浙江省金华、丽水市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

2019年浙江省金华、丽水市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）.
1．（3分）实数4的相反数是（　　）
A．﹣ B．﹣4 C． D．4
2．（3分）计算a6÷a3，正确的结果是（　　）
A．2 B．3a C．a2 D．a3
3．（3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
4．（3分）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是（　　）
星期
一
二
三
四
最高气温
10°C
12°C
11°C
9°C
最低气温
3°C
0°C
﹣2°C
﹣3°C
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
5．（3分）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（　　）

A．在南偏东75°方向处 B．在5km处
C．在南偏东15°方向5km处 D．在南偏东75°方向5km处
7．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
8．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（　　）

A．∠BDC＝∠α B．BC＝m•tanα C．AO＝ D．BD＝
9．（3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（　　）

A．2 B． C． D．
10．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（　　）

A． B．﹣1 C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式3x﹣6≤9的解是　 　．
12．（4分）数据3，4，10，7，6的中位数是　 　．
13．（4分）当x＝1，y＝﹣时，代数式x2+2xy+y2的值是　 　．
14．（4分）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是　 　．

15．（4分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是　 　．

16．（4分）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．
（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝　 　cm．
（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为　 　cm2．

三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程。）
17．（6分）计算：|﹣3|﹣2tan60°++（）﹣1．
18．（6分）解方程组
19．（6分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：

（1）求m，n的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
20．（8分）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．

21．（8分）如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．
（1）求的度数．
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．

24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．
（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：BD＝2DO．
（2）已知点G为AF的中点．
①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．
②若AD＝6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．

2019年浙江省金华、丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）.
1．（3分）实数4的相反数是（　　）
A．﹣ B．﹣4 C． D．4
【分析】根据互为相反数的定义即可判定选择项．
【解答】解：∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，∴4的相反数是﹣4；
故选：B．
【点评】此题主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．
2．（3分）计算a6÷a3，正确的结果是（　　）
A．2 B．3a C．a2 D．a3
【分析】根据同底数幂除法法则可解．
【解答】解：由同底数幂除法法则：底数不变，指数相减知，a6÷a3＝a6﹣3＝a3．
故选：D．
【点评】本题是整式除法的基本运算，必须熟练掌握运算法则．本题属于简单题．
3．（3分）若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有3，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
4．（3分）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如表，则这四天中温差最大的是（　　）
星期
一
二
三
四
最高气温
10°C
12°C
11°C
9°C
最低气温
3°C
0°C
﹣2°C
﹣3°C
A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
【分析】用最高温度减去最低温度，结果最大的即为所求；
【解答】解：星期一温差10﹣3＝7℃；
星期二温差12﹣0＝12℃；
星期三温差11﹣（﹣2）＝13℃；
星期四温差9﹣（﹣3）＝12℃；
故选：C．
【点评】本题考查有理数的减法；能够理解题意，准确计算有理数减法是解题的关键．
5．（3分）一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．
【解答】解：袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率是．
故选：A．
【点评】本题考查的是随机事件概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
6．（3分）如图是雷达屏幕在一次探测中发现的多个目标，其中对目标A的位置表述正确的是（　　）

A．在南偏东75°方向处 B．在5km处
C．在南偏东15°方向5km处 D．在南偏东75°方向5km处
【分析】根据方向角的定义即可得到结论．
【解答】解：由图可得，目标A在南偏东75°方向5km处，
故选：D．
【点评】此题主要考查了方向角，正确理解方向角的意义是解题关键．
7．（3分）用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝17 B．（x﹣3）2＝14 C．（x﹣6）2＝44 D．（x﹣3）2＝1
【分析】方程利用完全平方公式变形即可得到结果．
【解答】解：用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．（3分）如图，矩形ABCD的对角线交于点O．已知AB＝m，∠BAC＝∠α，则下列结论错误的是（　　）

A．∠BDC＝∠α B．BC＝m•tanα C．AO＝ D．BD＝
【分析】根据矩形的性质得出∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝DC，再解直角三角形求出即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°，AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴AO＝OB＝CO＝DO，
∴∠DBC＝∠ACB，
∴由三角形内角和定理得：∠BAC＝∠BDC＝∠α，故本选项不符合题意；
B、在Rt△ABC中，tanα＝，
即BBC＝m•tanα，故本选项不符合题意；
C、在Rt△ABC中，AC＝，即AO＝，故本选项符合题意；
D、∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝m，
∵∠BAC＝∠BDC＝α，
∴在Rt△DCB中，BD＝，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质和解直角三角形，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
9．（3分）如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（　　）

