热传导方程的差分解法公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件.pptx
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1、第九章 热传导方程差分解法第1页第1页n n9.1 9.1 热传导方程概述热传导方程概述 考虑三维空间温度改变情况考虑三维空间温度改变情况,设设 t t 时刻点时刻点(x,y,z)(x,y,z)处温度为处温度为u(x,y,z,t),u(x,y,z,t),则则 t t 时间内通过横截面积时间内通过横截面积 S S 传导热量为传导热量为(沿沿 n n 方向方向):):其中其中:K(x,y,z,t):K(x,y,z,t)是介质热传导系数是介质热传导系数,为温度梯度法向量分量为温度梯度法向量分量.取空间中一个小区域取空间中一个小区域 V,V,其边界面其边界面 S S 为一封闭曲面为一封闭曲面.则则 t
2、 t1 1 到到 t t2 2 时刻通过包面时刻通过包面 S S 传入传入 V V 热量为热量为:第2页第2页由高斯公式由高斯公式:n n为哈密顿算子为哈密顿算子:设介质比热容为设介质比热容为 c,c,密度为密度为 ,则则 V V 内温度改变消耗热量内温度改变消耗热量:设设 V V 内部热源密度为内部热源密度为 F(x,y,z,t),F(x,y,z,t),则内部热源产生热量为则内部热源产生热量为:第3页第3页依据能量守恒原则依据能量守恒原则:Q:Q2 2=Q=Q1 1+Q+Q3 3即即:亦即亦即:若若 F(x,y,z,t)F(x,y,z,t)0,c,0,c,K,K,为常数为常数,则则:第4页第
3、4页其中其中:为拉普拉斯算子为拉普拉斯算子:因此热传导方程为因此热传导方程为:其中其中:K K c c.第5页第5页n n 9.2 一维热传导方程差分解法一维热传导方程一维热传导方程:n n初值问题初值问题初值条件初值条件:n n初边值混合问题初边值混合问题初值条件初值条件:边值条件边值条件:(:(关于边界点关于边界点x=0 x=0和和x=l)x=l)第一类第一类.第6页第6页n n第二类:n n第三类:n n其中g1(t),g2(t),1(t),2(t)为给定函数,要求1(t),2(t),且不同时为零.第7页第7页设空间步长为设空间步长为 h,h,时间步长为时间步长为 .把空间和时间离散化把
4、空间和时间离散化:近似微分近似微分:故可定义故可定义:对空间一阶向前插商对空间一阶向前插商:第8页第8页对空间一阶向后插商对空间一阶向后插商:对空间二阶中心差商对空间二阶中心差商:对时间一阶向前插商对时间一阶向前插商:第9页第9页代入热传导方程代入热传导方程:迭代公式迭代公式:第10页第10页 t t i-1 i i+1 x k+1 k第11页第11页第一类初边值条件第一类初边值条件:已知已知:第12页第12页第二类初边值条件第二类初边值条件:已知已知即即:第13页第13页计算过程计算过程:第14页第14页第三类初边值条件第三类初边值条件:已知已知:即即:第15页第15页例例1:1:差分方程差
5、分方程:初边值条件初边值条件:第16页第16页function u=rcd(lamda,tao,h,H,T)function u=rcd(lamda,tao,h,H,T)x=0:h:H;x=0:h:H;t=0:tao:T;t=0:tao:T;a=tao*lamda/h2;a=tao*lamda/h2;N=length(x);N=length(x);M=length(t);M=length(t);u(:,1)=(4*x.*(1-x);u(:,1)=(4*x.*(1-x);u(1,2:M)=0;u(1,2:M)=0;u(N,2:M)=0;u(N,2:M)=0;for k=1:M-1for k=1:
6、M-1 for i=2:N-1 for i=2:N-1 u(i,k+1)=a*u(i+1,k)+(1-2*a)*u(i,k)+a*u(i-1,k);u(i,k+1)=a*u(i+1,k)+(1-2*a)*u(i,k)+a*u(i-1,k);end endendend第17页第17页h1=line(Color,1 0 h1=line(Color,1 0 0,Marker,.,MarkerSize,20,EraseMode,xor);0,Marker,.,MarkerSize,20,EraseMode,xor);for i=1:length(t)for i=1:length(t)set(h1,Xd
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