四川省广元市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

2019年四川省广元市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．
1．（3分）﹣8的相反数是（　　）
A．﹣ B．﹣8 C．8 D．
2．（3分）下列运算中正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B．a7÷a＝a6 C．a3•a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6
3．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞1 B．x＜1 C．x≤1 D．x≥1
4．（3分）如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的中位数为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．9
5．（3分）我国古代数学家刘徽用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的俯视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．4.8
7．（3分）不等式组的非负整数解的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（3分）如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D，设△PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为（　　）

A． B．
C． D．
9．（3分）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，有下列结论：①BE＝DE；②CE+DE＝EF；③S△DEC＝﹣；④＝2﹣1．则其中正确的结论有（　　）

A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
10．（3分）如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（　　）

A．（）100 B．（3）100 C．3×4199 D．3×2395
二、填空题（每小颕3分，共15分）把正确答案直接填写在答题卡对应题日的横线上.
11．（3分）分解因式：a3﹣4a＝　 　．
12．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣a﹣3）在第　 　象限．
13．（3分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC＝2，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC，连接BD，则BD2的值是　 　．

14．（3分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是　 　．

15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0），（0，2），且顶点在第一象限，设M＝4a+2b+c，则M的取值范围是　 　．

三、解答题（共75分）要求写出必要的解答步骤或证明过程.
16．（6分）计算：|﹣2|+（π﹣2019）0﹣（﹣）﹣1+3tan30°
17．（6分）先化简：（﹣x﹣1）•，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
18．（7分）如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别是边BC，AC的中点．求证：DF＝BE．

19．（8分）如今很多初中生喜欢购头饮品饮用，既影响身体健康又给家庭增加不必要的开销，为此某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水，B．瓶装矿泉水，C．碳酸饮料，D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题

（1）这个班级有多少名同学？并补全条形统计图；
（2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如下表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？
饮品名称
白开水
瓶装矿泉水
碳酸饮料
非碳酸饮料
平均价格（元/瓶）
0
2
3
4
（3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用白开水的5名班委干部（其中有两位班长记为A，B，其余三位记为C，D，E）中随机抽取2名班委干部作良好习惯监督员，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到2名班长的概率．
20．（8分）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．
（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？
（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？
21．（8分）如图，某海监船以60海里/时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方同．（以下结果保留根号）
（1）求B，C两处之问的距离；
（2）求海监船追到可疑船只所用的时间．

22．（10分）如图，在平闻直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B（0，7），与反比例函数y＝在第二象限内的图象相交于点A（﹣1，a）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求△ACD的面积；
（3）设直线CD的解析式为y＝mx+n，根据图象直接写出不等式mx+n≤的解集．

23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于E，连接CO，CB．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求PA的长；
（3）试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．

24．（12分）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．

2019年四川省广元市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的．
1．【解答】解：﹣8的相反数是8，
故选：C．
2．【解答】解：A．a5+a5＝2a5，故选项A不合题意；
B．a7÷a＝a6，故选项B符合题意；
C．a3•a2＝a5，故选项C不合题意；
D．（﹣a3）2＝a6，故选项D不合题意．
故选：B．
3．【解答】解：根据题意得x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：D．
4．【解答】解：∵一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，
∴6+7+x+9+5＝2x×5，
解得：x＝3，
则从大到小排列为：3，5，6，7，9，
故这组数据的中位数为：6．
故选：B．
5．【解答】解：该几何体的俯视图是：
．
故选：A．
6．【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵OD⊥AC，
∴CD＝AD＝AC＝4，
在Rt△CBD中，BD＝＝2．
故选：C．
7．【解答】解：，
解①得：x＞﹣2，
解②得x≤3，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤3．
故非负整数解为0，1，2，3共4个
故选：B．
8．【解答】解：分三种情况：
①当P在AB边上时，如图1，
设菱形的高为h，
y＝AP•h，
∵AP随x的增大而增大，h不变，
∴y随x的增大而增大，
故选项C和D不正确；
②当P在边BC上时，如图2，
y＝AD•h，
AD和h都不变，
∴在这个过程中，y不变，
故选项B不正确；
③当P在边CD上时，如图3，
y＝PD•h，
∵PD随x的增大而减小，h不变，
∴y随x的增大而减小，
∵P点从点A出发沿在A→B→C→D路径匀速运动到点D，
∴P在三条线段上运动的时间相同，
故选项A正确；
故选：A．

9．【解答】证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°．
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，故①正确；

②在EF上取一点G，使EG＝EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE．
∴∠CBE＝∠CDE，
∵BC＝CF，
∴∠CBE＝∠F，
∴∠CBE＝∠CDE＝∠F．
∵∠CDE＝15°，
∴∠CBE＝15°，
∴∠CEG＝60°．
∵CE＝GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE＝60°，CE＝GC，
∴∠GCF＝45°，
∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，
∴EF＝CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，
根据勾股定理求出AC＝，
由面积公式得：AD×DC＝AC×DM，
∴DM＝，
∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°，
∴CM＝，EM＝，
∴CE＝CM﹣EM＝﹣
∴S△DEC＝CE×DM＝﹣，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE＝2ME＝，
∵△ECG是等边三角形，
∴CG＝CE＝﹣，
∵∠DEF＝∠EGC＝60°，
∴DE∥CG，
∴△DEH∽△CGH，
∴＝＝＝+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．

