2021年山东省淄博市中考数学试卷（解析版）.docx

2021年山东省淄博市中考数学试卷
一、选择题：本大通共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021•淄博）下列几何体中，其俯视图一定是圆的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（5分）（2021•淄博）如图，直线，，则等于　　

A． B． C． D．
3．（5分）（2021•淄博）下表是几种液体在标准大气压下的沸点：
液体名称
液态氧
液态氢
液态氮
液态氦
沸点

则沸点最高的液体是　　
A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦
4．（5分）（2021•淄博）经过4.6亿公里的飞行，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日在火星表面成功着陆，火星上首次留下了中国的印迹．将4.6亿用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
5．（5分）（2021•淄博）小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩（每人投篮10次），并绘制了折线统计图，如图所示．那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是　　

A．6，7 B．7，7 C．5，8 D．7，8
6．（5分）（2021•淄博）设，则　　
A． B． C． D．
7．（5分）（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是　　

A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
8．（5分）（2021•淄博）如图，，相交于点，且，点，，在同一条直线上．已知，，，则，，之间满足的数量关系式是　　

A． B． C． D．
9．（5分）（2021•淄博）甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是　　
A． B．
C． D．
10．（5分）（2021•淄博）已知二次函数的图象交轴于，两点．若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是　　
A．1 B． C．2 D．4
11．（5分）（2021•淄博）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为　　

A． B． C． D．
12．（5分）（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线，交于点．已知，的面积为4．若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为　　

A． B． C． D．12
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．
13．（4分）（2021•淄博）若分式有意义，则的取值范围是　　．
14．（4分）（2021•淄博）分解因式：　　．
15．（4分）（2021•淄博）在直角坐标系中，点关于轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为 　　．
16．（4分）（2021•淄博）对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是 　　．
17．（4分）（2021•淄博）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到，，三点距离之和的最小值是 　　．

三、解答题：本大题共7个小题，共70分．解答要写出必要的文字说明，证明过程放演算步骤．
18．（8分）（2021•淄博）先化简，再求值：，其中，．
19．（8分）（2021•淄博）如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．

20．（10分）（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点．
（1）求，对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．

21．（10分）（2021•淄博）为迎接中国共产党的百年华诞，某中学就有关中国共产党历史的了解程度，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行了测试（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理，绘制了如下不完整的统计图、表．
成绩等级
分数段
频数（人数）
优秀

良好

较好

12
一般

10
较差

3

请根据统计图、表中所提供的信息，解答下列问题：
（1）统计表中的　　，　　；成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是 　　度；
（2）补全上面的成绩条形统计图；
（3）若该校共有学生1600人，估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数．
22．（10分）（2021•淄博）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
解答过程中可直接使用表格中的数据哟！

1.18

1.39

1.64
（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；
（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
23．（12分）（2021•淄博）已知：在正方形的边上任取一点，连接，一条与垂直的直线（垂足为点沿方向，从点开始向下平移，交边于点．

（1）当直线经过正方形的顶点时，如图1所示．求证：；
（2）当直线经过的中点时，与对角线交于点，连接，如图2所示．求的度数；
（3）直线继续向下平移，当点恰好落在对角线上时，交边于点，如图3所示．设，，，求与之间的关系式．
24．（12分）（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）若，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；
（3）设直线与抛物线交于，两点，问是否存在点（在抛物线上），点（在抛物线的对称轴上），使得以，，，为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由．

2021年山东省淄博市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大通共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）（2021•淄博）下列几何体中，其俯视图一定是圆的有　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：其俯视图一定是圆的有：球，圆柱，共2个．
故选：．
2．（5分）（2021•淄博）如图，直线，，则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图：

