清华大学微积分高等数学课件第讲函数极限市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

作业作业P34习题习题2.1 3(2)(3).P39习题习题2.2 1(2)(3).2(2)(6)(9)(13).3(1)预习：P404910/10/1第1页第1页第二讲第二讲 函数极限函数极限一、函数极限一、函数极限二、函数极限性质二、函数极限性质三、函数极限运算法则三、函数极限运算法则四、两个主要极限四、两个主要极限五、无穷小量与无穷大量五、无穷小量与无穷大量10/10/2第2页第2页极限主要性极限主要性（1）极限是一个思想办法极限是一个思想办法（2）极限是一个概念）极限是一个概念（3）极限是一个计算办法极限是一个计算办法 从结识有限到把握无限从结识有限到把握无限 从理解离散到理解连续从理解离散到理解连续 微积分中许多概念是微积分中许多概念是用极限定义用极限定义许多许多物理、几何量需要用极限来求物理、几何量需要用极限来求10/10/3第3页第3页函数极限问题是研究当自变量函数极限问题是研究当自变量一、函数极限一、函数极限趋向于趋向于改变趋势改变趋势或趋向于无穷大时，函数或趋向于无穷大时，函数（两种基本改变趋势）两种基本改变趋势）趋向于一点趋向于一点(一一)自变量改变自变量改变 趋向于无穷趋向于无穷10/10/4第4页第4页定义定义1：（二）函数极限定义（二）函数极限定义1.函数在一点极限函数在一点极限10/10/5第5页第5页注意注意考虑空心邻域，是什麽意思？考虑空心邻域，是什麽意思？考虑函数在一点极限时，不考虑函数考虑函数在一点极限时，不考虑函数在该点处是否有定义，定义值是什麽，在该点处是否有定义，定义值是什麽，但是，在附近必须要有定义。但是，在附近必须要有定义。例例110/10/6第6页第6页例例210/10/7第7页第7页定义定义2：（左、右极限）（左、右极限）10/10/8第8页第8页一点极限与单侧极限有什麽关系？一点极限与单侧极限有什麽关系？例例观测图形观测图形问题：问题：10/10/9第9页第9页2.函数在无穷远极限函数在无穷远极限定义定义3：类似可定义类似可定义或或10/10/10第10页第10页比如比如10/10/11第11页第11页定义定义4：3.函数极限准拟定义函数极限准拟定义10/10/12第12页第12页二、函数极限性质二、函数极限性质性质性质2:（有界性）（有界性）函数极限假如存在，则函数一定有界函数极限假如存在，则函数一定有界.性质性质1:（唯一性）（唯一性）函数极限假如存在，则一定是唯一函数极限假如存在，则一定是唯一.10/10/13第13页第13页性质性质3:（保号性）（保号性）性质性质410/10/14第14页第14页（一）四则运算定理（一）四则运算定理注注：表示表示任一个趋向任一个趋向.三、极限运算法则三、极限运算法则10/10/15第15页第15页（二）复合函数极限定理（二）复合函数极限定理注注意意比如：比如：10/10/16第16页第16页（三）夹逼定理（三）夹逼定理:（四）（四）初等函数极限初等函数极限10/10/17第17页第17页四、两个主要极限四、两个主要极限1.2.10/10/18第18页第18页利用夹逼定理利用夹逼定理考虑不等式考虑不等式即证实证实亦即10/10/19第19页第19页将（1）式与（2）式结合起来，得到有有10/10/20第20页第20页即10/10/21第21页第21页定义定义1 1：在某个改变过程中在某个改变过程中,极限为零极限为零 函数函数,称为在此改变过程中称为在此改变过程中 无穷小量（无穷小）无穷小量（无穷小）。五、无穷小量与无穷大量五、无穷小量与无穷大量（一）定义（一）定义比如：比如：注意：无穷小量是极限 为零函数！无穷小量不是绝对值很小数！10/10/22第22页第22页定义定义2 2：在某个改变过程中在某个改变过程中,绝对值无限绝对值无限 变大函数变大函数,称为在此改变过程中称为在此改变过程中 无穷大量（无穷大）无穷大量（无穷大）。10/10/23第23页第23页例例10/10/24第24页第24页（二）无穷小与无穷大性质（二）无穷小与无穷大性质性质性质1：注意：注意：性质性质1只能够推广到有限个函数只能够推广到有限个函数例例10/10/25第25页第25页性质性质3：性质性质2：10/10/26第26页第26页 例例 例例10/10/27第27页第27页1.（无穷小与无穷大）（无穷小与无穷大）2.（极限与无穷小）（极限与无穷小）（三）三个主要关系（三）三个主要关系10/10/28第28页第28页3.无穷大与无界函数无穷大与无界函数问题：问题：两个无穷小量商是否为无穷小量？两个无穷小量商是否为无穷小量？10/10/29第29页第29页