黑龙江省绥化市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

黑龙江省绥化市2019年中考数学试卷
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑
1．我们的祖国地域辽阔，其中领水面积约为370000km2．把370000这个数用科学记数法表示为（　　）
A．37×104 B．3.7×105 C．0.37×106 D．3.7×106
2．下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A．＝±3 B．（﹣1）0＝0 C． +＝ D．＝2
4．若一个几何体的主视图、俯视图、左视图都是半径相等的圆，则这个几何体是（　　）
A．球体 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体
5．下列因式分解正确的是（　　）
A．x2﹣x＝x（x+1） B．a2﹣3a﹣4＝（a+4）（a﹣1）
C．a2+2ab﹣b2＝（a﹣b）2 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
6．不透明袋子中有2个红球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球是红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．下列命题是假命题的是（　　）
A．三角形两边的和大于第三边
B．正六边形的每个中心角都等于60°
C．半径为R的圆内接正方形的边长等于R
D．只有正方形的外角和等于360°
8．小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（　　）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
9．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB＝4，EF＝2，设AE＝x．当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是（　　）
①当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个
②当0＜x＜4﹣2时，P点最多有9个
③当P点有8个时，x＝2﹣2
④当△PEF是等边三角形时，P点有4个

A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
11．某年一月份，哈尔滨市的平均气温约为﹣20℃，绥化市的平均气温约为﹣23℃，则两地的温差为　 　℃．
12．若分式有意义，则x的取值范围是　 　．
13．计算：（﹣m3）2÷m4＝　 　．
14．已知一组数据1，3，5，7，9，则这组数据的方差是　 　．
15．当a＝2018时，代数式（﹣）÷的值是　 　．
16．用一个圆心角为120°的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面半径恰好等于4，则这个圆锥的母线长为　 　．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝　 　度．

18．一次函数y1＝﹣x+6与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是　 　．

19．甲、乙两辆汽车同时从A地出发，开往相距200km的B地，甲、乙两车的速度之比是4：5，结果乙车比甲车早30分钟到达B地，则甲车的速度为　 　km/h．
20．半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为　 　．
21．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2019的坐标是　 　．

三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
22．（6分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1，﹣1）
（1）请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1；
（2）请在网格中，过点C画一条直线CD，将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB相交于点D，写出点D的坐标；
（3）若另有一点P（﹣3，﹣3），连接PC，则tan∠BCP＝　 　．

23．（6分）小明为了了解本校学生的假期活动方式，随机对本校的部分学生进行了调查．收集整理数据后，小明将假期活动方式分为五类：A．读书看报；B．健身活动；C．做家务；D．外出游玩；E．其他方式，并绘制了不完整的统计图如图．统计后发现“做家务”的学生人数占调查总人数的20%．
请根据图中的信息解答下列问题：
（1）本次调查的总人数是　 　人；
（2）补全条形统计图；
（3）根据调查结果，估计本校2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有多少人？

24．（6分）按要求解答下列各题：
（1）如图①，求作一点P，使点P到∠ABC的两边的距离相等，且在△ABC的边AC上．（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）如图②，B、C表示两个港口，港口C在港口B的正东方向上．海上有一小岛A在港口B的北偏东60°方向上，且在港口C的北偏西45°方向上．测得AB＝40海里，求小岛A与港口C之间的距离．（结果可保留根号）

25．（6分）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．
26．（7分）如图，AB为⊙O的直径，AC平分∠BAD，交弦BD于点G，连接半径OC交BD于点E，过点C的一条直线交AB的延长线于点F，∠AFC＝∠ACD．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）若DE＝2CE＝2．
①求AD的长；
②求△ACF的周长．（结果可保留根号）

27．（7分）甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了6小时．在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数y（个）与甲加工时间x（h）之间的函数图象为折线OA﹣AB﹣BC，如图所示．
（1）这批零件一共有　 　个，甲机器每小时加工　 　个零件，乙机器排除故障后每小时加工　 　个零件；
（2）当3≤x≤6时，求y与x之间的函数解析式；
（3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？

28．（9分）如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点（不与B、D重合），连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N
（1）求证：MN＝MC；
（2）若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；
（3）如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．

29．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝，交x轴于点A、B，交y轴于点C，且点A坐标为A（﹣2，0）．直线y＝﹣mx﹣m（m＞0）与抛物线交于点P、Q（点P在点Q的右边），交y轴于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若n＝﹣5，且△CPQ的面积为3，求m的值；
（3）当m≠1时，若n＝﹣3m，直线AQ交y轴于点K．设△PQK的面积为S，求S与m之间的函数解析式．

