2017年青海省中考数学试卷（含解析版）.pdf

2017 年青海省中考数学试卷年青海省中考数学试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 小题小题 15 空，每空空，每空 2 分，共分，共 30 分）分）1（4 分）72 的绝对值是 ；的平方根是 2（4 分）分解因式：ax22ax+a ；计算：3（2 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为 4（2 分）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则3+12 5（2 分）如图，ABC 中，ABC 与ACB 的平分线相交于 D，若A50，则BDC 度 6（2 分）如图，直线 ab，RtABC 的顶点 B 在直线 a 上，C90，55，则 的度数为 7（2 分）若单项式 2x2ym与可以合并成一项，则 nm 8（2 分）有两个不透明的盒子，第一个盒子中有 3 张卡片，上面的数字分别为 1，2，2；第二个盒子中有 5 张卡片，上面的数字分别为 1，2，2，3，3这些卡片除了数字不同外，其它都相同，从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是 2 的概率为 9（2 分）已知扇形的圆心角为 240，所对的弧长为，则此扇形的面积是 10（2 分）如图，在一个 44 的网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点叫做格点点 A 在格点上，动点 P 从 A 点出发，先向右移动 2 个单位长度到达 P1，P1绕点 A 逆时针旋转 90到达 P2，P2再向下移动 2 个单位长度回到 A 点，P 点所经过的路径围成的图形是 图形（填“轴对称”或“中心对称”）11（2 分）如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长 100 米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为 60，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是 米（结果保留根号）12（4 分）观察下列各式的规律：（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41 可得到（x1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）；一般地（x1）（xn+xn1+x5+x2+x+1）二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，每小题给出的四个选项中，只有分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）13（3 分）估计 2+的值（）A在 2 和 3 之间 B在 3 和 4 之间 C在 4 和 5 之间 D在 5 和 6 之间 14（3 分）在某次测试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小明说：“我们组考 87 分的人最多”，小华说：“我们组 7 位同学成绩排在最中间的恰好也是 87 分”上面两位同学的话能反映出的统计量是（）A众数和平均数 B平均数和中位数 C众数和方差 D众数和中位数 15（3 分）某地原有沙漠 108 公顷，绿洲 54 公顷，为改善生态环境，防止沙化现象，当地政府实施了“沙漠变绿洲”工程，要把部分沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占沙漠面积的 80%设把 x 公顷沙漠改造为绿洲，则可列方程为（）A54+x80%108 B54+x80%（108x）C54x80%（108+x）D108x80%（54+x）16（3 分）已知 AB，CD 是O 的两条平行弦，AB8，CD6，O 的半径为 5，则弦AB 与 CD 的距离为（）A1 B7 C4 或 3 D7 或 1 17（3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE：EC3：1，连接 AE交 DB 于点 F，则DEF 的面积与BAF 的面积之比为（）A1：3 B3：4 C1：9 D9：16 18（3 分）如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，RtOEF 绕点 O 旋转，在旋转过程中，两个图形重叠部分的面积是正方形面积的（）A B C D 19（3 分）如图，已知 A（4，），B（1，2）是一次函数 y1kx+b（k0）与反比例函数 y2（m0，x0）图象的两个交点，ACx 轴于点 C，BDy 轴于点 D，若y1y2，则 x 的取值范围是（）Ax4 B4x1 Cx4 或 x1 Dx1 20（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 P 从点 A 出发，沿着矩形的边顺时针方向运动一周回到点 A，则点 A、P、D 围成的图形面积 y 与点 P 运动路程 x 之间形成的函数关系式的大致图象是（）A B C D 三、三、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 21 题题 5 分，第分，第 22 题题 5 分，第分，第 23 题题 7 分，共分，共 17 分）分）21（5 分）计算：（3）06cos30+22（5 分）解分式方程：23（7 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，ADBC（1）在图中，用尺规作线段 BD 的垂直平分线 EF，分别交 BD、BC 于点 E、F（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接 DF，证明四边形 ABFD 为菱形 四、四、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 24 题题 9 分，第分，第 25 题题 9 分，第分，第 26 题题 8 分，共分，共 26 分）分）24（9 分）某地图书馆为了满足群众多样化阅读的需求，决定购买甲、乙两种品牌的电脑若干组建电子阅览室经了解，甲、乙两种品牌的电脑单价分别 3100 元和 4600 元（1）若购买甲、乙两种品牌的电脑共 50 台，恰好支出 200000 元，求甲、乙两种品牌的电脑各购买了多少台？