湖南省怀化市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

2019年湖南省怀化市中考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）下列实数中，哪个数是负数（　　）
A．0 B．3 C． D．﹣1
2．（4分）单项式﹣5ab的系数是（　　）
A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2
3．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（　　）
A．27.6×103 B．2.76×103 C．2.76×104 D．2.76×105
4．（4分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（　　）
A．152 B．160 C．165 D．170
5．（4分）与30°的角互为余角的角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．70° D．90°
6．（4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1
7．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．（4分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
10．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（　　）只．
A．55 B．72 C．83 D．89
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．（4分）合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝　 　．
12．（4分）因式分解：a2﹣b2＝　 　．
13．（4分）计算：﹣＝　 　．
14．（4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为　 　．
15．（4分）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于　 　．
16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是　 　．

三、解答题（本大题共7小题，共86分）
17．（8分）计算：（π﹣2019）0+4sin60°﹣+|﹣3|
18．（8分）解二元一次方组：
19．（10分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．

20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．

21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
王方
7
10
9
8
6
9
9
7
10
10
李明
8
9
8
9
8
8
9
8
10
8
（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：
王方10次射箭得分情况
环数
6
7
8
9
10
频数

频率

李明10次射箭得分情况
环数
6
7
8
9
10
频数

频率

（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；
（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．
22．（12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．
（1）计算∠CAD的度数；
（2）连接AE，证明：AE＝ME；
（3）求证：ME2＝BM•BE．

23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

2019年湖南省怀化市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分；每小題的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）
1．（4分）下列实数中，哪个数是负数（　　）
A．0 B．3 C． D．﹣1
【分析】根据小于零的数是负数，可得答案．
【解答】解：A、0既不是正数也不是负数，故A错误；
B、3是正实数，故B错误；
C、是正实数，故C错误；
D、﹣1是负实数，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了实数，小于零的数是负数，属于基础题型．
2．（4分）单项式﹣5ab的系数是（　　）
A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2
【分析】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案
【解答】解：单项式﹣5ab的系数是﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
3．（4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（　　）
A．27.6×103 B．2.76×103 C．2.76×104 D．2.76×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将27600用科学记数法表示为：2.76×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）抽样调查某班10名同学身高（单位：厘米）如下：160，152，165，152，160，160，170，160，165，159．则这组数据的众数是（　　）
A．152 B．160 C．165 D．170
【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫众数，可知160出现的次数最多．
【解答】解：数据160出现了4次为最多，
故众数是160，
故选：B．
【点评】此题主要考查了众数，关键是把握众数定义，难度较小．
5．（4分）与30°的角互为余角的角的度数是（　　）
A．30° B．60° C．70° D．90°
【分析】直接利用互为余角的定义分析得出答案．
【解答】解：与30°的角互为余角的角的度数是：60°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了互为余角的定义，正确把握互为余角的定义是解题关键．
6．（4分）一元一次方程x﹣2＝0的解是（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝0 D．x＝1
【分析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．
【解答】解：x﹣2＝0，
解得：x＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解法，正确掌握基本解题方法是解题关键．
7．（4分）怀化是一个多民族聚居的地区，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
8．（4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，
∴∠α＝30°．
故选：A．
【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．
9．（4分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
【分析】利用完全平方公式变形，从而得出方程的解．
【解答】解：∵x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
则x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10．（4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（　　）只．
A．55 B．72 C．83 D．89
【分析】设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值，再进一步计算可得．
【解答】解：设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，
由题意知，
解得：＜x＜12，
∵x为整数，
∴x＝11，
则这批种羊共有11+5×11+17＝83（只），
故选：C．
【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组．
二、填空题（每小题4分，共24分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）
11．（4分）合并同类项：4a2+6a2﹣a2＝　9a2　．
【分析】根据合并同类项法则计算可得．
【解答】解：原式＝（4+6﹣1）a2＝9a2，
故答案为：9a2．
【点评】本题考查合并同类项，合并同类项时要注意以下三点：
①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数；
②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的；
③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变．
12．（4分）因式分解：a2﹣b2＝　（a+b）（a﹣b）　．
【分析】利用平方差公式直接分解即可求得答案．
【解答】解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故答案为：（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题考查了平方差公式的应用．解题的关键是熟记公式．
13．（4分）计算：﹣＝　1　．
【分析】由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式的加减法，即同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．
14．（4分）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为　36°　．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，
∴等腰三角形的顶角＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
15．（4分）当a＝﹣1，b＝3时，代数式2a﹣b的值等于　﹣5　．
【分析】把a、b的值代入代数式，即可求出答案即可．
【解答】解：当a＝﹣1，b＝3时，2a﹣b＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了求代数式的值的应用，能正确进行有理数的混合运算是解此题的关键．
16．（4分）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是　n﹣1　．