参考答案与试题解析
一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑
1．解：370000用科学记数法表示应为3.7×105，
故选：B．
2．解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误，
故选：C．
3．解：A、＝3，故此选项错误；
B、（﹣1）0＝1，故此选项错误；
C、+无法计算，故此选项错误；
D、＝2，正确．
故选：D．
4．解：主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球体．
故选：A．
5．解：A、原式＝x（x﹣1），错误；
B、原式＝（a﹣4）（a+1），错误；
C、a2+2ab﹣b2，不能分解因式，错误；
D、原式＝（x+y）（x﹣y），正确．
故选：D．
6．解：从袋子中随机取出1个球是红球的概率＝＝．
故选：A．
7．解：A、三角形两边的和大于第三边，正确，是真命题；
B、正六边形的每个中心角都等于60°，正确，是真命题；
C、半径为R的圆内接正方形的边长等于R，正确，是真命题；
D、所有多边形的外角和均为360°，故错误，是假命题，
故选：D．
8．解：设小明购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得，
，
解得，1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x＝1或2或3，
∴有3种购买方案．
故选：C．
9．解：，
解①得x≥1，
解②得x＜2，
利用数轴表示为：
．
故选：B．
10．解：①如图1，
当x＝0（即E、A两点重合）时，P点有6个；
故①正确；
②当0＜x＜4﹣2时，P点最多有8个．
故②错误．
③当P点有8个时，如图2所示：
当0＜x＜﹣1或﹣1＜x＜4﹣4或2＜x＜4﹣﹣1或4﹣﹣1＜x＜4﹣2时，
P点有8个；
故③错误；
④如图3，
当△PMN是等边三角形时，
P点有4个；
故④正确；
当△PEF是等腰三角形时，关于P点个数的说法中，
不正确的是②③，
一定正确的是①④；
故选：B．

二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
11．解：﹣20﹣（﹣23）＝﹣20+23＝3（℃）．
故答案为3．
12．解：依题意得：x﹣4≠0．
解得 x≠4．
故答案是：x≠4．
13．解：（﹣m3）2÷m4＝：m6÷m4＝m2．
故答案为：m2．
14．解：∵1、3、5、7、9的平均数是（1+3+5+7+9）÷5＝5，
∴方差＝ [（1﹣5）2+（3﹣5）2+（5﹣5）2+（7﹣5）2+（9﹣5）2]＝8；
故答案为：8．
15．解：（﹣）÷
＝
＝a+1，
当a＝2018时，原式＝2018+1＝2019，
故答案为：2019．
16．解：设圆锥的母线长为l，
根据题意得：＝2π×4，
解得：l＝12，
故答案为：12．
17．解：设∠A＝x
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x，∠BDC＝2x
∵BD＝BC
∴∠C＝∠BDC＝2x，∠DBC＝x
∵在BDC中x+2x+2x＝180°
∴x＝36°
∴∠A＝36°．
故填36．
18．解：当2＜x＜4时，y1＞y2．
故答案为2＜x＜4．
19．解：设甲车的速度为xkm/h，则乙车的速度为xkm/h，
依题意，得：﹣＝，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
故答案为：80．
20．解：如图1，当∠ODB＝90°时，
即CD⊥AB，
∴AD＝BD，
∴AC＝BC，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠DBO＝30°，
∵OB＝5，
∴BD＝OB＝，
∴BC＝AB＝5，
如图2，当∠DOB＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴BC＝OB＝5，
综上所述：若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为5或5，
故答案为：5或5．

21．解：由题意知，
A1（，）
A2（1，0）
A3（，）
A4（2，0）
A5（，﹣）
A6（3，0）
A7（，）
…
由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：，0，，0，﹣这样循环，
∴A2019（，），
故答案为：（，）．
三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内
22．解：如图：
（1）作出线段B1、C1连接即可；
（2）画出直线CD，点D坐标为（﹣1，﹣4），
（3）连接PB，∵PB2＝BC2＝12+32＝10，PC2＝22+42＝20，
∴PB2+BC2＝PC2，
∴△PBC为等腰直角三角形，
∴∠PCB＝45°，
∴tan∠BCP＝1，
故答案为1．