（2）若购买甲、乙两种品牌的电脑共 50 台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过160000 元，共有几种购买方案？并说明哪种方案最省钱 25（9 分）如图，在ABC 中，ABC90，以 AB 为直径作O 交 AC 于点 D，点 E在 BC 边上，且满足 EBED（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接 AE，若C45，AB10，求 sinCAE 的值 26（8 分）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：抽取的彩色弹力球数 n 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 m 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948（1）请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图 （2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？（精确到 0.01）（3）从这批彩色弹力球中选择 5 个黄球、13 个黑球、22 个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率（4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？五、五、（本大题共（本大题共 2 小题，第小题，第 27 题题 11 分，第分，第 28 题题 12 分，共分，共 23 分）分）27（11 分）请完成如下探究系列的有关问题：探究 1：如图 1，ABC 是等腰直角三角形，BAC90，点 D 为 BC 上一动点，连接AD，以 AD 为边在 AD 的右侧作正方形 ADEF，连接 CF，则线段 CF，BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 探究 2：如图 2，当点 D 运动到线段 BC 的延长线上，其余条件不变，探究 1 中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）探究 3：如图 3，如果 ABAC，BAC90，BCA 仍然保留为 45，点 D 在线段 BC上运动，请你判断线段 CF，BD 之间的位置关系，并说明理由 28（12 分）如图，抛物线 yx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点D 与点 C 关于 x 轴对称（1）求点 A、B、C 的坐标（2）求直线 BD 的解析式（3）在直线 BD 下方的抛物线上是否存在一点 P，使PBD 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 2017 年青海省中考数学试卷年青海省中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 小题小题 15 空，每空空，每空 2 分，共分，共 30 分）分）1（4 分）72 的绝对值是14；的平方根是【考点】21：平方根；28：实数的性质【专题】1：常规题型【分析】直接利用绝对值以及平方根的性质分析得出答案【解答】解：7214 的绝对值是：14；的平方根是：故答案为：14；【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键 2（4 分）分解因式：ax22ax+aa（x1）2；计算：【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；6A：分式的乘除法【专题】1：常规题型【分析】直接提取公因式 a，再利用完全平方公式分解因式得出答案，再利用分式的乘除运算法则计算得出答案【解答】解：ax22ax+a a（x22x+1）a（x1）2；故答案为：a（x1）2；【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式和分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键 3（2 分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为 4400000000 人，这个数用科学记数法表示为4.4109【考点】1I：科学记数法表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 4400000000 用科学记数法表示为 4.4109 故答案为：4.4109【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 4（2 分）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则3+1224 【考点】L3：多边形内角与外角【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出3、1、2 的度数是多少，进而求出3+12 的度数即可【解答】解：正三角形的每个内角是：180360，正方形的每个内角是：360490，正五边形的每个内角是：（52）1805 31805 5405 108，正六边形的每个内角是：（62）1806 41806 7206 120，则3+12（9060）+（120108）（10890）30+1218 24 故答案为：24【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n 边形的内角和（n2）180（n3）且 n 为整数）（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为 