2022年湖南省衡阳市中考数学真题及答案.docx

2022年衡阳市初中学业水平考试试卷
数 学
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.）
1. －2的绝对值是（ ）
A. －2 B. 2 C. D.
2. 石鼓广场供游客休息的石板凳如下图所示，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
3. 下列选项中的垃圾分类图标，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）

A. 可回收物 B. 其他垃圾 C. 有害垃圾 D. 厨余垃圾
4. 为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗.截止至2022年5月底，我国疫苗接种高达339000万剂次，数据339000万用科学记数法可表示为的形式，则的值是（ ）
A. 0.339 B. 3.39 C. 33.9 D. 339
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列说法正确的是（ ）
A. “任意画一个三角形，其内角和为”是必然事件
B. 调查全国中学生的视力情况，适合采用普查的方式
C. 抽样调查的样本容量越小，对总体的估计就越准确
D. 十字路口的交通信号灯有红、黄、绿三种颜色，所以开车经过十字路口时，恰好遇到黄灯的概率是
7. 如果二次根式有意义，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、剪枝、捉鱼、采摘五项实践活动，已知五个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，39，42，42，则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. 38，39 B. 35，38 C. 42，39 D. 42，35
9. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形
11. 在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（ ）（结果精确到.参考数据：，，）

A. B. C. D.
12. 如图，在四边形中，，，，平分.设，，则关于的函数关系用图象大致可以表示为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）
13. 因式分解：_________.
14. 计算：_________.
15. 计算：_________.
16. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接.若，，则的周长为_________.

17. 如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了_________.（结果保留）

18. 回雁峰座落于衡阳雁峰公园，为衡山七十二峰之首.王安石曾赋诗联“万里衡阳雁，寻常到此回”.峰前开辟的雁峰广场中心建有大雁雕塑，为衡阳市城徽.某课外实践小组为测量大雁雕塑的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图，，，.已知测角仪的高度为，则大雁雕塑的高度约为_________.（结果精确到.参考数据：）

三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19.（本小题满分6分）
先化简，再求值.，其中，.
20.（本小题满分6分）
如图，在中，，、是边上的点，且，求证：.

21.（本小题满分8分）
为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校拟开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会，为了解学生最喜爱的项目，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：

根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与此次抽样调查的学生人数是_________人，补全统计图①（要求在条形图上方注明人数）；
（2）图②中扇形的圆心角度数为_________度；
（3）若参加成果展示活动的学生共有1200人，估计其中最喜爱“测量”项目的学生人数是多少；
（4）计划在，，，，五项活动中随机选取两项作为直播项目，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中，这两项活动的概率.
22.（本题满分8分）
冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉样物.冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国.小雅在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，每个雪容融玩偶可获利20元.

（1）求两种玩偶的进货价分别是多少？
（2）第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍.小雅计划购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
23.（本小题满分8分）
如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点.

（1）求反比例函数和一次函数的关系式；
（2）设直线交轴于点，点，分别在反比例函数和一次函数图象上，若四边形是平行四边形，求点的坐标.
24.（本小题8分）
如图，为的直径，过圆上一点作的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接.

（1）直线与相切吗？并说明理由；
（2）若，，求的长.
25.（本小题10分）
如图，已知抛物线交轴于、两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象”，图象交轴于点.

（1）写出图象位于线段上方部分对应的函数关系式；
（2）若直线与图象有三个交点，请结合图象，直接写出的值；
（3）为轴正半轴上一动点，过点作轴交直线于点，交图象于点，是否存在这样的点，使与相似？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
26.（本小题满分12分）
如图，在菱形中，，，点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，过点作于点，作交直线于点，交直线于点，设与菱形重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动时间为（秒）.

（1）当点与点重合时，求的值；
（2）当为何值时，与全等；
（3）求与的函数关系式；
（4）以线段为边，在右侧作等边三角形，当时，求点运动路径的长.

2022年衡阳市初中学业水平考试试卷解析
数 学
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
A
C
B
D
A
B
C
A
C
B
D
12.【解析】∵，∴，
∵平分，∴，
∴，则，即为等腰三角形，
过点做于点.
则垂直平分，，，
∵，，
∴，
∴，∴，
∴，
∵在中，，
∴，
故关于的函数图像是D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.）
13
14
15
16
17
18

4
2
23

10.2
18.【解析】∵且，
∴，
∴，
即.
∴，
∴，
故答案为.
三、解答题（本大题共8小题，19-20每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19. 解：原式，
将，代入式中得：
原式.
20. 证明：∵，∴为等腰三角形，
∴，
又∵，
∴在和中，，
∴，
∴.
21. 答：（1）因为参与活动的人数为36人，占总人数，所以总人数人，
则参与活动的人数为：人；
补全统计图如下：

（2）扇形的圆心角为：；
（3）最喜爱“测量”项目的学生人数是：人；
（4）列表如下：
第一项
第二项

——

——

——

——

——
或者树状图如下：

所以，选中、这两项活动的概率为：.
22.（1）解：设冰墩墩进价为元，雪容融进价为元.
得，解得，
∴冰墩墩进价为72元，雪容融进价为64元.
（2）设冰墩墩进货个，雪容融进货个，设利润为，
得关于利润解析式，
∵，所以利润随增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
得，解得.
∴当取24时利润取得最大值为992.
23.（1）解：将代入反比例函数解析式求得，，即反比例函数解析式为，将代入反比例函数解析式中求得，即，将，代入，求得，得，综上反比例函数解析式为，一次函数解析式为.
（2）由题，且四边形为平行四边形，且固定，
∴，横坐标相同，设，，
∵即，解得，
∴或.
24.（1）证明：连接.
∵为切线，∴，
又∵，∴，，
且，∴，
在与中；
∵，
∴，
∴，
∴直线与相切.

（2）设半径为；
则：，得；
在直角三角形中，，
，解得.
25. 解：（1）由翻折可知：.
令，解得：，，
所以，，，
设图象的解析式为，代入，解得，
所以解析式为.
（2）或
（3）如图1，当时，，此时，；
如图2，当时，，
此时，点纵坐标为2，，解得，（舍）；
所以；
如图3，当时，，此时，直线的解析式：；联立方程组：，解得，（舍），所以.
因此，综上所述：点坐标为或或.

26. 解：（1）与重合时，
∵，∴，∴.

（2）①当时，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴.
②当，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴.
∴或.
（3）①当时，
，∴，
∴.

②当时，
∵，，
∴，
∴，
∴.

（4）连接.
∵为正三角形，∴，
在中，，
∴为定值.
∴的运动轨迹为直线，
，
当时，
当时，
∴的运动路径长为.

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