【分析】由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1．
【解答】解：由题意“分数墙”的总面积＝2×+3×+4×+…+n×＝n﹣1，
故答案为n﹣1．
【点评】本题考查规律型问题，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题（本大题共7小题，共86分）
17．（8分）计算：（π﹣2019）0+4sin60°﹣+|﹣3|
【分析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号，再计算乘法，最后计算加减可得．
【解答】解：原式＝1+4×﹣2+3
＝1+2﹣2+3
＝4．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂的规定、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质．
18．（8分）解二元一次方组：
【分析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．
【解答】解：，
①+②得：
2x＝8，
解得：x＝4，
则4﹣3y＝1，
解得：y＝1，
故方程组的解为：．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．
19．（10分）已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形AECF是矩形．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，由已知得出∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，由AAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS）；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠AEB＝90°，
∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴四边形AECF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质和矩形的判定是解题的关键．
20．（10分）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．

【分析】如图，作AD⊥于BC于D．由题意得到BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，根据三角形的外角的性质得到∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，求得∠ABC＝∠BAC，得到BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作AD⊥于BC于D．
由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴BC＝AC＝60米．
在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．
答：这条河的宽度为30米．

【点评】此题主要考查了解直角三角形﹣方向角问题，解题时首先正确理解题意，然后作出辅助线构造直角三角形解决问题．
21．（12分）某射箭队准备从王方、李明二人中选拔1人参加射箭比赛，在选拔赛中，两人各射箭10次的成绩（单位：环数）如下：
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
王方
7
10
9
8
6
9
9
7
10
10
李明
8
9
8
9
8
8
9
8
10
8
（1）根据以上数据，将下面两个表格补充完整：
王方10次射箭得分情况
环数
6
7
8
9
10
频数
　1　
　2　
　1　
　3　
　3　
频率
　0.1　
　0.2　
　0.1　
　0.3　
　0.3　
李明10次射箭得分情况
环数
6
7
8
9
10
频数
　0　
　0　
　6　
　3　
　1　
频率
　0　
　0　
　0.6　
　0.3　
　0.1　
（2）分别求出两人10次射箭得分的平均数；
（3）从两人成绩的稳定性角度分析，应选派谁参加比赛合适．
【分析】（1）根据各组的频数除以10即可得到结论；
（2）根据加权平均数的定义即可得到结论；
（3）根据方差公式即可得到结论．
【解答】解：（1）
环数
6
7
8
9
10
频数
1
2
1
3
3
频率
0.1
0.2
0.1
0.3
0.3
李明10次射箭得分情况
环数
6
7
8
9
10
频数
0
0
6
3
1
频率
0
0
0.6
0.3
0.1
（2）王方的平均数＝（6+14+8+27+30）＝8.5；李明的平均数＝（48+27+10）＝8.5；
（3）∵S＝[（6﹣8.5）2+2（7﹣8.5）2+（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+3（10﹣8.5）2]＝1.85；
S＝[6（8﹣8.5）2+3（9﹣8.5）2+（10﹣8.5）2＝0.35；
∵S＞S，
∴应选派李明参加比赛合适．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
22．（12分）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．
（1）计算∠CAD的度数；
（2）连接AE，证明：AE＝ME；
（3）求证：ME2＝BM•BE．

【分析】（1）由题意可得∠COD＝70°，由圆周角的定理可得∠CAD＝36°；
（2）由圆周角的定理可得∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°，可求∠AME＝∠CAE＝72°，可得AE＝ME；
（3）通过证明△AEN∽△BEA，可得，可得ME2＝BE•NE，通过证明BM＝NE，即可得结论．
【解答】解：（1）∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴的度数＝＝72°
∴∠COD＝70°
∵∠COD＝2∠CAD
∴∠CAD＝36°
（2）连接AE

∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，
∴
∴∠CAD＝∠DAE＝∠AEB＝36°
∴∠CAE＝72°，且∠AEB＝36°
∴∠AME＝72°
∴∠AME＝∠CAE
∴AE＝ME
（3）连接AB

∵
∴∠ABE＝∠DAE，且∠AEB＝∠AEB
∴△AEN∽△BEA
∴
∴AE2＝BE•NE，且AE＝ME
∴ME2＝BE•NE
∵
∴AE＝AB，∠CAB＝∠CAD＝∠DAE＝∠BEA＝∠ABE＝36°
∴∠BAD＝∠BNA＝72°
∴BA＝BN，且AE＝ME
∴BN＝ME
∴BM＝NE
∴ME2＝BE•NE＝BM•BE
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明△AEN∽△BEA是本题的关键．
23．（14分）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．
①若S△PMN＝2，求k的值；
②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；
③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

【分析】（1）求出点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），即可求解；
（2）①S△PMN＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，即可求解；②k1k2＝＝＝﹣1，即可求解；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，即可求解．
【解答】解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，
即点A、B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），
则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），
即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
点P（1，4）；
（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：
x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，
设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），
则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，
则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，
同理：y1y2＝9﹣4k2，
①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），
S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，
|x2﹣x1|＝，
解得：k＝±2；
②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），
则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，
为：k1k2＝＝＝﹣1，
故PM⊥PN，
即：△PMN恒为直角三角形；
③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，

设点H坐标为（x，y），
则x＝＝1﹣k，
y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），
整理得：y＝﹣2x2+4x+1，
即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识等，其中，用韦达定理处理复杂数据，是本题解题的关键．

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