360 5（2 分）如图，ABC 中，ABC 与ACB 的平分线相交于 D，若A50，则BDC115度 【考点】IJ：角平分线的定义；K7：三角形内角和定理【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解【解答】解：A50，ABC+ACB130 ABC 与ACB 的平分线相交于 D，DBC+DCB65，BDC115【点评】本题主要利用了角平分线的性质和三角形的内角和是 180 度 6（2 分）如图，直线 ab，RtABC 的顶点 B 在直线 a 上，C90，55，则 的度数为35 【考点】JA：平行线的性质【专题】1：常规题型【分析】先过点 C 作 CEa，可得 CEab，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案【解答】解：过点 C 作 CEa，ab，CEab，BCE，ACE55，C90，BCEABCACE35 故答案为：35 【点评】此题考查了平行线的性质此题注意掌握辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用 7（2 分）若单项式 2x2ym与可以合并成一项，则 nm16【考点】35：合并同类项【专题】11：计算题【分析】根据同类项的定义计算【解答】解：由题意得，n2，m4，则 nm16，故答案为：16【点评】本题考查的是合并同类项，要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数 8（2 分）有两个不透明的盒子，第一个盒子中有 3 张卡片，上面的数字分别为 1，2，2；第二个盒子中有 5 张卡片，上面的数字分别为 1，2，2，3，3这些卡片除了数字不同外，其它都相同，从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是 2 的概率为【考点】X6：列表法与树状图法【专题】1：常规题型【分析】分别求得第一个盒子抽到卡片数字是 2 的概率为，从第二个盒子抽到卡片数字是 2 的概率为，于是得到结论【解答】解：从第一个盒子抽到卡片数字是 2 的概率为，从第二个盒子抽到卡片数字是2 的概率为，所以从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是 2 的概率为 故答案为：【点评】此题考查了概率公式准确的求出概率是解题的关键 9（2 分）已知扇形的圆心角为 240，所对的弧长为，则此扇形的面积是【考点】MN：弧长的计算；MO：扇形面积的计算【专题】1：常规题型【分析】利用弧长公式列出关系式，把圆心角与弧长代入求出扇形的半径，即可确定出扇形的面积【解答】解：设扇形所在圆的半径为 r，扇形的圆心角为 240，所对的弧长为，l，解得：r4，则扇形面积为rl，故答案为：【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及弧长公式，熟练掌握公式是解本题的关键 10（2 分）如图，在一个 44 的网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点叫做格点点 A 在格点上，动点 P 从 A 点出发，先向右移动 2 个单位长度到达 P1，P1绕点 A 逆时针旋转 90到达 P2，P2再向下移动 2 个单位长度回到 A 点，P 点所经过的路径围成的图形是轴对称图形（填“轴对称”或“中心对称”）【考点】O4：轨迹；P3：轴对称图形；Q3：坐标与图形变化平移；R5：中心对称图形【专题】1：常规题型【分析】先依据题意画出图形，然后再依据轴对称图形的性质即可做出判断【解答】解：如图所示：该图形是轴对称图形 故答案为：轴对称【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键 11（2 分）如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长 100 米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为 60，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是50米（结果保留根号）【考点】T8：解直角三角形的应用【专题】1：常规题型【分析】根据解直角三角形的方法即可得到结论【解答】解：如图，作 ACOB 于点 C，AO100 米，AOC60，ACOAsin60100米 故答案为：50 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键 12（4 分）观察下列各式的规律：（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41 可得到（x1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）x81；一般地（x1）（xn+xn1+x5+x2+x+1）xn+11【考点】37：规律型：数字的变化类；4B：多项式乘多项式；4F：平方差公式【专题】2A：规律型【分析】直接利用已知中的基本形式进而得出变化规律求出答案即可【解答】解：（x1）（x+1）x21（x1）（x2+x+1）x31（x1）（x3+x2+x+1）x41 则（x1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）x81（x1）（xn+xn1+x5+x2+x+1）xn+11 故答案是：x81；xn+11【点评】此题主要考查了平方差公式，正确得出式子变化规律是解题关键 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，每小题给出的四个选项中，只有分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）一个选项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）13（3 分）估计 2+的值（）A在 2 和 3 之间 B在 3 和 4 之间 C在 4 和 5 之间 D在 5 和 6 之间【考点】2B：估算无理数的大小【专题】1：常规题型【分析】直接得出 