广东省2019年中考数学真题试题（含解析）.docx

2019年广东省初中学业水平考试数学
说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为100分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用像皮檫干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．﹣2的绝对值是
A．2   B．﹣2   C． D．±2
【答案】A
【解析】正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
【考点】绝对值
2．某网店2019年母亲节这天的营业额为221 000元，将数221 000用科学记数法表示为
A．2.21×106   B．2.21×105   C．221×103   D．0.221×106
【答案】B
【解析】a×10n形式，其中0≤|a|＜10.
【考点】科学记数法
3．如图，由4个相同正方体组合而成的几何体，它的左视图是

【答案】A
【解析】从左边看，得出左视图.
【考点】简单组合体的三视图
4．下列计算正确的是
A．b6÷b3=b2   B．b3·b3=b9   C．a2+a2=2a2    D．(a3)3=a6
【答案】C
【解析】合并同类项：字母部分不变，系数相加减.
【考点】同底数幂的乘除，合并同类项，幂的乘方
5．下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是

【答案】C
【解析】轴对称与中心对称的概念.
【考点】轴对称与中心对称
6．数据3、3、5、8、11的中位数是
A．3   B．4   C．5   D．6
【答案】C
【解析】按顺序排列，中间的数或者中间两个数的平均数.
【考点】中位数的概念
7．实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是
A．a>b   B．|a|<|b| C．a+b>0   D．<0

【答案】D
【解析】a是负数，b是正数，异号两数相乘或相除都得负.
【考点】数与代数式的大小比较，数轴的认识
8．化简的结果是
A．﹣4   B．4   C．±4 D．2
【答案】B
【解析】公式.
【考点】二次根式
9．已知x1、x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是
A．x1≠x2   B．x12﹣2x1=0 C．x1+x2=2   D．x1·x2=2
【答案】D
【解析】因式分解x（x-2）=0，解得两个根分别为0和2，代入选项排除法.
【考点】一元二次方程的解的概念和计算
10．如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB、AM交于点N、K．则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN=∠HFG；③FN=2NK；④S△AFN:S△ADM =1:4．其中正确的结论有
A．1个   B．2个   C．3个   D．4个

【答案】C
【解析】AH=GF=2，∠ANH=∠GNF，∠AHN=∠GFN，△ANH≌△GNF（AAS），①正确；由①得AN=GN=1，∵NG⊥FG，NA不垂直于AF，∴FN不是∠AFG的角平分线，∴∠AFN≠∠HFG，②错误；由△AKH∽△MKF，且AH:MF=1:3，∴KH:KF=1:3，又∵FN=HN，∴K为NH的中点，即FN=2NK，③正确；S△AFN=AN·FG=1，S△ADM=DM·AD=4，∴S△AFN:S△ADM =1:4，④正确.
【考点】正方形的性质，平行线的应用，角平分线的性质，全等三角形，相似三角形，三角形的面积
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11．计算20190+()﹣1=____________．
【答案】4
【解析】1+3=4
【考点】零指数幂和负指数幂的运算
12．如图，已知a∥b，∠l=75°，则∠2 =________．

【答案】105°
【解析】180°-75°=105°.
【考点】平行线的性质
13．一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是_________．
【答案】8
【解析】（n-2）×180°=1080°，解得n=8.
【考点】n边形的内角和=（n-2）×180°
14．已知x=2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是___________．
【答案】21
【解析】由已知条件得x-2y=3，原式=4（x-2y）+9=12+9=21.
【考点】代数式的整体思想
15．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=米，在实验楼的顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是_________________米（结果保留根号）．

【答案】15+15
【解析】AC=CD·tan30°+CD·tan45°=15+15.
【考点】解直角三角形，特殊三角函数值
16．如题16-1图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按题16-2图所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（题16-1图）拼出来的图形的总长度是_____________________（结果用含a、b代数式表示）．

