上海市2021年中考数学真题（解析版）.doc

上海市2021年中考数学试题
一、选择题
1. 下列实数中，有理数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可
【详解】解：
A、∵是无理数，故是无理数
B、∵是无理数，故是无理数
C、有理数
D、∵是无理数，故是无理数
故选：C
【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键
2. 下列单项式中，的同类项是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项
【详解】∵a的指数是3，b的指数是2，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3一致，
∴是的同类项，符合题意；
∵a的指数是2，b的指数是1，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；
∵a的指数是1，b的指数是3，与中a的指数是2，b的指数是3不一致，
∴不是的同类项，不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．
3. 将抛物线向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A. 开口方向不变 B. 对称轴不变 C. y随x的变化情况不变 D. 与y轴的交点不变
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．
【详解】将抛物线向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变
故选D．
【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．
4. 商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）

A. /包 B. /包 C. /包 D. /包
【答案】A
【解析】
【分析】选择人数最多的包装是最合适的．
【详解】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，
∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．
故选：A．

【点睛】本题较简单，从图中找到选择人数最多的包装的范围，再逐项分析即可．
5. 如图，已知平行四边形ABCD中，，E为中点，求（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，E为中点，
∴
故选A．
【点睛】此题主要考查向量的表示，解题的关键是熟知平行四边形的特点及向量的加减法则．
6. 如图，已知长方形中，，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点与圆A的位置关系是（ ）

A. 点C在圆A外，点D在圆A内 B. 点C在圆A外，点D在圆A外
C. 点C在圆A上，点D在圆A内 D. 点C在圆A内，点D在圆A外
【答案】C
【解析】
【分析】根据内切得出圆A的半径，再判断点D、点E到圆心的距离即可
【详解】

∵圆A与圆B内切，，圆B的半径为1
∴圆A的半径为5
∵<5
∴点D在圆A内
在Rt△ABC中，
∴点C在圆A上
故选：C
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键
二、填空题
7. 计算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可
【详解】∵,
故答案为: ．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键．
8. 已知，那么__________．
【答案】．
【解析】
【分析】直接利用已知的公式将x的值代入求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键．
9. 已知，则___________．
【答案】5
【解析】
【分析】方程两边同平方，化为一元一次方程，进而即可求解．
【详解】解：，
两边同平方，得，
解得：x=5，
经检验，x=5是方程的解，
∴x=5，
故答案：5．
【点睛】本题主要考查解根式方程，把根式方程化为整式方程，是解题的关键．
10. 不等式的解集是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】

故答案为：．
【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．
11. 的余角是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据余角的定义即可求解．
【详解】的余角是90°-=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．
12. 若一元二次方程无解，则c的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到＜0，然后求出c的取值范围．
【详解】解：关于x的一元二次方程无解，
∵，，，
∴，
解得，
∴的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
13. 有数据，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率公式计算即可
【详解】根据概率公式，得偶数的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．
14. 已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式_________．
【答案】（且即可）
【解析】
【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解．
【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限，
∴k<0，
当经过时，k=-1，
由题意函数不经过，说明k≠-1，
故可以写的函数解析式为：(本题答案不唯一，只要且即可)．
【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，(k≠0)当时经过第二、四象限；当时经过第一、三象限．
15. 某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚___________元．

【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为8元/千克时的卖出的苹果数量．再利用利润=（售价-进价）×销售量，求出利润．
【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为，将（5，4k），（10，k）代入关系式：
，解得
∴
令，则
∴利润=
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题．利润=（售价-进价）×销售量．
16. 如图，已知，则_________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可
【详解】解：作AE⊥BC，CF⊥BD

∵
∴△ABD和△BCD等高，高均为AE
∴
∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴
∵△BOC和△DOC等高，高均为CF
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键
17. 六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．

【答案】．
【解析】
【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．
【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，

在正六边形ABCDEF中，
∵直角三角板的最短边为1，
∴正六边形ABCDEF为1，
∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，
∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，
∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，
∴BG=DI= FH=，
∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =，
∴AC =AE = CE =，
∴由勾股定理得：AI=，
∴S=，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．
18. 定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．

【答案】
【解析】
【分析】先确定正方形的中心O与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．
【详解】解：如图1，设的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，．
∴点O与正方形边上的所有点的连线中，
最小，等于1，最大，等于．