10．【解答】解：∵点A0的坐标是（0，1），
∴OA0＝1，
∵点A1在直线y＝x上，
∴OA1＝2，A0A1＝，
∴OA2＝4，
∴OA3＝8，
∴OA4＝16，
得出OAn＝2n，
∴AnAn+1＝2n•，
∴OA198＝2198，A198A199＝2198•，
∵S1＝（4﹣1）•＝，
∵A2A1∥A200A199，
∴△A0A1A2∽△A198A199A200，
∴＝（）2，
∴S＝2396•＝3×2395
故选：D．
二、填空题（每小颕3分，共15分）把正确答案直接填写在答题卡对应题日的横线上.
11．【解答】解：原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）
12．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴，
解得：a＞﹣1且a≠0．
∴a+1＞0，﹣a﹣3＜0，
∴点P（a+1，﹣a﹣3）在第四象限．
故答案为：四．
13．【解答】解：如图，连接AD，设AC与BD交于点O，

解：如图，连接AM，
由题意得：CA＝CD，∠ACD＝60°
∴△ACD为等边三角形，
∴AD＝CD，∠DAC＝∠DCA＝∠ADC＝60°；
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝CD＝2，
∵AB＝BC，CD＝AD，
∴BD垂直平分AC，
∴BO＝AC＝，OD＝CD•sin60°＝，
∴BD＝+
∴BD2＝（+）2＝8+4，
故答案为8+4
14．【解答】解：过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，
则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，
∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，
∴OP＝OA＝6，
∴OM＝OA＝×6＝3，
∴PM＝OP+OM＝6+3，
∴则点P到AC距离的最大值是6+3，
故答案为：6+3．

15．【解答】解：将（﹣1，0）与（0，2）代入y＝ax2+bx+c，
∴0＝a﹣b+c，2＝c，
∴b＝a+2，
∵＞0，a＜0，
∴b＞0，
∴a＞﹣2，
∴﹣2＜a＜0，
∴M＝4a+2（a+2）+2
＝6a+6
＝6（a+1）
∴﹣6＜M＜6，
故答案为：﹣6＜M＜6；
三、解答题（共75分）要求写出必要的解答步骤或证明过程.
16．【解答】解：原式＝2﹣+1﹣（﹣3）+3×＝2﹣+1+3+＝6．
17．【解答】解：原式＝[﹣﹣]•
＝•
＝，
当x＝1，2时分式无意义，
将x＝3，代入原式得：
则原式＝＝﹣5．
18．【解答】证明：∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝90°，
∵点E，F分别是边BC，AC的中点，
∴AF＝FC，BE＝EC，FE是△ABC的中位线，
∴FE＝AB，FE∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠EFC，
∵AD＝AB，
∴AD＝FE，
在△ADF和△FEC中，，
∴△ADF≌△FEC（SAS），
∴DF＝EC，
∴DF＝BE．
19．【解答】解：（1）这个班级的学生人数为15÷30%＝50（人），
选择C饮品的人数为50﹣（10+15+5）＝20（人），
补全图形如下：

（2）＝2.2（元），
答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元；

（3）画树状图如下：

由树状图知共有20种等可能结果，其中恰好抽到2名班长的有2种结果，
所以恰好抽到2名班长的概率为＝．
20．【解答】解：（1）设甲种水果的单价是x元，则乙种水果的单价是（x+4）元，
，
解得，x＝16，
经检验，x＝16是原分式方程的解，
∴x+4＝20，
答：甲、乙两种水果的单价分别是16元、20元；
（2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果（200﹣a）千克，利润为w元，
w＝（20﹣16）a+（25﹣20）（200﹣a）＝﹣a+1000，
∵甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，
∴，
解得，145≤a≤150，
∴当a＝145时，w取得最大值，此时w＝855，200﹣a＝55，
答：水果商进货甲种水果145千克，乙种水果55千克，才能获得最大利润，最大利润是855元．
21．【解答】解：（1）作CE⊥AB于E，如图1所示：
则∠CEA＝90°，
由题意得：AB＝60×1.5＝90（海里），∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°，
∴△ACE是等腰直角三角形，∠CBE＝60°，
∴CE＝AE，∠BCE＝30°，
∴CE＝BE，BC＝2BE，
设BE＝x，则CE＝x，AE＝BE+AB＝x+90，
∴x＝x+90，
解得：x＝45+45，
∴BC＝2x＝90+90；
答：B，C两处之问的距离为（90+90）海里；
（2）作DF⊥AB于F，如图2所示：
则DF＝CE＝x＝135+45，∠DBF＝90°﹣60°＝30°，
∴BD＝2DF＝270+90，
∴海监船追到可疑船只所用的时间为＝3+（小时）；
答：海监船追到可疑船只所用的时间为（3+）小时．

22．【解答】解：（1））∵点A（﹣1，a）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝＝8，
∴A（﹣1，8），
∵点B（0，7），
∴设直线AB的解析式为y＝kx+7，
∵直线AB过点A（﹣1，8），
∴8＝﹣k+7，解得k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7；
（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为y＝﹣x﹣2，
∴D（0，﹣2），
∴BD＝7+2＝9，
联立，解得或，
∴C（﹣4，2），E（2，﹣4），
连接AC，则△CBD的面积＝×9×4＝18，
由平行线间的距离处处相等可得△ACD与△CDB面积相等，
∴△ACD的面积为18．
（3）∵C（﹣4，2），E（2，﹣4），
∴不等式mx+n≤的解集是：﹣4＜x＜0或x＞2．

23．【解答】解：（1）证明：连接OD，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO＝90°，即∠PCD+∠OCD＝90°，
∵OA⊥CD
∴CE＝DE
∴PC＝PD
∴∠PDC＝∠PCD
∵OC＝OD
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠PDC+∠ODC