北京市2021年中考数学真题试题(解析版).doc
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2021年北京市中考数学试卷 一、选择题(共16分,每题2分)第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个. 1. 如图是某几何体的展开图,该几何体是( ) A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何体的展开图可直接进行排除选项. 【详解】解:由图形可得该几何体是圆柱; 故选B. 【点睛】本题主要考查几何体的展开图,熟练掌握几何体的展开图是解题的关键. 2. 党的十八大以来,坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.年,中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元,将169200000000用科学记数法表示应为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法可直接进行求解. 【详解】解:由题意得:将169200000000用科学记数法表示应为; 故选C. 【点睛】本题主要考查科学记数法,熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键. 3. 如图,点在直线上,.若,则的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意易得,,进而问题可求解. 【详解】解:∵点在直线上,, ∴,, ∵, ∴, ∴; 故选A. 【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义,熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键. 4. 下列多边形中,内角和最大的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式可直接进行排除选项. 【详解】解:A、是一个三角形,其内角和为180°; B、是一个四边形,其内角和为360°; C、是一个五边形,其内角和为540°; D、是一个六边形,其内角和为720°; ∴内角和最大的是六边形; 故选D. 【点睛】本题主要考查多边形内角和,熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键. 5. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由数轴及题意可得,依此可排除选项. 【详解】解:由数轴及题意可得:, ∴, ∴只有B选项正确, 故选B. 【点睛】本题主要考查实数的运算及数轴,熟练掌握实数的运算及数轴是解题的关键. 6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可画出树状图,然后进行求解概率即可排除选项. 【详解】解:由题意得: ∴一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是; 故选C. 【点睛】本题主要考查概率,熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键. 7. 已知.若为整数且,则值为( ) A. 43 B. 44 C. 45 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可直接进行求解. 【详解】解:∵, ∴, ∴, ∴; 故选B. 【点睛】本题主要考查算术平方根,熟练掌握算术平方根是解题的关键. 8. 如图,用绳子围成周长为的矩形,记矩形的一边长为,它的邻边长为,矩形的面积为.当在一定范围内变化时,和都随的变化而变化,则与与满足的函数关系分别是( ) A. 一次函数关系,二次函数关系 B. 反比例函数关系,二次函数关系 C. 一次函数关系,反比例函数关系 D. 反比例函数关系,一次函数关系 【答案】A 【解析】 【分析】由题意及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式,然后由函数关系式可直接进行排除选项. 【详解】解:由题意得: ,整理得:, , ∴y与x成一次函数的关系,S与x成二次函数的关系; 故选A. 【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用,熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的关键. 二、填空题(共16分,每题2分) 9. 若在实数范围内有意义,则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解. 【详解】解:由题意得: , 解得:; 故答案为. 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件,熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键. 10. 分解因式:______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解. 【详解】解:; 故答案为. 【点睛】本题主要考查因式分解,熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 11. 方程的解为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解. 【详解】解: , ∴, 经检验:是原方程解. 故答案为:x=3. 【点睛】本题主要考查分式方程的解法,熟练掌握分式方程的解法是解题的关键. 12. 在平面直角坐标系中,若反比例函数的图象经过点和点,则的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得,然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题. 