，，
，
，
．
故选：．
3．（5分）（2021•淄博）下表是几种液体在标准大气压下的沸点：
液体名称
液态氧
液态氢
液态氮
液态氦
沸点

则沸点最高的液体是　　
A．液态氧 B．液态氢 C．液态氮 D．液态氦
【解答】解：因为，
所以沸点最高的液体是液态氧．
故选：．
4．（5分）（2021•淄博）经过4.6亿公里的飞行，我国首次火星探测任务“天问一号”探测器于2021年5月15日在火星表面成功着陆，火星上首次留下了中国的印迹．将4.6亿用科学记数法表示为　　
A． B． C． D．
【解答】解：4.6亿．
故选：．
5．（5分）（2021•淄博）小明收集整理了本校八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩（每人投篮10次），并绘制了折线统计图，如图所示．那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是　　

A．6，7 B．7，7 C．5，8 D．7，8
【解答】解：八年级1班20名同学的定点投篮比赛成绩按照从小到大的顺序排列如下：
3，3，5，5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，
这次比赛成绩的中位数是，众数是7，
故选：．
6．（5分）（2021•淄博）设，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
7．（5分）（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是　　

A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸
【解答】解：连接，
，且寸，
寸，
设圆的半径的长为，则，
，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
，化简得：，
即，
（寸．
答：直径的长为26寸，
故选：．

8．（5分）（2021•淄博）如图，，相交于点，且，点，，在同一条直线上．已知，，，则，，之间满足的数量关系式是　　

A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
，即，
．
故选：．
9．（5分）（2021•淄博）甲、乙两人沿着总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：12分钟，
设乙的速度为，则甲的速度为，
根据题意，得：，
故选：．
10．（5分）（2021•淄博）已知二次函数的图象交轴于，两点．若其图象上有且只有，，三点满足，则的值是　　
A．1 B． C．2 D．4
【解答】解：二次函数的图象上有且只有，，三点满足，
三点中必有一点在二次函数的顶点上，
，
二次函数的图象的顶点坐标为，
令，则，
解得或，
与轴的交点为，，
，
．
故选：．
11．（5分）（2021•淄博）如图，在中，，是斜边上的中线，过点作交于点．若，的面积为5，则的值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，
是斜边上的中线，，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
故选：．

12．（5分）（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边与轴的正半轴重合，，轴，对角线，交于点．已知，的面积为4．若反比例函数的图象恰好经过点，则的值为　　

A． B． C． D．12
【解答】解：过点作于．

，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．
13．（4分）（2021•淄博）若分式有意义，则的取值范围是　　．
【解答】解：，
．
故答案为：．
14．（4分）（2021•淄博）分解因式：　　．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
15．（4分）（2021•淄博）在直角坐标系中，点关于轴的对称点为，将点向左平移3个单位得到点，则的坐标为 　　．
【解答】解：点关于轴的对称点为，
，
将点向左平移3个单位得到点，
的坐标为．
故答案为：．
16．（4分）（2021•淄博）对于任意实数，抛物线与轴都有公共点，则的取值范围是 　　．
【解答】解：对于任意实数，抛物线与轴都有交点，
△，则，
整理得，
，
的最小值为，
，
故答案为．
17．（4分）（2021•淄博）两张宽为的纸条交叉重叠成四边形，如图所示．若，则对角线上的动点到，，三点距离之和的最小值是 　　．

【解答】解：如图，作于，把绕点逆时针旋转得到△，
，，
，
同理：，
由旋转的性质，，，，，，
△是等边三角形，
，
，
根据两点间线段距离最短，可知当时最短，连接，与的交点即为点，即点到，，三点距离之和的最小值是．
，，
，
，
因此点到，，三点距离之和的最小值是，
故答案为．

三、解答题：本大题共7个小题，共70分．解答要写出必要的文字说明，证明过程放演算步骤．
18．（8分）（2021•淄博）先化简，再求值：，其中，．
【解答】解：原式

，
当，时，
原式

．
19．（8分）（2021•淄博）如图，在中，的平分线交于点，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．

【解答】解：（1）证明：在中，的平分线交于点，
，
，
，
，
．
（2），
，
的平分线交于点，
，
由（1）知，
故的度数为．
20．（10分）（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点．
（1）求，对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．