23，进而得出 2+的取值范围【解答】解：23，42+5，2+的值在 4 和 5 之间，故选：C【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的范围是解题关键 14（3 分）在某次测试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小明说：“我们组考 87 分的人最多”，小华说：“我们组 7 位同学成绩排在最中间的恰好也是 87 分”上面两位同学的话能反映出的统计量是（）A众数和平均数 B平均数和中位数 C众数和方差 D众数和中位数【考点】WA：统计量的选择【专题】1：常规题型；542：统计的应用【分析】根据中位数和众数的定义回答即可【解答】解：一组数据中出现次数最多的数为众数，所以 87 分是众数；一组数据中最中间一个数或中间两个数的平均数是这组数据的中位数，所以小华说的 87 分是中位数 故选：D【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义 15（3 分）某地原有沙漠 108 公顷，绿洲 54 公顷，为改善生态环境，防止沙化现象，当地政府实施了“沙漠变绿洲”工程，要把部分沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占沙漠面积的 80%设把 x 公顷沙漠改造为绿洲，则可列方程为（）A54+x80%108 B54+x80%（108x）C54x80%（108+x）D108x80%（54+x）【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程【专题】1：常规题型【分析】直接利用已知表示出绿洲面积和沙漠面积，进而绿洲面积占沙漠面积的 80%得出等式求出答案【解答】解：把 x 公顷沙漠改造为绿洲后，绿洲面积变为（54+x）公顷，沙漠面积变为（108x）公顷，根据“绿洲面积占沙漠面积的 80%”，可得方程：54+x80%（108x），故选：B【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是设出未知数以及改造后的绿洲与沙漠的关系为等量关系列出方程 16（3 分）已知 AB，CD 是O 的两条平行弦，AB8，CD6，O 的半径为 5，则弦AB 与 CD 的距离为（）A1 B7 C4 或 3 D7 或 1【考点】M2：垂径定理【专题】1：常规题型【分析】连接 OC、OA，作直线 OFAB 于 E，交 CD 于 F，则 EFCD，根据垂径定理求出 CF，AE，根据勾股定理求出 OE、OF，即可得出答案【解答】解：如图所示，连接 OA，OC作直线 OFAB 于 E，交 CD 于 F，则 EFCD，OEAB，OFCD，AEAB4，CFCD3，根据勾股定理，得 OE3，OF4，所以当 AB 和 CD 在圆心的同侧时，则 EFOFOE1，当 AB 和 CD 在圆心的异侧时，则 EFOF+OE7 故选：D 【点评】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要考虑两种情况 17（3 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE：EC3：1，连接 AE交 DB 于点 F，则DEF 的面积与BAF 的面积之比为（）A1：3 B3：4 C1：9 D9：16【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质【专题】552：三角形【分析】可证明DFEBFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形，DCAB，DFEBFA，DE：EC3：1，DE：DC3：4，DE：AB3：4，SDFE：SBFA9：16 故选：D 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方 18（3 分）如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，RtOEF 绕点 O 旋转，在旋转过程中，两个图形重叠部分的面积是正方形面积的（）A B C D【考点】LE：正方形的性质；R2：旋转的性质【专题】556：矩形 菱形 正方形【分析】根据旋转的性质可知两个图形重叠部分的面积是正方形面积的，【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，OFOE，OBOC，OBAOCB45，BOCEOF90，AFBCOE，在OBM 与OCN 中，OBMOCN（ASA），四边形 OMBN 的面积等于三角形 BOC 的面积，即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的 故选：A 【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能推出四边形 OMBN 的面积等于三角形 BOC 的面积是解此题的关键 19（3 分）如图，已知 A（4，），B（1，2）是一次函数 y1kx+b（k0）与反比例函数 y2（m0，x0）图象的两个交点，ACx 轴于点 C，BDy 轴于点 D，若y1y2，则 x 的取值范围是（）Ax4 B4x1 Cx4 或 x1 Dx1【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题【专题】1：常规题型【分析】观察函数图象得到当4x1 时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；【解答】解：y1y2在图象上表示一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，故应在 A 与 B 之间的部分，此时 x 的取值范围是4x1，故选：B【点评】题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力 20（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 P 从点 A 出发，沿着矩形的边顺时针方向运动一周回到点 A，则点 A、P、D 