依次分析A、B、C、D、E、F各点坐标的实际意义：
A点是小刚先走了4秒，B点小亮追上小刚，相遇，C点是小刚开始加速，D点是小刚追上小亮，E点是小刚到达乙地，F点是小亮到达乙地，则根据A点的意义，可以求出的值，根据E点的意义可以求出n的值；
（2）根据题意分别求得C、D、E、F各点坐标，代入直线解析式，用待定系数法求得解析式；
（3）根据题意分别求出写出四 条直线的解析式，令S=30，即可求解．
【详解】（1）∵小刚原来的速度米/秒，小亮的速度米/秒
B点小亮追上小刚，相遇

E点是小刚到达乙地

．
（2）由题意可知点横坐标为
∵小刚原来的速度米/秒，小亮的速度米/秒
∴纵坐标为

设

解得：

的横坐标为
的纵坐标为

设代入可得

解得：
．
（3）,，，，
设

解得：

设

解得：

当S=30时
，
，
，

t为46 ，50，110，138时，两人相距30米．
【点睛】本题考查了对一次函数的图像的理解和运用，对路程问题的分析，待定系数法求一次函数的解析式，数形结合理解函数图像的意义，理解图像的各拐点的意义是解题的关键．
27. 如图，在中，，以为直径的与相交于点，垂足为．

（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）的半径为1；（3）．
【解析】
【分析】（1）连接OD，由题意可得∠B=∠C，由半径OB和OD可得∠B=∠ODB，从而∠C=∠ODB，在Rt△DEC中可知∠C+∠CDE=90°，则∠OBD+∠CDE=90°，从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是的切线；
（2）连接OD，过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AC与交于点H，连接OH，分别求解S△OAH，S扇形OAH，S△OBD，S扇形OOD，然后根据S阴影= S扇形OAH + S扇形OBD – S△OAH –S△OBD求解即可得到阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：
方法一：
连接
为直径

，
为中点
为中点

是半径
是的切线

方法二：
连接

．

是的半径
是的切线
方法三：
连接

是的半径
是的切线
（2）解：
方法一：
连接，

是直径

在中

即的半径为1

方法二：
连接
是的直径

为中点

即的半径为1

（3）作的平分线交于 连接

平分

即

设 则

解得：

是的直径

【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，以及与扇形面积相关的不规则阴影部分面积求解问题，灵活添加辅助线将不规则图形转换为规则图形的面积表示是解题关键．
28. 如图所示，四边形为正方形，在中，的延长线与的延长线交于点，点在同一条直线上．

（1）求证：；
（2）当时，求的值；
（3）当时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）已知正方形和，用“边角边”证明两三角形全等即可；
（2）方法一：过作交于点，过作交于点，则，从而求的，
方法二：连接交于，交于，构造相似三角形，从而求得；
（3）不在直角三角形中，过点作交于点，过点作交于点，求得结果．
【详解】（1）∵四边形为正方形

在和中

．
（2）方法一：

，
为正方形对角线

设，则

在三角形中
过作交于点，过作交于点

是等腰直角三角形

∴，
．
方法二：
连接交于，交于

∵正方形
，，

，
∴，
，，

为中点
，
设

（3）过点作交于点，过点作交于点

，

，
为等腰直角三角形

，
，

，
在中
．

【点睛】本题考查了全等三角形的证明，相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质，按要求作出辅助线是解决本题的关键．
29. 如图，已知抛物线与轴交于点，点，（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接．直线经过点，且与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点是抛物线上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标；
（3）点为线段上的一点，点为线段上的一点，连接，并延长与线段交于点（点在第一象限）．当且时，求出点的坐标．
【答案】（1）；（2）； ；（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用待定系数法求出a、b的值即可得出抛物线解析式；
（2）当时，根据抛物线对称性可求得N的坐标；当时，在的垂直平分线上，与抛物线产生两个交点，将两点坐标求出即可；
（3）在上取一点，作的垂直平分线交轴于点，连接，则，在上点的右侧作，移动点，当时，点为所求，过点作垂直于轴于点，过点作垂直于轴于点，则，设，根据相似三角形性质列比例求解，解出点F的坐标即可．
【详解】（1）将代入得：

解得：
∴抛物线的解析式
（2）顶点
①当时，根据抛物线对称性，与重合

②方法一：如图一
当时，在的垂直平分线上
如图的垂直平分线交于，交轴于点，与轴交点为

，
在中，，
，
是的中点，，
，
，
，
设，
代入得，
解得：，
，
联立得，
，
解得，
，
，

方法二：如图二，
过作轴垂线交轴于，
过作交于，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
把代入，，
，
综上，
，

（3）如图一，在上取一点，作的垂直平分线交轴于点，连接，则，在上点的右侧作，
，
，
移动点，当时，点为所求．
过点作垂直于轴于点，过点作垂直于轴于点，
，
，，
设，
，
，
，
，
，，
∴在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
代入，
解得代入得，
，
．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何图形综合，二次函数与一次函数综合，解直角三角形，相似三角形等知识点，题型难度大，属于中考压轴题．