2010年山东省临沂市中考数学试题及答案.doc

2010年临沂市初中学生学业考试试题数学
一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，满分42分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．计算的值等于
A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2
2．如果∠ α = 60°，那么∠ α的余角的度数是
A.30° B.60° C.90° D.120°
3．下列各式计算正确的是
A. B. C. D.
4．已知两圆的半径分别是2cm和4cm，圆心距是6cm，那么这两圆的位置关系是
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
第5题图
A
B
C
D
5．如图，下面几何体的俯视图是

6．今年我国西南地区发生的严重干旱灾害，牵动着全国人民的心．某学校掀起了“献爱心，捐矿泉水”的活动，其中该校九年级（4）班7个小组所捐矿泉水的数量（单位：箱）分别为6，3，6，5，5，6，9，则这组数据的中位数和众数分别是
A.5，5 B.6，5 C.6，6 D.5，6
第7题图
7．如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB = 4，则OE的长是
A.2 B. C.1 D.
0

1
0

1
8．不等式组的解集在数轴上表示正确的是

A B0

1
0

1

C D
9．“红灯停，绿灯行”是我们在日常生活中必须遵守的交通规则，这样才能保障交通顺畅和行人安全．小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口，且每个路口只安装了红灯和绿灯，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么小刚从家随时出发去学校，他遇到两次红灯的概率是
第10题图
A. B. C. D.
10．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，
若OA = 2，∠AOC = 45°，则B点的坐标是
A.（2 +，）B.（2﹣，）
C.（﹣2 +，）D.（﹣2﹣，）
11．已知反比例函数图象上三个点的坐标分别是A（﹣2，）、B（﹣1，）、C（2，），能正确反映、、的大小关系的是
A. B. C. D.
12．若，，则代数式（x﹣1）（y + 1）的值等于

第14题图
A. B. C. D.2
第13题图

13．如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为
A. B. C. D.
14．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是
A.6π B.5π C.4π D.3π
第Ⅱ卷（非选择题 共78分）
15．2010年5月1日世界博览会在我国上海举行，世博会开园一周以来，入园人数累计约为1050000人，该数字用科学记数法表示为 人．
16．方程的解是 ．
17．如图，∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB ．
第18题图

第17题图

18．正方形ABCD边长为a，点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 ．
19．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a + 2b，2b + c，2c + 3d，4d．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 ．
三、开动脑筋，你一定能做对！（本大题共3小题，共20分）
20．（本小题满分6分）先化简，再求值：，其中a = 2．
21．（本小题满分7分）为了解某学校学生的个性特长发展情况，在全校范围内随机抽查了部分学生参加音乐、体育、美术、书法等活动项目（每人只限一项）的情况．并将所得数据进行了统计．结果如图1所示．
（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生；
（2）求出扇形统计图（图2）中参加“音乐活动”项目所对扇形的圆心角的度数；
（3）若该校有2400名学生，请估计该校参加“美术活动项目的人数．
音乐 体育 美术 书法 其他 项目
人数
图1
体
育
音
乐
美术
书法
其他
图2
第21题图

22．（本小题满分7分）为落实素质教育要求，促进学生全面发展，我市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元
（1）求该学校为新增电脑投资的年平均增长率；
（2）从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资多少万元？
四、认真思考，你一定能成功！（本大题共2小题，共19分）
第23题图
23．（本小题满分9分）如图，AB是半圆的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD
（1）判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
（2）如果∠BDE = 60°，PD =，求PA的长．
24．（本小题满分10分）某中学九年级甲、乙
两班商定举行一次远足活动，A、B两地相距10千米，
甲班从A地出发匀速步行到B地，乙班从B地出发
匀速步行到A地．两班同时出发，相向而行．设步行时间为x小时，
甲、乙两班离A地的距离分别为y1、y2千米，y1、y2与x的函数关系图象如图所示．根据图象解答下列问题：
（1）直接写出，y1、y2与x的函数关系式；
（2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A地多少千米？
O 2 2.5 x /小时
y1
y2
10
y /千米
第24题图
（3）甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时？
五、相信自己，加油啊！（本大题共2小题，共24分）
25．（本小题满分11分）
如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC固定不变，继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置（当垂线段AD、BE在直线MN的异侧）．试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．
图1
图2
图3
第25题图

26．（本小题满分13分）
如图：二次函数y=﹣x2 + ax + b的图象与x轴交于A（-，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．
A
C
B
第26题图