【答案】a+8b
【解析】每个接触部分的相扣长度为（a-b），则下方空余部分的长度为a-2（a-b）=2b-a，3个拼出来的图形有1段空余长度，总长度=2a+（2b-a）=a+2b；5个拼出来的图形有2段空余长度，总长度=3a+2（2b-a）=a+4b；7个拼出来的图形有3段空余长度，总长度=4a+3（2b-a）=a+6b；9个拼出来的图形有4段空余长度，总长度=5a+4（2b-a）=a+8b.
【考点】规律探究题型
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．解不等式组：
【答案】
解：由①得x＞3，由②得x＞1，
∴原不等式组的解集为x＞3.
【考点】解一元一次不等式组
18．先化简，再求值： ，其中x=．
【答案】
解：原式=
=×
=
当x=，原式===1+.
【考点】分式的化简求值，包括通分、约分、因式分解、二次根式计算
19．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE．使∠ADE=∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若=2，求的值．

【答案】
解：（1）如图所示，∠ADE为所求.

（2）∵∠ADE=∠B
∴DE∥BC
∴=
∵=2
∴=2
【考点】尺规作图之作一个角等于已知角，平行线分线段成比例
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）
20．为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如题20图表所示，根据图表信息解答下列问题：

（1）x =________，y =_______，扇形图中表示C的圆心角的度数为_______度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲、乙两名学生的概率．
【答案】
解：（1）y=10÷25%=40，x=40-24-10-2=4，C的圆心角=360°×=36°
（2）画树状图如下：

一共有6种可能结果，每种结果出现的可能性相同，其中同时抽到甲、乙的结果有2种
∴P（甲乙）==
答：同时抽到甲、乙两名学生的概率为.
【考点】数据收集与分析，概率的计算
21．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，己知每个篮球的价格为70元，毎个足球的价格为80元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球？
【答案】
解：（1）设购买篮球x个，则足球（60-x）个.
由题意得70x+80（60-x）=4600，解得x=20
则60-x=60-20=40.
答：篮球买了20个，足球买了40个.
（2）设购买了篮球y个.
由题意得 70y≤80（60-x），解得y≤32
答：最多可购买篮球32个.
【考点】一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用

22．在如图所示的网格中，每个正方形的连长为1，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的与BC相切于点D，分别交AB、AC于点E、F．
（1）求△ABC三边的长；
（2）求图中由线段EB、BC、CF及所围成的阴影部分的面积．

【答案】
解：（1）由题意可知，AB==，AC==，
BC==
（2） 连接AD
由（1）可知，AB2+AC2=BC2，AB=AC
∴∠BAC=90°，且△ABC是等腰直角三角形
∵以点A为圆心的与BC相切于点D
∴AD⊥BC
∴AD=BC= （或用等面积法AB·AC=BC·AD求出AD长度）
∵S阴影=S△ABC－S扇形EAF
S△ABC=××=20
S扇形EAF==5π
∴S阴影=20－5π
【考点】勾股定理及其逆定理，阴影面积的计算包括三角形和扇形的面积公式
五、解答题（三）（本大题3小题，毎小题7分，共21分）
23．如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据函数图象，直接写出满足k1x+b>的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP :S△BOP=1 : 2，求点P的坐标．

【答案】
解：（1）x＜-1或0＜x＜4
（2）∵反比例函数y=图象过点A（﹣1，4）
∴4=，解得k2=﹣4
∴反比例函数表达式为
∵反比例函数图象过点B（4，n）
∴n==﹣1，∴B（4，﹣1）
∵一次函数y=k1x+b图象过A（﹣1，4）和B（4，﹣1）
∴，解得
∴一次函数表达式为y=﹣x+3
（3）∵P在线段AB上，设P点坐标为（a，﹣a+3）
∴△AOP和△BOP的高相同
∵S△AOP :S△BOP=1 : 2
∴AP : BP=1 : 2
过点B作BC∥x轴，过点A、P分别作AM⊥BC，PN⊥BC交于点M、N

∵AM⊥BC，PN⊥BC
∴
∵MN=a+1，BN=4-a
∴，解得a=
∴-a+3=
∴点P坐标为（，）
（或用两点之间的距离公式AP=，BP=，由解得a1=，a2=-6舍去）
【考点】一次函数和反比例函数的数形结合，会比较函数之间的大小关系，会求函数的解析式，同高的三角形的面积比与底边比的关系
24．如题24-1图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF=AC，连接AF． 
（1）求证：ED=EC；
（2）求证：AF是⊙O的切线；
（3）如题24-2图，若点G是△ACD的内心，BC·BE=25，求BG的长．