围成的图形面积 y 与点 P 运动路程 x 之间形成的函数关系式的大致图象是（）A B C D【考点】E7：动点问题的函数图象【专题】1：常规题型【分析】分三种情形讨论即可【解答】解：由题意可知，点 A、P、D 围成的图形均为三角形 点 P 从点 A 运动到点 B 的过程，其面积为 yADx，函数为一次函数，点 P 从点 B 运动到点 C 的过程，其面积为 yADAB常数，函数图象平行 x 轴；点 P 从点 B 运动到点 C 的过程，其面积为 yAD（AB+BC+CDx），函数为一次函数，故选：A【点评】本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 三、三、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 21 题题 5 分，第分，第 22 题题 5 分，第分，第 23 题题 7 分，共分，共 17 分）分）21（5 分）计算：（3）06cos30+【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值【专题】1：常规题型【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出答案【解答】解：原式16+32 1【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 22（5 分）解分式方程：【考点】B3：解分式方程【专题】1：常规题型【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：方程两边同乘（x24），得 2+x（x+2）x24，整理得 2+x2+2xx24，2x6，x3，检验：当 x3 时，x2450，原方程的解为 x3【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程注意要检验 23（7 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，ADBC（1）在图中，用尺规作线段 BD 的垂直平分线 EF，分别交 BD、BC 于点 E、F（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接 DF，证明四边形 ABFD 为菱形 【考点】KG：线段垂直平分线的性质；L9：菱形的判定；N2：作图基本作图【专题】1：常规题型【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；（2）结合垂直平分线的性质得出ADEFBE，即可得出 AEEF，进而利用菱形的判定方法得出答案【解答】解：（1）如图：（2）证明：如图，连接 DF，ADBC，ADEEBF，AF 垂直平分 BD，BEDE 在ADE 和FBE 中，ADEFBE（ASA），AEEF，BD 与 AF 互相垂直且平分，四边形 ABFD 为菱形 【点评】此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直平分线的性质是解题关键 四、四、（本大题共（本大题共 3 小题，第小题，第 24 题题 9 分，第分，第 25 题题 9 分，第分，第 26 题题 8 分，共分，共 26 分）分）24（9 分）某地图书馆为了满足群众多样化阅读的需求，决定购买甲、乙两种品牌的电脑若干组建电子阅览室经了解，甲、乙两种品牌的电脑单价分别 3100 元和 4600 元（1）若购买甲、乙两种品牌的电脑共 50 台，恰好支出 200000 元，求甲、乙两种品牌的电脑各购买了多少台？（2）若购买甲、乙两种品牌的电脑共 50 台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过160000 元，共有几种购买方案？并说明哪种方案最省钱【考点】9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用【专题】1：常规题型【分析】（1）设甲种品牌的电脑购买了 x 台，乙种品牌的电脑购买了 y 台，根据题意建立二元一次方程组，求出其解即可；（2）设甲种品牌的电脑购买了 x 台，乙种品牌的电脑购买了（50 x）台，根据题意建立不等式组求出其解即可【解答】解：（1）设甲种品牌的电脑购买了 x 台，乙种品牌的电脑购买了 y 台，则，解得，答：甲种品牌的电脑购买了 20 台，乙种品牌的电脑购买了 30 台（2）设甲种品牌的电脑购买了 x 台，乙种品牌的电脑购买了（50 x）台，则，解得，x 的整数值为 47，48、49，当 x47 时，50 x3；当 x48 时，50 x2；当 x49 时，50 x1 一共有三种购买方案：甲种品牌的电脑购买 47 台，乙种品牌的电脑购买 3 台；甲种品牌的电脑购买 48 台，乙种品牌的电脑购买 2 台；甲种品牌的电脑购买 49 台，乙种品牌的电脑购买 1 台 甲、乙两种品牌的电脑单价分别 3100 元和 4600 元 甲种品牌的电脑购买 49 台，乙种品牌的电脑购买 1 台比较省钱【点评】本题考查了二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，方案设计题型的运用，解答时找到等量关系建立方程或者方程组和建立不等式是关键 25（9 分）如图，在ABC 中，ABC90，以 AB 为直径作O 交 AC 于点 D，点 E在 BC 边上，且满足 EBED（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接 AE，若C45，AB10，求 sinCAE 的值 【考点】KW：等腰直角三角形；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形【专题】1：常规题型【分析】（1）连接 OD，OE，由圆周角定理就可以得出ADB90，可以得出CDB90，根据 E 为 BC 的中点可以得出 DEBE，就有EDBEBD，ODOB 可以得出ODBOBD，由的等式的性质就可以得出ODE90就可以得出结论；（2）连接 BD，作 EFAC 于点 F根据已知条件得到ABC 为等腰直角三角形根据平行线的性质得到BOD90得到四边形 OBED 为正方形求得 