A．2 B． C． D．
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．
故选：D．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
10．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（　　）

A． B．﹣1 C． D．
【分析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得PH＝MF且正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积，从而用a分别表示出线段GF和线段MF的长即可求解．
【解答】解：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：

由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF，
设正方形ABCD的边长为2a，
则正方形ABCD的面积为4a2，
∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等
∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝，
∴正方形EFGH的边长GF＝＝
∴HF＝GF＝
∴MF＝PH＝＝a
∴＝a÷＝
故选：A．
【点评】本题主要考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，由剪纸的过程得到图形中边的关系是解题关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）不等式3x﹣6≤9的解是　x≤5　．
【分析】根据移项、合并同类项、化系数为1解答即可．
【解答】解：3x﹣6≤9，
3x≤9+6
3x≤15
x≤5，
故答案为：x≤5
【点评】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
12．（4分）数据3，4，10，7，6的中位数是　6　．
【分析】将数据重新排列，再根据中位数的概念求解可得．
【解答】解：将数据重新排列为3、4、6、7、10，
∴这组数据的中位数为6，
故答案为：6．
【点评】考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
13．（4分）当x＝1，y＝﹣时，代数式x2+2xy+y2的值是　　．
【分析】首先把x2+2xy+y2化为（x+y）2，然后把x＝1，y＝﹣代入，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：当x＝1，y＝﹣时，
x2+2xy+y2
＝（x+y）2
＝（1﹣）2
＝
＝
故答案为：．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
14．（4分）如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪．量角器的0刻度线AB对准楼顶时，铅垂线对应的读数是50°，则此时观察楼顶的仰角度数是　40°　．

【分析】过A点作AC⊥OC于C，根据直角三角形的性质可求∠OAC，再根据仰角的定义即可求解．
【解答】解：过A点作AC⊥OC于C，
∵∠AOC＝50°，
∴∠OAC＝40°．
故此时观察楼顶的仰角度数是40°．
故答案为：40°．

【点评】考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，仰角是向上看的视线与水平线的夹角，关键是作出辅助线构造直角三角形求出∠OAC的度数．
15．（4分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”如图是两匹马行走路程s关于行走时间t的函数图象，则两图象交点P的坐标是　（32，4800）　．

【分析】根据题意可以得到关于t的方程，从而可以求得点P的坐标，本题得以解决．
【解答】解：令150t＝240（t﹣12），
解得，t＝32，
则150t＝150×32＝4800，
∴点P的坐标为（32，4800），
故答案为：（32，4800）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．（4分）图2，图3是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB、CD的门轴A、B、C、D都在滑动轨道上，两门关闭时（图2），A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）；两门同时开启，A、D分别沿E→M，F→N的方向匀速滑动，带动B、C滑动：B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，已知AB＝50cm，CD＝40cm．
（1）如图3，当∠ABE＝30°时，BC＝　90﹣45　cm．
（2）在（1）的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为　2256　cm2．

【分析】（1）先由已知可得B、C两点的路程之比为5：4，再结合B运动的路程即可求出C运动的路程，相加即可求出BC的长；
（2）当A向M方向继续滑动15cm时，AA'＝15cm，由勾股定理和题目条件得出△A'EB'、△D'FC'和梯形A'EFD'边长，即可利用割补法求出四边形四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵A、D分别在E、F处，门缝忽略不计（即B、C重合）且AB＝50cm，CD＝40cm．
∴EF＝50+40＝90cm
∵B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，
∴B、C两点的路程之比为5：4
（1）当∠ABE＝30°时，在Rt△ABE中，BE＝AB＝25cm，
∴B运动的路程为（50﹣25）cm
∵B、C两点的路程之比为5：4
∴此时点C运动的路程为（50﹣25）×＝（40﹣20）cm
∴BC＝（50﹣25）+（40﹣20）＝（90﹣45）cm
故答案为：90﹣45；
（2）当A向M方向继续滑动15cm时，设此时点A运动到了点A'处，点B、C、D分别运动到了点B'、C'、D'处，连接A'D'，如图：