23．解：（1）本次调查的总人数是8÷20%＝40（人），
故答案为：40；
（2）D活动方式的人数为40﹣（6+12+8+4）＝10（人），
补全图形如下：

（3）估计本校2360名学生中“假期活动方式”是“读书看报”的有2360×＝354（人）．
24．解：（1）如图，点P即为所求．

（2）作AD⊥BC于D．

在Rt△ABD中，∵AB＝40海里，∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝20（海里），
∵∠ACD＝45°，
∴AC＝AD＝20（海里）．
答：小岛A与港口C之间的距离为20海里．
25．解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，
解得：x＝，
∴k＝0符合题意；
当k≠0时，原方程为一元二次方程，
∵该一元二次方程有实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，
解得：k≤．
综上所述，k的取值范围为k≤．
（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，
∴x1+x2＝，x1x2＝．
∵x1+x2+x1x2＝4，
∴+＝4，
解得：k＝1，
经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．
∴k的值为1．
26．（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴C是弧BD的中点
∴OC⊥BD．
∴BE＝DE，
∵∠AFC＝∠ACD，∠ACD＝∠ABD，
∴∠AFC＝∠ABD，
∴BD∥CF，
∴OC⊥CF，
∵OC是半径，
∴CF是圆O切线；
（2）解：①设OC＝R．
∵DE＝2CE＝2，
∴BE＝DE＝2，CE＝1．
∴OE＝R﹣1，
在Rt△OBE中（R﹣1）2+22＝R2．
解得 R＝．
∴OE＝﹣1＝，
由（1）得，OA＝OB，BE＝DE，
∴AD＝2OE＝3；
②连接BC．
∵BD∥CF，
∴，
∵BE＝2，OE＝，R＝
∴CF＝，OF＝，
∴AF＝OF+OA＝，
在Rt△BCE中，CE＝l，BE＝2，
∴BC＝＝．
∵AB是直径，
∴△ACB为直角三角形．
∴AC＝＝2．
∴△ACF周长＝AC+FC+AF＝10+2．

27．解：（1）这批零件一共有270个，
甲机器每小时加工零件：（90﹣550）÷（3﹣1）＝20（个），
乙机器排除故障后每小时加工零件：（270﹣90﹣20×3）÷3＝40（个）；
故答案为：270；20；40；
（2）设当3≤x≤6时，y与x之间的函数关系是为y＝kx+b，
把B（3，90），C（6，270）代入解析式，得
，解得，
∴y＝60x﹣90（3≤x≤6）；
（3）设甲价格x小时时，甲乙加工的零件个数相等，
①20x＝30，解得x＝15；
②50﹣20＝30，
20x＝30+40（x﹣3），解得x＝4.5，
答：甲加工1.5h或4.5h时，甲与乙加工的零件个数相等．
28．解：（1）如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，

则四边形BEMF是平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，
∴ME＝BE，
∴平行四边形BEMF是正方形，
∴ME＝MF，
∵CM⊥MN，
∴∠CMN＝90°，
∵∠FME＝90°，
∴∠CME＝∠FMN，
∴△MFN≌△MEC（ASA），
∴MN＝MC；
（2）由（1）得FM∥AD，EM∥CD，
∴＝＝＝，
∴AF＝2.4，CE＝2.4，
∵△MFN≌△MEC，
∴FN＝EC＝2.4，
∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，
∴AN＝4BN；
（3）如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，

∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，
∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH，∠DCM＝∠BCH＝45°，
∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，
∵MC＝MN，MC⊥MN，
∴△MNC是等腰直角三角形，
∴∠MNC＝45°，
∴∠NCH＝45°，
∴△MCG≌△HCG（SAS），
∴MG＝HG，
∵BG：MG＝3：5，
设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，
在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，
∵正方形ABCD的边长为6，
∴BD＝6，
∴DM+MG+BG＝12a＝6，
∴a＝，
∴BG＝，MG＝，
∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，
∴△MGC∽△NGB，
∴＝，
∴CG•NG＝BG•MG＝．
29．解：（1）将点A（﹣2，0）代入解析式，得4a﹣2b+3＝0，
∵x＝﹣＝，
∴a＝﹣，b＝；
∴y＝﹣x2+x+3；
（2）设点Q横坐标x1，点P的横坐标x2，则有x1＜x2，
把n＝﹣5代入y＝﹣mx﹣n，
∴y＝﹣mx+5，
联立y＝﹣mx+5，y＝﹣x2+x+3得：
﹣mx+5＝﹣x2+x+3，
∴x2﹣（2m+1）x+4＝0，
∴x1+x2＝2m+1，x1x2＝4，
∵△CPQ的面积为3；
∴S△CPQ＝S△CHP﹣S△CHQ，
即HC（x2﹣x1）＝3，
∴x2﹣x1＝3，
∴﹣4x1x2＝9，
∴（2m+1）2＝25，
∴m＝2或m＝﹣3，
∵m＞0，
∴m＝2；
（3）当n＝﹣3m时，PQ解析式为y＝﹣mx+3m，
∴H（0，3m），
∵y＝﹣mx+3m与y＝﹣x2+x+3相交于点P与Q，
∴﹣mx+3m＝﹣x2+x+3，
∴x＝3或x＝2m﹣2，
当2m﹣2＜3时，有0＜m＜，
∵点P在点Q的右边，
∴P（3，0），Q（2m﹣2，﹣2m2+5m），
∴AQ的直线解析式为y＝x+5﹣2m，
∴K（0，5﹣2m），
∴HK＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|，
①当0＜m＜1时，如图①，HK＝5﹣5m，
∴S△PQK＝S△PHK+S△QHK＝HK（xP﹣xQ）＝（5﹣5m）（5﹣2m）＝5m2﹣m+，
②当1＜m＜时，如图②，HK＝5m﹣5，
∴S△PQK＝﹣5m2+m﹣，
③当2m﹣2＞3时，如图③，有m＞，
∴P（2m﹣2，﹣2m2+5m），Q（3，0），K（0，0），
∴S△PQK＝×KQ|yP|＝（2m2﹣5m）＝3m2﹣m，
综上所述，S＝；

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