2007年北京市中考数学试题与答案.doc

2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）

一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的，用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑.
1. －3的倒数是（ ）
A. B. C. －3 D.3
2. 国家游泳中心——“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积给260000平方米，将260000用科学记数法表示应为 （ ）
A. 0.26×106 B. 26×104 C. 2.6×106 D. 2.6×105

3. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90O，DE过点C且平行于AB，若∠BCE=35 O，
则∠A的度数为 （ ）
A. 35O B. 45º C. 55º D. 65º
4. 若，则的值为 （ ）
A. －4 B. －1 C. 0 D. 4
5. 北京市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：ºC）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值为。（ ）
A. 28ºC B. 29ºC C. 30ºC D. 31ºC
6. 把代数式分解因式，下列结果中正确的是。（ ）
A. B.
C. D.
7. 一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为 （ ）
A. B. C. D.
8. 右图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的
展开图，那么这个展开图是 （ ）

二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）
9. 若分式的值为0，则的值为 .
10. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 .

11. 在五环图案内，分别填写五个数，，，，，如图： ，其中，是三个连续偶数，，是两个连续奇数，且满足，例如： ，. 请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：

12. 2007年北京市统招右图是对种中心为点的正六边形，如果用一个含30º角的直角三
角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面
积等分，那么的所有可能的值是 .

三、解答题（共5个小题，共25分）
13.（本小题满分5分）
2007年北京市统招计算：

14.（本小题满分5分）
解方程：

15.（本小题满分5分）
计算：

16.（本小题满分5分）
已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD.
求证：AB=CD

17.（本小题满分5分）
已知，求代数式的值.

四、解答题（共2个小题，共10分）
18.（本小题满分5分）
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = DC = AD，∠C=60º，AE⊥BD于点E，AE=1，求梯形ABCD的高.

19.（本小题满分5分）
2007北京统考 已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A
的直线交于B点，OC = BC，AC =OB
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若∠ACD =45º，OC =2，求弦CD的长.

五、解答题（本题满分6分）
20. 根据北京市水务局公布的2004年、2005年北京市水资源和用水情况的相关数据，绘制如下统计图表：

（1）北京市水资源全部由永定河水系、潮白河水系、北运河水系、蓟运河水系、大清河水系提供，请你根据以上信息补全2005年北京市水资源统计图，并计算2005年全市的水资源总量（单位：亿m3）；
（2）在2005年北京市用水情况统计表中，若工业用水量比环境用水量的6倍多0.2亿m3，请你选计算环境用水量（单位：亿m3），再计算2005年北京市用水总量（单位：亿m3）；
（3）根据以上数据，请你计算2005年北京市的缺水量（单位：亿m3）；
（4）结合2004年及2005年北京市的用水情况，谈谈你的看法.

六、解答题（共2个小题，共9分）
21.（本小题满分5分）
在平面直角坐标系中，为正方形，点的坐标为（1，1），将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线上，
（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点重合，一条
直角边落在直线上时，这个三角形纸片正方形
重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；

（2）若三角形纸片的直角顶点不与点、重合，且两
条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），

22.（本小题满分4分）
在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与的图像关于轴对称，又与直线交于点，试确定的值.

七、解答题（本题满分7分）
23. 如图，已知
（1）请你在边上分别取两点、（的中点除
外），连结、，写出使此图中只存在两对面
积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的
三角形；
（2）请你根据使（1）成立的相应条件，
证明.

八、解答题（本题满分7分）
24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线、、距离相等的点的坐标.

九、解答题（本题满分8分）
25. 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在中，点、分别在、上，设、相交于，若，，请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在中，如果是不等于60º的锐角，点、分别在、上，且，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

2007年北京市高级中等学校招生统一考试（课标卷）
数 学 试 卷·参 考 答 案
阅卷须知：
1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名。
2．第Ⅰ卷是基础题，机读阅读。
3．第Ⅱ卷包括填空题；为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细。考生只要写明
主要过程即可。若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分。解答右端所注分数。表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
第Ⅰ卷（共32分）
一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）

题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
A
D
C
C
B
A
B
D
第Ⅱ卷（共88分）
二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）

题 号
9
10
11
12
答 案
2

或
2、3、
4、6、12
三、解答题（共5个小题，共25分）
13．（本小题满分5分）
计算：．
解：原式

14．（本小题满分5分） 解方程：．
解：

代入公式，得

15．（本小题满分5分） 计算： 。
解：

16．（本小题满分5分）
已知：如图，是和的平分线，．
求证：．
证明：因为OP是AOC和BOD的平分线
所以AOP = COP，BOP=DOP
所以AOB =COD
在△AOB和△COD中，
OA=OC
AOB=COD
OB=OD
所以 △AOB≌△COD
所以AB=CD
17．（本小题满分5分）
已知，求代数式的值．
解：原式