则此时AA'＝15cm
∴A'E＝15+25＝40cm
由勾股定理得：EB'＝30cm，
∴B运动的路程为50﹣30＝20cm
∴C运动的路程为16cm
∴C'F＝40﹣16＝24cm
由勾股定理得：D'F＝32cm，
∴四边形A'B'C'D'的面积＝梯形A'EFD'的面积﹣△A'EB'的面积﹣△D'FC'的面积＝﹣30×40﹣24×32＝2256cm2．
∴四边形ABCD的面积为2256cm2．
故答案为：2256．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程。）
17．（6分）计算：|﹣3|﹣2tan60°++（）﹣1．
【分析】按顺序依次计算，先把绝对值化简，再算出2tan60°＝，然后根据二次根式的性质以及负指数幂化简即可求解．
【解答】解：原式＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和分式的加减法，设计到的知识点有零指数幂、特殊角的三角函数值，一定要牢记．
18．（6分）解方程组
【分析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；
【解答】解：，
将①化简得：﹣x+8y＝5 ③，
②+③，得y＝1，
将y＝1代入②，得x＝3，
∴；
【点评】本题考查二元一次方程组的解法；熟练掌握加减消元法或代入消元法解方程组是解题的关键．
19．（6分）某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每人必须且只选其中一项），并将统计结果绘制成如下统计图（不完整）．请根据图中信息回答问题：

（1）求m，n的值．
（2）补全条形统计图．
（3）该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
【分析】（1）先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比＝其所对应的人数÷总人数分别求出m、n的值；
（2）用总数减去其他各小组的人数即可求得选D的人数，从而补全条形统计图；
（3）用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数．
【解答】解：（1）观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%，
故总人数有12÷20%＝60人，
∴m＝15÷60×100%＝25%
n＝9÷60×100%＝15%；
（2）选D的有60﹣12﹣15﹣9﹣6＝18人，
故条形统计图补充为：

（3）全校最喜欢“数学史话”的学生人数为：1200×25%＝300人．
【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．
20．（8分）如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上．试按要求画出线段EF（E，F均为格点），各画出一条即可．

【分析】从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F；EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点；
【解答】解：如图：
从图中可得到AC边的中点在格点上设为E，过E作AB的平行线即可在格点上找到F，则EG平分BC；
EC＝，EF＝，FC＝，借助勾股定理确定F点，则EF⊥AC；
借助圆规作AB的垂直平分线即可；

【点评】本题考查三角形作图；在格点中利用勾股定理，三角形的性质作平行、垂直、中点是解题的关键．
21．（8分）如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．
（1）求的度数．
（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF＝AB，求∠OCE的度数．

【分析】（1）连接OB，证明△AOB是等腰直角三角形，即可求解；
（2）△AOB是等腰直角三角形，则OA＝t，HO＝＝＝t，即可求解．
【解答】解：（1）连接OB，

∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA∥BC，∴OB⊥OA，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°，
∴的度数为45°；
（2）连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH＝t，

∵OH⊥EC，
∴EF＝2HE＝2t，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝CO＝EF＝2t，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴OA＝t，
则HO＝＝＝t，
∵OC＝2OH，
∴∠OCE＝30°．
【点评】本题主要利用了切线和平行四边形的性质，其中（2），要利用（1）中△AOB是等腰直角三角形结论．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．
（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．

【分析】（1过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P（2，）；
（2）易求D（3，0），E（4，），待定系数法求出DE的解析式为x﹣3，联立反比例函数与一次函数即可求点Q；
（3）E（4，），F（3，2），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），则点E与F都在反比例函数图象上；
【解答】解：（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，
∴BP＝2，G是CD的中点，
∴PG＝，
∴P（2，），
∵P在反比例函数y＝上，
∴k＝2，
∴y＝，
由正六边形的性质，A（1，2），
∴点A在反比例函数图象上；
（2）D（3，0），E（4，），
设DE的解析式为y＝mx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣3，
联立方程解得x＝，
∴Q点横坐标为；
（3）E（4，），F（3，2），
将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），
则点E与F都在反比例函数图象上；

【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，正六边形的性质；将正六边形的边角关系与反比例函数上点的坐标将结合是解题的关系．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．

【分析】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．
（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题．
（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时Dm的值，即可判断．
【解答】解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．
∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．

（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．

∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，
∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），
共线图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．

（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），
∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，
∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，