AC20解直角三角形即可得到结论【解答】（1）证明：如图，连接 OD、OE 在ODE 和OBE 中，ODEOBE（SSS），ODEABC90，DE 是O 的切线（2）解：如图，连接 BD，作 EFAC 于点 F AB 为O 的直径，BDAC，C45，ABC90，ABC 为等腰直角三角形 D 点为 AC 的中点，ODBC，BOD90 四边形 OBED 为正方形 AB10，AC20 CD10，DE5，EFAC，EFDF5，AF15，AE，sinCAE 【点评】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、三角函数的应用等几何知识点及其应用问题；熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键 26（8 分）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：抽取的彩色弹力球数 n 500 1000 1500 2000 2500 优等品频数 m 471 946 1426 1898 2370 优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948（1）请 在 图 中 完 成 这 批 彩 色 弹 力 球“优 等 品”频 率 的 折 线 统 计 图（2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？（精确到 0.01）（3）从这批彩色弹力球中选择 5 个黄球、13 个黑球、22 个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率（4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？【考点】V7：频数（率）分布表；V9：频数（率）分布折线图；X8：利用频率估计概率【专题】54：统计与概率【分析】（1）利用表格或者折线图即可；（2）求出五种情形下的平均数即可解决问题；（3）根据概率公式计算即可；（4）构建方程即可解决问题；【解答】解：（1）如图，（2）0.94720.95（3）P（摸出一个球是黄球）（4）设取出了 x 个黑球，则放入了 x 个黄球，则，解得 x5 答：取出了 5 个黑球【点评】本题考查频数分布表、频数分布折线图、样本估计总体的思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 五、五、（本大题共（本大题共 2 小题，第小题，第 27 题题 11 分，第分，第 28 题题 12 分，共分，共 23 分）分）27（11 分）请完成如下探究系列的有关问题：探究 1：如图 1，ABC 是等腰直角三角形，BAC90，点 D 为 BC 上一动点，连接AD，以 AD 为边在 AD 的右侧作正方形 ADEF，连接 CF，则线段 CF，BD 之间的位置关系为CFBD，数量关系为CFBD 探究 2：如图 2，当点 D 运动到线段 BC 的延长线上，其余条件不变，探究 1 中的两条结论是否仍然成立？为什么？（请写出证明过程）探究 3：如图 3，如果 ABAC，BAC90，BCA 仍然保留为 45，点 D 在线段 BC上运动，请你判断线段 CF，BD 之间的位置关系，并说明理由 【考点】LO：四边形综合题【专题】152：几何综合题【分析】探究 1：（1）只要证明BADCAF（SAS），推出 CFBD，推出BACF，推出B+BCA90，推出BCA+ACF90即可；探究 2：结论不变证明方法与探究 1 类似；探究 3：当ACB45时，过点 A 作 AGAC 交 CB 或 CB 的延长线于点 G，则GAC90，可推出ACBAGC，所以 ACAG，于是得到 CFBD【解答】解：探究 1：BAC90，BAD+CAD90，四边形 ADEF 为正方形，DAF90，CAD+CAF90，BADCAF 在ABD 和ACF 中，ABDACF（SAS），CFBD，ACFB45，BCF90，CFBD；故答案为：CFBD，CFBD；探究 2：探究 1 中的两条结论是否仍然成立 理由如下：BAC90，BAD90+CAD，四边形 ADEF 为正方形，DAF90+CAD，BADCAF 在ABD 和ACF 中，ABDCAF（SAS），CFBD，ACFB45，BCF90，CFBD 探究 3：线段 CF，BD 之间的位置关系是 CFBD 理由如下：如图，过点 A 作 APAC，交 BC 于点 P BCA45，APD45，APAC 四边形 ADEF 为正方形，ADAC APDACF（SAS），ACF45，BCFBCA+ACF90，线段 CF，BD 之间的位置关系是 CFBD 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键 28（12 分）如图，抛物线 yx2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点D 与点 C 关于 x 轴对称（1）求点 A、B、C 的坐标（2）求直线 BD 的解析式（3）在直线 BD 下方的抛物线上是否存在一点 P，使PBD 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；H7：二次函数的最值；HA：抛物线与 x 轴的交点【专题】16：压轴题【分析】（1）由待定系数法即可解决问题；（2）求出点 D、B 坐标，理由待定系数法可解；（3）如图，作 PEy 轴交 BD 于 E，设 P（m，m2m2），则 E（m，m+2），构建二次函数，了也重合时的性质即可解决问题；【解答】解：（1）解方程，得 x11，x24，A 点坐标为（1，0），B 点坐标为（4，0）当 x0 时，y2，C 点坐标为（0，2）（2）点 D 与点 C 关于 x 轴对称，D 点坐标为（0，2）设直线 BD 的解析式为 ykx+b，则，解得，直线 BD 的解析式为 （3）如图，作 PEy 轴交 BD 于 E，设 P（m，m2m2），则 E（m，m+2）PEm+2（m2m2）m2+m+4，SPBDPE（xBxD）（m2+m+4）4m2+2m+8（m1）2+9，10，m1 时，PBD 的面积最大，面积的最大值为 9 P（1，3）【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题