当 时，原式=。
四、解答题（共2个小题，共10分）
18．（本小题满分5分）
如图，在梯形中，，，，于点，

求梯形的高．
解：作DF⊥BC于点F，
因为 AD//BC，AB=CD
所以1=2，2=3
所以1=3
又因为 AB=DC，所以C=60°
所以

又于点E，AE=1，

在中，由正弦定义，可得 DF=
所以 梯形ABCD的高为 。

19．（本小题满分5分）

E
解：（1）证明：如图，连接OA 。
因为OC=BC，AC=OB
所以OC=BC=AC=OA；
所以△ACO是等边三角形，
故 ∠O = 60°
又可得∠B=30°，所以∠OAB=90°
所以AB是⊙O的切线；
（2）作AE⊥CD于点E，
因为∠O=60°，所以∠D=30°，
又∠ACD=45°，AC=OC=2，所以在Rt△ACE中，CE=AE= ，
在Rt△ADE中，因为∠D=30°，所以AD= ，
由勾股定理，可得DE= ，
所以CD=DE+CE=+。
3.54
0
1
2
3
4
5
6
7
8
水系
2.79
6.78
6.88
3.22
永定河水系
潮白河水系
北运河水系
蓟运河水系
大清河水系
水资源量
2005年北京市水资源统计图（单位：亿）
五、解答题（本题满分6分）
解：（1）补全2005年北京市水资源统计图，
如右图：
水资源总量为23.18亿m3。
（2）设2005年环境用水量为亿m3 ,
依题意，得

解得：
所以2005年环境用水量为1.1亿m3，
因为13.38+1.1+6.413.22=34.5，
所以2005年北京市用水总量为34.5亿m3。
（3）因为34.5-23.18=11.32
所以2005年北京市缺水量为11.32亿m3 。
（4）说明：通过对比2004年及2005年北京市的用水情况，能够提出积极、正确看法的均给分。
六、解答题（共2个小题，共9分）
21．（本小题满分5分）
解：（1） ； （2）直角顶点的坐标为 和 ，此时的图形如下：

22．（本小题满分4分）
解：依题意得，反比例函数的解析式为的图象上。
因为点A（m,3）反比例函数的图象上，
所以 ，即点A的坐标为（-1，3）
由点A（-1，3）在直线 上，
可求得a = -1。
D
E

七、解答题（本题满分7分）
23．解：（1）如图1,BD=CE≠DE;
△ABD和△ACE, △ABE和△ACD;

(2)证法一: 如图2, 分别过点D、B作CA、EA的平行线，
两线相交于F点，DF于AB交于G点。
所以，
在△AEC和△FBD中，又CE=BD，
G
F
D
E

可证 △AEC≌△FBD，
所以AC=FD，AE=FB，
在△AGD中，AG+DG>AD，
在△BFG中，BG+FG>FB，
所以AG+DG-AD>0, BG+FG-FB>0,
所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0,
即AB+FD>AD+FB，
所以 AB+AC>AD+AE .

证法二: 如图3，分别过A、E作CB、CA的平行线，
G
F
D
E

两线相交于F点，EF于AB交于G点，连结BF，
则四边形FECA是平行四边形。
所以FE=AC，AF=CE
因为BD=CE，
所以BD=AF
所以四边形FBDA是平行四边形。
所以FB=AD
在△AGE中，AG+EG>AE； 在△BFG中，BG+FG>FB，
可推得：AG+EG+BG+FG>AE+FB
所以AB+AC >AD+AE.
证法三: 如图4，取DE的中点O，连结AO并延长到F点，
F
D
E
O
G

使得FO=AO，连结EF、CF，延长AE交CF于G点。
在△ADO和△FEO中，又∠AOD=∠FOE，DO=EO，
可证：△ADO≌△FEO 所以AD=FE
因为BD=CE，DO=EO， 所以BO=CO，
同理可证△ABO≌△FCO 所以 AB=FC
在△ACG中，AC+CG>AE+EG，
在△EFG中，EG+FG>EF，
可推得AC+CG+EG+FG>AE+EG+EF，
即AC+CF>AE+EF,
所以AB+AC>AD+AE 。
八、解答题（本题满分7分）
24．解：（1）根据题意得
解得
所以抛物线的解析式为：
（）由得抛物线的顶点坐标为B（，1），
依题意，可得C（，-1），且直线 过原点， 设直线 的解析式为，
则 解得
所以直线 的解析式为
（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，
由勾股定理得 OB=OC=BC=2，
所以△OBC为等边三角形。
易证轴所在的直线平分∠BOC，轴是△OBC的一个外角的平分线，
作∠BCO的平分线，交轴于M1点，交轴于M2点，
作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交轴于M3点，
反向延长线交轴于M4点，
可得点M1，M2，M3，M4 就是到直线OB、OC、BC距离相等的点。
可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：
①OM1 ，所以点M1的坐标为（，0）。
②点M2 与点A重合，所以点M2的坐标为（0 ，2），
③点M3 与点A关于轴对称，所以点M2的坐标为（0 ，-2），
④设抛物线的对称轴与轴的交点为N ，
M4N ，且ON = M4N，
所以点M4的坐标为（，0）
综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：
M1（，0）、 M2（0 ，2）、 M3（0 ，-2）、M4（，0）。
九、解答题（本题满分8分）
25．解：（1）回答正确的给1分（如：平行四边形、等腰梯形等）。

（2）答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），

四边形DBCE是等对边四边形；
（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE。

证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点。
因为∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边，
所以△BCF≌△CBG，
所以BF=CG，
因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，
所以∠BDF=∠BEC，
可证△BDF≌△CEG，
所以BD=CE
所以四边形DBCE是等边四边形。

证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB=∠DBC，CF交BE于F点。
因为∠DCB=∠EBC=∠A，BC为公共边，
所以△BDC≌△CFB，
所以BD=CF，∠BDC=∠CFB，
所以∠ADC=∠CFE，
因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE，∠FEC=∠A+∠ABE，
所以∠ADC=∠FEC，
所以∠FEC=∠CFE，
所以CF=CE，
所以BD=CE，
所以四边形DBCE是等边四边形。

说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立。只有次证法，只给1分。