如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，
解得m＝或（舍弃），
当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，
解得m＝1或4（舍弃），
∴当≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．
24．（12分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝14，点D，E分别在边AB，BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90°得到EF．
（1）如图1，若AD＝BD，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：BD＝2DO．
（2）已知点G为AF的中点．
①如图2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的长．
②若AD＝6BD，是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．

【分析】（1）如图1中，首先证明CD＝BD＝AD，再证明四边形ADFC是平行四边形即可解决问题．
（2）①作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．证明DG是△ABF的中位线，想办法求出BF即可解决问题．
②分三种情形情形：如图3﹣1中，当∠DEG＝90°时，F，E，G，A共线，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．设EC＝x．构建方程解决问题即可．如图3﹣2中，当∠EDG＝90°时，取AB的中点O，连接OG．作EH⊥AB于H．构建方程解决问题即可．如图3﹣3中，当∠DGE＝90°时，构造相似三角形，利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，BD＝AD，
∴CD⊥AB，CD＝AD＝BD，
∵CD＝CF，
∴AD＝CF，
∵∠ADC＝∠DCF＝90°，
∴AD∥CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴OD＝OC，
∵BD＝2OD．

（2）①解：如图2中，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．

由题意：BD＝AD＝CD＝7，BC＝BD＝14，
∵DT⊥BC，
∴BT＝TC＝7，
∵EC＝2，
∴TE＝5，
∵∠DTE＝∠EHF＝∠DEF＝90°，
∴∠DET+∠TDE＝90°，∠DET+∠FEH＝90°，
∴∠TDE＝∠FEH，
∵ED＝EF，
∴△DTE≌△EHF（AAS），
∴FH＝ET＝5，
∵∠DDBE＝∠DFE＝45°，
∴B，D，E，F四点共圆，
∴∠DBF+∠DEF＝90°，
∴∠DBF＝90°，
∵∠DBE＝45°，
∴∠FBH＝45°，
∵∠BHF＝90°，
∴∠HBF＝∠HFB＝45°，
∴BH＝FH＝5，
∴BF＝5，
∵∠ADC＝∠ABF＝90°，
∴DG∥BF，
∵AD＝DB，
∴AG＝GF，
∴DG＝BF＝．

②解：如图3﹣1中，当∠DEG＝90°时，F，E，G，A共线，作DT⊥BC于点T，FH⊥BC于H．设EC＝x．

∵AD＝6BD，
∴BD＝AB＝2，
∵DT⊥BC，∠DBT＝45°，
∴DT＝BT＝2，
∵△DTE≌△EHF，
∴EH＝DT＝2，
∴BH＝FH＝12﹣x，
∵FH∥AC，
∴＝，
∴＝，
整理得：x2﹣12x+28＝0，
解得x＝6±2．

如图3﹣2中，当∠EDG＝90°时，取AB的中点O，连接OG．作EH⊥AB于H．

设EC＝x，由2①可知BF＝（12﹣x），OG＝BF＝（12﹣x），
∵∠EHD＝∠EDG＝∠DOG＝90°，
∴∠ODG+∠OGD＝90°，∠ODG+∠EDH＝90°，
∴∠DGO＝∠HDE，
∴△EHD∽△DOG，
∴＝，
∴＝，
整理得：x2﹣36x+268＝0，
解得x＝18﹣2或18+2（舍弃），

如图3﹣3中，当∠DGE＝90°时，取AB的中点O，连接OG，CG，作DT⊥BC于T，FH⊥BC于H，EK⊥CG于K．设EC＝x．

∵∠DBE＝∠DFE＝45°，
∴D，B，F，E四点共圆，
∴∠DBF+∠DEF＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DBF＝90°，
∵AO＝OB，AG＝GF，
∴OG∥BF，
∴∠AOG＝∠ABF＝90°，
∴OG⊥AB，
∵OG垂直平分线段AB，∵CA＝CB，
∴O，G，C共线，
由△DTE≌△EHF，可得EH＝DT＝BT＝2，ET＝FH＝12﹣x，BF＝（12﹣x），OG＝BF＝（12﹣x），CK＝EK＝x，GK＝7﹣（12﹣x）﹣x，
由△OGD∽△KEG，可得＝，
∴＝，
解得x＝2，
，综上所述，满足条件的EC的值为6±2或18﹣2或2．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

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