2010年临沂市初中学生学业考试数学试题参考答案
一、选择题：
1. B, 2. A, 3. C, 4. B, 5. D, 6. C, 7. A, 8. D, 9. B, 10. D, 11. C, 12. B, 13. D, 14. A,
二、填空题：
15. 1.05´106； 16. x=2； 17. ÐD=ÐC或ÐE=ÐB或= (本小题答案不唯一，填出一个即得满分) 18. a2； 19. 6，4，1，7；
三、开动脑筋，你一定能做对！
20. [解] (-1)¸=(-)¸=¸
= -´= -(或)；当a=2时，原式= -= -1。
21. [解] (1) 48；
(2) 由条形图可求出参加“音乐活动”项目的人数所占抽查总人数的百分比为´100%
=25%，所以参加“音乐活动”项目所对扇形的圆心角的角度为360°´25%=90°；
(3) 2400´=300(人)。
答：该校参加“美术活动”项目的人数约为300人。
22. [解] (1) 设该学校为新增电脑投资的年平均增长率为x，根据题意，得一元二次方程
11(1+x)2=18.59，解这个方程，得x1=0.3，x2= -2.3(不合题意，舍去)；
答：该学校为新增电脑投资的年平均增长率为30%。
(2) 11+11´(1+0.3)+18.59=43.89(万元)；
答：从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资43.89万元。
四、认真思考，你一定能成功！
1
A
B
O
D
P
E
2
23. [解] (1) PD是⊙O的切线，连接OD，∵OB=OD，∴Ð2=ÐPBD，
又∵ÐPDA=ÐPBD，∴ÐPDA=Ð2，又∵AB是半圆的直
径，∴ÐADB=90°，即Ð1+Ð2=90°，∴Ð1+ÐPDA=90°，
即OD^PD，∴PD是⊙O的切线。
(2) 方法一：
∵ÐBDE=60°，ÐODE=90°，ÐADB=90°，∴Ð2=30°，Ð1=60°。∵OD=OA，
∴△AOD是等边三角形。∴ÐPOD=60°。∴ÐP=ÐPDA=30°，∴PA=AD=AO=OD，
在Rt△PDO中，设OD=x，∴x2+()2=(2x)2，∴x1=1，x2= -1 (不合题意，舍去)，
∴PA=1。
方法二：
∵OD^PE，AD^BD，ÐBDE=60°，∴Ð2=ÐPBD=ÐPDA=30°，∴ÐOAD=60°，
∴ÐP=30°，∴PA=AD=OD，在Rt△PDO中，ÐP=30°，PD=，∴tanÐP=，
∴OD=PD‧tanÐP=‧tan30°=´=1，∴PA=1。
24. [解] (1) y1=4x (0£x£2.5)， y2= -5x+10 (0£x£2)；
(2) 根据题意可知：两班相遇时，甲、乙离A地的距离相等，即y2=y1，
由此得一元一次方程 -5x+10=4x，解这个方程，得x=(小时)，当x=时，
y2= -5´+10=(千米)。
答：甲、乙两班相遇时的时间为小时，相遇时乙班离A地千米。
(3) 根据题意，得y2-y1=4，即-5x+10-4x=4，解这个方程，得x=(小时)。
答：甲，乙两班首次相距4千米时所用时间是小时。
五、相信自己，加油呀！
25. [解] (1) △ABC为等腰直角三角形。
如图1，在矩形ABED中，∵点C是边DE的中点，
且AB=2AD，∴AD=DC=CE=EB，ÐD=ÐE=90°，
∴Rt△ADC@Rt△BEC。∴AC=BC，Ð1=Ð2=45°，
∴ÐACB=90°，∴△ABC为等腰直角三角形。
(2) DE=AD+BE；
如图2，在Rt△ADC和Rt△CEB中，∵Ð1+ÐCAD=90°，Ð1+Ð2=90°，
∴ÐCAD=Ð2。又∵AC=CB，ÐADC=ÐCEB=90°，∴Rt△ADC@Rt△CEB。
∴DC=BE，CE=AD，∴DC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE。
(3) DE=BE-AD。
如图3，Rt△ADC和Rt△CEB中，∵Ð1+ÐCAD=90°，Ð1+Ð2=90°，
∴ÐCAD=Ð2，又∵ÐADC=ÐCEB=90°，AC=CB，
∴Rt△ADC@Rt△CEB，∴DC=BE，CE=AD，∴DC-CE=BE-AD，
1
A
B
C
D
E
图1
2
M
N
A
B
C
D
E
图2
1
2
A
B
C
D
E
M
N
图3
1
2
即DE=BE-AD。

26. [解] (1) 根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解这个
方程，得a=，b=1，∴该拋物线的解析式为y= -x2+x+1，当 x=0时，y=1，
∴点C的坐标为(0，1)。∴在△AOC中，AC===。
在△BOC中，BC===。
AB=OA+OB=+2=，∵AC 2+BC 2=+5==AB 2，∴△ABC是直角三角形。
(2) 点D的坐标为(，1)。
(3) 存在。由(1)知，AC^BC。
y
A
B
C
O
x
P
j 若以BC为底边，则BC//AP，如图1所示，可求得直线
BC的解析式为y= -x+1，直线AP可以看作是由直线
BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -x+b，
把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b= -，
∴直线AP的解析式为y= -x-。∵点P既在拋物线上，又在直线AP上，
y
A
B
C
O
P
x
∴点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=，
x2= -(舍去)。当x=时，y= -，∴点P(，-)。
k 若以AC为底边，则BP//AC，如图2所示。
可求得直线AC的解析式为y=2x+1。
直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，
所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代
入直线BP的解析式，求得b= -4，
∴直线BP的解析式为y=2x-4。∵点P既在拋物线
上，又在直线BP上，∴点P的纵坐标相等，
即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。
当x= -时，y= -9，∴点P的坐标为(-，-9)。
综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9)。