【详解】解:把点代入反比例函数得:, ∴,解得:, 故答案为-2. 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质,熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键. 13. 如图,是的切线,是切点.若,则______________. 【答案】130° 【解析】 【分析】由题意易得,然后根据四边形内角和可求解. 【详解】解:∵是的切线, ∴, ∴由四边形内角和可得:, ∵, ∴; 故答案为130°. 【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和,熟练掌握切线的性质是解题的关键. 14. 如图,在矩形中,点分别在上,.只需添加一个条件即可证明四边形是菱形,这个条件可以是______________(写出一个即可). 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】由题意易得四边形是平行四边形,然后根据菱形的判定定理可进行求解. 【详解】解:∵四边形是矩形, ∴, ∵, ∴四边形是平行四边形, 若要添加一个条件使其为菱形,则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF,理由:一组邻边相等的平行四边形是菱形; 故答案为(答案不唯一). 【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定,熟练掌握菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键. 15. 有甲、乙两组数据,如表所示: 甲 11 12 13 14 15 乙 12 12 13 14 14 甲、乙两组数据的方差分别为,则______________(填“>”,“<”或“=”). 【答案】> 【解析】 【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数,然后再利用方差公式进行求解比较即可. 【详解】解:由题意得: ,, ∴, , ∴, ∴; 故答案为>. 【点睛】本题主要考查平均数及方差,熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键. 16. 某企业有两条加工相同原材料的生产线.在一天内,生产线共加工吨原材料,加工时间为小时;在一天内,生产线共加工吨原材料,加工时间为小时.第一天,该企业将5吨原材料分配到两条生产线,两条生产线都在一天内完成了加工,且加工时间相同,则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________.第二天开工前,该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后,又给生产线分配了吨原材料,给生产线分配了吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料,且加工时间相同,则的值为______________. 【答案】 ①. 2∶3 ②. 【解析】 【分析】设分配到生产线的吨数为x吨,则分配到B生产线的吨数为(5-x)吨,依题意可得,然后求解即可,由题意可得第二天开工时,由上一问可得方程为,进而求解即可得出答案. 【详解】解:设分配到生产线吨数为x吨,则分配到B生产线的吨数为(5-x)吨,依题意可得: ,解得:, ∴分配到B生产线的吨数为5-2=3(吨), ∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3; ∴第二天开工时,给生产线分配了吨原材料,给生产线分配了吨原材料, ∵加工时间相同, ∴, 解得:, ∴; 故答案为,. 【点睛】本题主要考查一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质,熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键. 三、解答题(共68分,第17-20题,每题5分,第21-22题,每题6分,第23题5分,第24题6分,第25题5分,第26题6分,第27-28题,每题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 计算:. 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解. 【详解】解:原式=. 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算,熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键. 18. 解不等式组: 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解. 【详解】解: 由①可得:, 由②可得:, ∴原不等式组的解集为. 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法,熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键. 19. 已知,求代数式的值. 【答案】1 【解析】 【分析】先对代数式进行化简,然后再利用整体思想进行求解即可. 【详解】解: = =, ∵, ∴, 代入原式得:原式=. 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算及完全平方公式,熟练掌握利用整体思想进行整式的化简求值是解题的关键. 20. 《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法,大意是:日出时,在地面上点处立一根杆,在地面上沿着杆的影子的方向取一点,使两点间的距离为10步(步是古代的一种长度单位),在点处立一根杆;日落时,在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点,使两点间的距离为10步,在点处立一根杆.