【解答】解：（1）直线与双曲线相交于，两点，
，解得：，
双曲线的表达式为：，
把代入，得：，解得：，
，
把和代入得：，
解得：，
直线的表达式为：；
（2）过点作，交的延长线于点，如图

轴，
轴，轴，
，，
，，
；
（3）的解集，则是双曲线的图象在一次函数的图象的上方对应的的取值，
故其解集为：或．
21．（10分）（2021•淄博）为迎接中国共产党的百年华诞，某中学就有关中国共产党历史的了解程度，采取随机抽样的方式抽取本校部分学生进行了测试（满分100分），并将测试成绩进行了收集整理，绘制了如下不完整的统计图、表．
成绩等级
分数段
频数（人数）
优秀

良好

较好

12
一般

10
较差

3

请根据统计图、表中所提供的信息，解答下列问题：
（1）统计表中的　50　，　　；成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是 　　度；
（2）补全上面的成绩条形统计图；
（3）若该校共有学生1600人，估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数．
【解答】解：（1）抽取的总人数有：（人，
（人，
（人，
成绩扇形统计图中“良好”所在扇形的圆心角是：．
故答案为：50，25，90；

（2）根据（1）补图如下：

（3）（人，
答：估计该校学生对中国共产党历史的了解程度达到良好以上（含良好）的人数有1200人．
22．（10分）（2021•淄博）为更好地发展低碳经济，建设美丽中国．某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而且大幅降低了碳排放量．已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假设公司每个季度产值的平均增长率相同．
科学计算器按键顺序
计算结果（已取近似值）
解答过程中可直接使用表格中的数据哟！

1.18

1.39

1.64
（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；
（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由．
【解答】解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该公司每个季度产值的平均增长率为．
（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：

（万元），
1.6亿元万元，
，
该公司今年总产值能超过1.6亿元．
23．（12分）（2021•淄博）已知：在正方形的边上任取一点，连接，一条与垂直的直线（垂足为点沿方向，从点开始向下平移，交边于点．

（1）当直线经过正方形的顶点时，如图1所示．求证：；
（2）当直线经过的中点时，与对角线交于点，连接，如图2所示．求的度数；
（3）直线继续向下平移，当点恰好落在对角线上时，交边于点，如图3所示．设，，，求与之间的关系式．
【解答】（1）证明：如图1中，

四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
．

（2）解：如图2中，连接，．

四边形是正方形，
，，
，
，
，，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

（3）解：过点作于，则四边形是矩形．

，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
24．（12分）（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）若，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；
（3）设直线与抛物线交于，两点，问是否存在点（在抛物线上），点（在抛物线的对称轴上），使得以，，，为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）的坐标为，
，
，
，
的坐标为，
将点代入抛物线，
得，即，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）如图，过作轴，交于，

由（1）知，抛物线对应的函数表达式为，，
、坐标分别为、，
设直线解析式为，
则，解得，
直线的解析式为，
设点的坐标为，，则，

，
，

，
当时，的面积最大，此时点；
（3）存在，理由如下：
直线与抛物线交于，
直线的解析式为①，
抛物线的表达式为②，
联立①②解得，或，
的坐标为，
抛物线的对称轴为直线，
点的横坐标为，
①若为边，
不妨设在轴上方，如图，过点作轴于，

设的坐标为，
，
，
，
，
解得：或（舍，
的坐标为，
由平移性质，
得：的横坐标向左平移个单位得到的横坐标，
且，
横坐标向左平移个单位，
得：到的横坐标为，
，
解得，
，，
这说明不在轴上方，而在轴下方；
②若为对角线，
设的中点为，
由中点坐标公式得，，
的坐标为，，
矩形对角线、互相平分，
也是的中点，
的横坐标为，
的坐标为，，
，
，
，
整理得：，
变形得：，
换元，令，
得：，
解得：或25，
或25，
，
，
即的坐标为，
的坐标为，
综上，即的坐标为，的坐标为或，．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/9/13 17:14:59；用户：初中数学61；邮箱：ydyd61@；学号：36810736
第29页（共29页）