∵，
∴点P与正方形边上的所有点的连线中，
如图2所示，当点E落在上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；
如图3所示，当点A落在上时，最小值．
∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的性质是解题的关键．
三、解答题
19. 计算：
【答案】2
【解析】
【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以及同类项即可．
【详解】解：，
=，
=，
=2．
【点睛】本题考查实数混合运算，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项，掌握实数混合运算法则与运算顺序，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项是解题关键．
20. 解方程组：
【答案】和
【解析】
【分析】由第一个方程得到，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出，再回代第一个方程中即可求出．
【详解】解：由题意：，
由方程(1)得到：，再代入方程(2)中：
得到：，
进一步整理为：或，
解得，，
再回代方程(1)中，解得对应的，，
故方程组的解为：和．
【点睛】本题考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即可．
21. 已知在中，，，为边上的中线．

（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用三角函数即可求出AB，故可得到AC的长；
（2）过点F作FG⊥BD，利用中位线的性质得到FG，CG，再根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）∵，
∴
∴AB=10
∴=；
（2）过点F作FG⊥BD，
∵为边上的中线．
∴FAD中点
∵FG⊥BD，
∴
∴FG是△ACD的中位线
∴FG=3
CG=
∴在Rt△BFG中，=．

【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．
22. 现在手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部手机，三个月生产情况如下图．

（1）求三月份共生产了多少部手机?
（2）手机速度很快，比下载速度每秒多，下载一部的电影，比要快190秒，求手机的下载速度．
【答案】（1）36万部；（2）100/秒
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数；
（2）设手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒，根据下载一部的电影，比要快190秒列方程求解．
【详解】（1）3月份的百分比=
三月份共生产的手机数=（万部）
答：三月份共生产了36万部手机．
（2）设手机的下载速度为x/秒，则下载速度为/秒，
由题意可知：
解得：
检验：当时，
∴是原分式方程的解．
答：手机的下载速度为100/秒．
【点睛】本题考查实际问题与分式方程．求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为0．
23. 已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．

（1）求证：；
（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）连结，由M、N分别是和的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由， 可得，可证，，根据等腰三角形三线合一性质;
（2）设OG交MN于E，由，可得，可得，，可证可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可证是平行四边形，再由可证四边形ACNM是矩形．
【详解】证明：（1）连结，
∵M、N分别是和的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
，
在中，，
，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
，
，
∴，
;

（2）设OG交MN于E，
，
∴，
∴，即，
，
在△CMN和△ANM中
，
，
，
∵CN∥OG，
，
，
，
∴AM∥CN，
是平行四边形，
，
∴四边形ACNM是矩形．
【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．
24. 已知抛物线过点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点A在直线上且在第一象限内，过A作轴于B，以为斜边在其左侧作等腰直角．
①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；
②若C落在抛物线上，求C的坐标．
【答案】（1）；（2）①1；②点C的坐标是
【解析】
【分析】(1)将两点分别代入，得,解方程组即可;
（2）①根据AB=4,斜边上的高为2,Q的横坐标为1,计算点C的横坐标为-1,即到y轴的距离为1；②根据直线PQ的解析式，设点A（m，-2m+6）,三角形ABC是等腰直角三角形，用含有m的代数式表示点C的坐标，代入抛物线解析式求解即可.
【详解】（1）将两点分别代入，得
解得．
所以抛物线的解析式是．
（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点重合时，，
作于H．
∵是等腰直角三角形，
∴和也是等腰直角三角形，
∴，
∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．

②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由，得
解得
∴直线的解析式为，
设，
∴，
所以．
所以．
将点代入，
得．
整理，得．
因式分解，得．
解得，或（与点B重合，舍去）．
当时，．
所以点C的坐标是．
【点评】本题考查了抛物线解析式确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．
25. 如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E．

（1）当点E在边上时，
①求证：；
②若，求的值；
（2）若，求的长．
【答案】（1）①见解析；②；（2）或
【解析】
【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，，由此可得；
②若，那么在中，由．可得，作于H．设，那么．根据所对直角边是斜边的一半可知，由此可得的值．
（2）①当点E在上时，可得四边形是矩形，设，在和中，根据，列方程求解即可．
②当点E在上时，设，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可．
【详解】（1）①由，得．
由，得．
因为是斜边上的中线，所以．所以．
所以．
所以．

②若，那么在中，由．可得．
作于H．设，那么．
在中，，所以．
所以．
所以．
（2）①如图5，当点E在上时，由是的中点，可得，
所以四边形是平行四边形．
又因为，所以四边形是矩形，
设，已知，所以．
已知，所以．
和中，根据，列方程．
解得，或（ 舍去负值）．
②如图6，当点E在上时，设，已知，所以．
设，已知，那么．
一方面，由，得，所以，所以，
另一方面，由是公共角，得．
所以，所以．
等量代换，得．由，得．
将代入，整理，得．
解得，或（舍去负值）．

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．