取的中点,那么直线表示的方向为东西方向. (1)上述方法中,杆在地面上的影子所在直线及点的位置如图所示.使用直尺和圆规,在图中作的中点(保留作图痕迹); (2)在如图中,确定了直线表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直,可以判断直线表示的方向为南北方向,完成如下证明. 证明:在中,______________,是的中点, (______________)(填推理的依据). ∵直线表示的方向为东西方向, ∴直线表示的方向为南北方向. 【答案】(1)图见详解;(2),等腰三角形的三线合一 【解析】 【分析】(1)分别以点A、C为圆心,大于AC长的一半为半径画弧,交于两点,然后连接这两点,与AC的交点即为所求点D; (2)由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答. 【详解】解:(1)如图所示: (2)证明:在中,,是的中点, (等腰三角形的三线合一)(填推理的依据). ∵直线表示的方向为东西方向, ∴直线表示的方向为南北方向; 故答案为,等腰三角形的三线合一. 【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质,熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键. 21. 已知关于的一元二次方程. (1)求证:该方程总有两个实数根; (2)若,且该方程的两个实数根的差为2,求的值. 【答案】(1)见详解;(2) 【解析】 【分析】(1)由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证; (2)设关于的一元二次方程的两实数根为,然后根据一元二次方程根与系数的关系可得,进而可得,最后利用完全平方公式代入求解即可. 【详解】(1)证明:由题意得:, ∴, ∵, ∴, ∴该方程总有两个实数根; (2)解:设关于的一元二次方程的两实数根为,则有:, ∵, ∴, 解得:, ∵, ∴. 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键. 22. 如图,在四边形中,,点在上,,垂足为. (1)求证:四边形是平行四边形; (2)若平分,求和的长. 【答案】(1)见详解;(2), 【解析】 【分析】(1)由题意易得AD∥CE,然后问题可求证; (2)由(1)及题意易得EF=CE=AD,然后由可进行求解问题. 【详解】(1)证明:∵, ∴AD∥CE, ∵, ∴四边形是平行四边形; (2)解:由(1)可得四边形是平行四边形, ∴, ∵,平分,, ∴, ∴EF=CE=AD, ∵, ∴, ∴, ∴. 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数,熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键. 23. 在平面直角坐标系中,一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到. (1)求这个一次函数的解析式; (2)当时,对于的每一个值,函数的值大于一次函数的值,直接写出的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】(1)由图象的平移及题意可直接求得一次函数的解析式; (2)由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为,则由(1)可得:,然后结合函数图象可进行求解. 【详解】解:(1)由一次函数图象由函数的图象向下平移1个单位长度得到可得:一次函数的解析式为; (2)由题意可先假设函数与一次函数的交点横坐标为,则由(1)可得: ,解得:, 函数图象如图所示: ∴当时,对于的每一个值,函数的值大于一次函数的值时,根据一次函数的k表示直线的倾斜程度可得当时,符合题意,当时,则函数与一次函数的交点在第一象限,此时就不符合题意, 综上所述:. 【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质,熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键. 24. 如图,是的外接圆,是的直径,于点. (1)求证:; (2)连接并延长,交于点,交于点,连接.若的半径为5,,求和的长. 【答案】(1)见详解;(2), 【解析】 【分析】(1)由题意易得,然后问题可求证; (2)由题意可先作图,由(1)可得点E为BC的中点,则有,进而可得,然后根据相似三角形的性质可进行求解. 【详解】(1)证明:∵是的直径,, ∴, ∴; (2)解:由题意可得如图所示: 由(1)可得点E为BC的中点, ∵点O是BG的中点, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵的半径为5, ∴, ∴, ∴. 【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定,熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键. 25. 为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况,从这两座城市的邮政企业中,各随机抽取了25家邮政企业,获得了它们4月份收入(单位:百万元)的数据,并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组:): .甲城市邮政企业4月份收入的数据在这一组的是:10.0,10.0,10.1,10.9,11.4,11.5,11.6,11.8 .甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下: 平均数 中位数 甲城市 10.8 乙城市 11.0 11.5 根据以上信息,回答下列问题: (1)写出表中的值; (2)在甲城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为.