湖南省湘西州2021年中考数学真题（解析版）.doc

2021年湖南省湘西州中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将每个小题所给四个选项中唯一正确选项的代号填涂在答题卡相应的位置上）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义可直接进行排除选项．
【详解】解：的相反数是；
故选B．
【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．
2. 计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数的加法法则可直接进行求解．
【详解】解：；
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的加法法则，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键．
3. 在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】由于比赛取前5名参加决赛，共有11名选手参加，根据中位数的意义分析即可．
【详解】11个不同的成绩按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数，
故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入决赛了．
故选B．
【点睛】本题考查了中位数意义．解题的关键是正确的求出这组数据的中位数．
4. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算的知识逐项排除即可．
【详解】解：A. ，故A选项错误；
B. ，故B选项错误；
C. ，故C选项错误；
D. ，故D选项正确．
故答案为D．
【点睛】本题考查了幂的乘方、积的乘方、单项式除法、分式加法以及分式乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5. 工厂某零件如图所示，以下哪个图形是它的俯视图（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得该几何体的俯视图为；
故选B．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键．
6. 如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得，则有，然后可得，进而根据菱形的性质可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定及菱形的性质是解题的关键．
7. 如图，在中，，于点，，，，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意易得，，则有，然后可得，然后根据相似三角形的性质可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
8. 如图，面积为的正方形内接于⊙O，则的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接BD、AC，由题意易得，然后根据弧长计算公式可求解．
【详解】解：连接BD、AC，

∵四边形是正方形，且面积为18，
∴，
∴，
∴，
∴的长度为；
故选C．
【点睛】本题主要考查弧长计算及正多边形与圆，熟练掌握弧长计算及正多边形与圆是解题的关键．
9. 如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为的函数图象．根据这个函数的图象，下列说法正确的是（ ）

A. 图象与轴没有交点
B. 当时
C. 图象与轴的交点是
D. 随的增大而减小
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象可直接进行排除选项．
【详解】解：由图象可得：，即，
A、图象与x轴没有交点，正确，故符合题意；
B、当时，，错误，故不符合题意；
C、图象与y轴的交点是，错误，故不符合题意；
D、当时，y随x的增大而减小，且y的值永远小于0，当时，y随x的增大而减小，且y的值永远大于0，错误，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
10. 已知点在第一象限，且，点在轴上，当为直角三角形时，点的坐标为（ ）
A. ，或 B. ，或
C. ，或 D. ，或
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可分当时和当时，然后根据题意进行分类求解即可．
【详解】解：由题意得：
当时，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，过点M作MB⊥x轴于点B，如图所示：

∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴当时，则；当时，则，
∴或；
故选C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标，熟练掌握相似三角形的性质与判定及平面直角坐标系点的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，请将正确答案填写在答题卡相应的横线上）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据乘方运算的符号规律，即可得到结果．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是熟记乘方运算的符号规律．
12. 北京时间年月日时分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点，高度约，成为我国第一颗人造火星卫星．其中，用科学记数法可以表示为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法可直接进行求解．
【详解】解：把用科学记数法可以表示为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
13. 因式分解：_____．
【答案】
【解析】
【详解】原式=
14. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：
，解得：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
15. 实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得，
∴；
故答案．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
16. 若式子的值为零，则＝___．
【答案】0
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件可直接进行求解．
【详解】解：由式子的值为零可得：
，
∴且，
∴；
故答案为0．
【点睛】本题主要考查分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件是解题的关键．
17. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的度数是____．

【答案】40°
【解析】
【分析】如图，由折叠的性质可得，进而可得，然后易得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可求解．
【详解】解：如图所示：

∵，
由折叠的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
故答案为40°．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定、平行线的性质及折叠的性质是解题的关键．
18. 古希腊数学家把，，，，，，…这样的数叫做三角形数，因为它的规律性可以用如图表示．根据图形，若把第一个图形表示的三角形数记为，第二个图形表示的三角形数记为，…，则第个图形表示的三角形数＝___．（用含的式子表达）

【答案】
【解析】
【分析】由题意易得，，，；…..；然后由此规律可得第个图形表示的三角形数．
【详解】解：由图及题意可得：
，，，；…..
∴第个图形表示的三角形数；
故答案为．
【点睛】本题主要考查图形规律，解题的关键是根据给出的图形得到基本的规律，然后进行求解即可．
三、解答题（本大题共8小题，共78分，每个题目都要求在答题卡的相应位置写出计算、解答或证明的主要步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂、特殊三角函数值及算术平方根可直接进行求解．
【详解】解：原式=．
【点睛】本题主要考查零次幂、特殊三角函数值及算术平方根，熟练掌握零次幂、特殊三角函数值及算术平方根是解题的关键．
20. 解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．