【答案】
（1）证明：∵AB=AC
∴∠B==∠ACB
∵∠BCD=∠ACB
∴∠B=∠BCD
∵=
∴∠B=∠D
∴∠BCD=∠D
∴ED=EC
（2）证明：

连接AO并延长交⊙O于点G，连接CG
由（1）得∠B=∠BCD
∴AB∥DF
∵AB=AC，CF=AC
∴AB=CF
∴四边形ABCF是平行四边形
∴∠CAF=∠ACB
∵AG为直径
∴∠ACG=90°，即∠G+∠GAC=90°
∵∠G=∠B，∠B=∠ACB
∴∠ACB+∠GAC=90°
∴∠CAF+∠GAC=90°即∠OAF=90°
∵点A在⊙O上
∴AF是⊙O的切线
（3）解：

连接AG
∵∠BCD=∠ACB，∠BCD=∠1
∴∠1=∠ACB
∵∠B=∠B
∴△ABE∽△CBA
∴
∵BC·BE=25
∴AB2=25
∴AB=5
∵点G是△ACD的内心
∴∠2=∠3
∵∠BGA=∠3+∠BCA=∠3+∠BCD=∠3+∠1=∠3+∠2=∠BAG
∴BG=AB=5
【考点】圆的综合应用，等弧等弦等角的转换，切线的证明，垂径定理的逆应用，内心的概念，相似三角形的应用，外角的应用，等量代换的意识
25．如题25-1图，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于点A、B(点A在点B右侧)，点D为抛物线的顶点．点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）如题25-2图，过顶点D作DD1⊥x 轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥ x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；
②直接回答这样的点P共有几个？

【答案】
（1）解：由y==得点D坐标为（﹣3，）
令y=0得x1=﹣7，x2=1
∴点A坐标为（﹣7，0），点B坐标为（1，0）
（2）证明：

过点D作DG⊥y轴交于点G，设点C坐标为（0，m）
∴∠DGC=∠FOC=90°，∠DCG=∠FCO
∴△DGC∽△FOC
∴
由题意得CA=CF，CD=CE，∠DCA=∠ECF，OA=1，DG=3，CG=m+
∵CO⊥FA
∴FO=OA=1
∴，解得m= （或先设直线CD的函数解析式为y=kx+b，用D、F两点坐标求出y=x+，再求出点C的坐标）
∴点C坐标为（0，）
∴CD=CE==6
∵tan∠CFO==
∴∠CFO=60°
∴△FCA是等边三角形
∴∠CFO=∠ECF
∴EC∥BA
∵BF=BO－FO=6
∴CE=BF
∴四边形BFCE是平行四边形
（3）解：①设点P坐标为（m，），且点P不与点A、B、D重合．若△PAM与△DD1A相似，因为都是直角三角形，则必有一个锐角相等．由（1）得AD1=4，DD1=
（A）当P在点A右侧时，m＞1
（a）当△PAM∽△DAD1，则∠PAM=∠DAD1，此时P、A、D三点共线，这种情况不存在
（b）当△PAM∽△ADD1，则∠PAM=∠ADD1，此时
∴，解得m1=（舍去），m2=1（舍去），这种不存在
（B）当P在线段AB之间时，﹣7＜m＜1
（a）当△PAM∽△DAD1，则∠PAM=∠DAD1，此时P与D重合，这种情况不存在
（b）当△PAM∽△ADD1，则∠PAM=∠ADD1，此时
∴，解得m1=，m2=1（舍去）
（C）当P在点B左侧时，m＜﹣7
（a）当△PAM∽△DAD1，则∠PAM=∠DAD1，此时
∴﹣，解得m1=﹣11，m2=1（舍去）
（b）当△PAM∽△ADD1，则∠PAM=∠ADD1，此时
∴﹣，解得m1=，m2=1（舍去）
综上所述，点P的横坐标为，﹣11，，三个任选一个进行求解即可．
②一共存在三个点P，使得△PAM与△DD1A相似．
【考点】二次函数的综合应用，旋转的性质，相似三角形的的应用，等边三角形的性质，平行四边形的证明，平面直角坐标的灵活应用，动点问题，分类讨论思想

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