在乙城市抽取的邮政企业中,记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为.比较的大小,并说明理由; (3)若乙城市共有200家邮政企业,估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果). 【答案】(1);(2),理由见详解;(3)乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元. 【解析】 【分析】(1)由题中所给数据可得甲城市的中位数为第13个数据,然后问题可求解; (2)由甲、乙两城市的中位数可直接进行求解; (3)根据乙城市的平均数可直接进行求解. 【详解】解:(1)由题意可得m为甲城市的中位数,由于总共有25家邮政企业,所以第13家邮政企业的收入作为该数据的中位数, ∵有3家,有7家,有8家, ∴中位数落在上, ∴; (2)由(1)可得:甲城市中位数低于平均数,则最大12个;乙城市中位数高于平均数,则至少为13个, ∴; (3)由题意得: (百万元); 答:乙城市的邮政企业4月份的总收入为2200百万元. 【点睛】本题主要考查中位数、平均数及统计与调查,熟练掌握中位数、平均数及统计与调查是解题的关键. 26. 在平面直角坐标系中,点和点在抛物线上. (1)若,求该抛物线的对称轴; (2)已知点在该抛物线上.若,比较的大小,并说明理由. 【答案】(1);(2),理由见解析 【解析】 【分析】(1)由题意易得点和点,然后代入抛物线解析式进行求解,最后根据对称轴公式进行求解即可; (2)由题意可分当时和当时,然后根据二次函数的性质进行分类求解即可. 【详解】解:(1)当时,则有点和点,代入二次函数得: ,解得:, ∴抛物线解析式为, ∴抛物线的对称轴为; (2)由题意得:抛物线始终过定点,则由可得: ①当时,由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下,即,与矛盾; ②当时, ∵抛物线始终过定点, ∴此时抛物线的对称轴的范围为, ∵点在该抛物线上, ∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为, ∵,开口向上, ∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小, ∴. 【点睛】本题主要考查二次函数的综合,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键. 27. 如图,在中,为的中点,点在上,以点为中心,将线段顺时针旋转得到线段,连接. (1)比较与的大小;用等式表示线段之间的数量关系,并证明; (2)过点作的垂线,交于点,用等式表示线段与的数量关系,并证明. 【答案】(1),,理由见详解;(2),理由见详解. 【解析】 【分析】(1)由题意及旋转的性质易得,,然后可证,进而问题可求解; (2)过点E作EH⊥AB,垂足为点Q,交AB于点H,由(1)可得,,易证,进而可得,然后可得,最后根据相似三角形的性质可求证. 【详解】(1)证明:∵, ∴, ∴, 由旋转的性质可得, ∵, ∴, ∴, ∵点M为BC的中点, ∴, ∵, ∴; (2)证明:,理由如下: 过点E作EH⊥AB,垂足为点Q,交AB于点H,如图所示: ∴, 由(1)可得, ∴,, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴. 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质,熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键. 28. 在平面直角坐标系中,的半径为1,对于点和线段,给出如下定义:若将线段绕点旋转可以得到的弦(分别是的对应点),则称线段是的以点为中心的“关联线段”. (1)如图,点的横、纵坐标都是整数.在线段中,的以点为中心的“关联线段”是______________; (2)是边长为1的等边三角形,点,其中.若是的以点为中心的“关联线段”,求的值; (3)在中,.若是的以点为中心的“关联线段”,直接写出的最小值和最大值,以及相应的长. 【答案】(1);(2);(3)当时,此时;当时,此时. 【解析】 【分析】(1)以点A为圆心,分别以为半径画圆,进而观察是否与有交点即可; (2)由旋转的性质可得是等边三角形,且是的弦,进而画出图象,则根据等边三角形的性质可进行求解; (3)由是的以点为中心的“关联线段”,则可知都在上,且,然后由题意可根据图象来进行求解即可. 【详解】解:(1)由题意得: 通过观察图象可得:线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”,都不能绕点A进行旋转得到; 故答案为; (2)由题意可得:当是的以点为中心的“关联线段”时,则有是等边三角形,且边长也为1,当点A在y轴的正半轴上时,如图所示: 设与y轴的交点为D,连接,易得轴, ∴, ∴,, ∴, ∴; 当点A在y轴的正半轴上时,如图所示: 同理可得此时的, ∴; (3)由是的以点为中心的“关联线段”,则可知都在上,且,则有当以为圆心,1为半径作圆,然后以点A为圆心,2为半径作圆,即可得到点A的运动轨迹,如图所示: 由运动轨迹可得当点A也在上时为最小,最小值为1,此时为的直径, ∴, ∴, ∴; 由以上情况可知当点三点共线时,OA的值为最大,最大值为2,如图所示: 连接,过点作于点P, ∴, 设,则有, ∴由勾股定理可得:,即, 解得:, ∴, ∴, 在中,, ∴; 综上所述:当时,此时;当时,此时. 【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质,熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质是解题的关键.- 配套讲稿:
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