【答案】无解，数轴见详解
【解析】
【分析】根据一元一次不等式组的解法可直接进行求解，然后再数轴上表示出解集即可．
详解】解：
由①得：，
由②得：，
∴原方程无解，
在数轴上的表示如图所示：

【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
21. 如图，在中，点在边上，，将边绕点旋转到的位置，使得，连接与交于点，且，．
（1）求证：；
（2）求的度数．

【答案】（1）见详解；（2）
【解析】
【分析】（1）由题意易得，，则有，然后问题可求证；
（2）由（1）可得，然后可得，进而根据三角形外角的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴根据三角形内角和可得，
∴，
由（1）可得，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
22. 为庆祝中国共产党成立周年，光明中学筹划举行朗诵、合唱等一系列校园主题庆祝活动（活动代号如表），要求每位学生自主选择参加其中一个活动项目．为此，学校从全体学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查．根据统计数据，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．
（1）该校此次调查共抽取了 　 　名学生；
（2）请补全条形统计图（画图后标注相应的数据）；
（3）若该校共有名学生，请根据此次调查结果，估计该校有多少名学生参加舞蹈活动．
活动名称
朗诵
合唱
舞蹈
绘画
征文
活动代号

【答案】（1）50；（2）图见详解；（3）该校有240名学生参加舞蹈活动．
【解析】
【分析】（1）由统计图及题意可直接进行求解；
（2）由（1）可得参加舞蹈活动的学生人数为50-8-10-12-14=6名，然后补全条形统计图即可；
（3）由（2）及题意可直接进行求解．
【详解】解：（1）由题意得：
该校此次调查共抽取的学生人数为（名）；
故答案为50；
（2）由（1）及题意可得：
参加舞蹈活动的学生人数为50-8-10-12-14=6（名）；
补全条形统计图如图所示：

（3）由题意得：
（名）；
答：该校有240名学生参加舞蹈活动．
【点睛】本题主要考查条形统计图及扇形统计图，解题的关键是根据统计图得到基本信息，然后求解即可．
23. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A、两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，）

【答案】m
【解析】
【分析】由题意易得CH=BH，设CH=BH=xm，则有m，进而根据三角函数可进行求解．
【详解】解：由题意得：，
∴CH=BH，
设CH=BH=xm，则有m，
∴，即，
解得：，
∴m．
【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．
24. 如图，为⊙的直径，为⊙O上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．
（1）求证：平分；
（2）若，，求：边及的长．

【答案】（1）见详解；（2），
【解析】
【分析】（1）连接OC，由题意易得，则有，进而可得，然后问题可求证；
（2）连接BC，由题意及（1）易得，则有DC=6，然后可得，然后问题可求解．
【详解】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵CD是⊙O的切线，
∴，
∵AD⊥CD，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分；
（2）解：连接BC，如图所示：

由（1）可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为⊙的直径，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的性质及解直角三角形，熟练掌握切线的性质及三角函数是解题的关键．
25. 年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大．网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向、两个不同需求学生群体的微课视频．已知制作个类微课和个类微课需要4600元成本，制作个类微课和个类微课需要元成本．李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个类微课售价元，每个类微课售价元．该团队每天可以制作个类微课或者个类微课，且团队每月制作的类微课数不少于类微课数的倍（注：每月制作的、两类微课的个数均为整数）．假设团队每月有天制作微课，其中制作类微课天，制作、两类微课的月利润为元．
（1）求团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是多少元？
（2）求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）每月制作类微课多少个时，该团队月利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是700元、500元；（2），；（3）每月制作类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是元．
【解析】
【分析】（1）设团队制作一个类微课成本为元，制作一个类微课的成本为元，由题意得，然后求解即可；
（2）由（1）及题意可直接进行求解；
（3）由（2）及结合一次函数的性质可直接进行求解．
【详解】解：（1）设团队制作一个类微课的成本为元，制作一个类微课的成本为元，由题意得：
，
解得：；
答：团队制作一个类微课和一个类微课的成本分别是700元、500元．
（2）由题意得制作类微课天，则有：
，
∵团队每月制作的类微课数不少于类微课数的倍，
∴，且，解得：，
（3）由（2）可得：，，
∴随的增大而增大，
∵每月制作的、两类微课的个数均为整数，
∴为偶数，
∴当时，w取最大，最大值为；
答：每月制作类微课个时，该团队月利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用，熟练掌握一次函数、一元一次不等式及二元一次方程组的应用是解题的关键．
26. 如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；
（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3），此时的最小值为；（4）存在，或．
【解析】
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；
（3）由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；
（4）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：

连接BP、BC，
∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵点P在直线BC上，
∴把代入得：，
∴；
（4）存在，理由如下：
由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：

连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，
∴点D为AC、MN的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
解得：，
∴；
②当AM为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
③当AN为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．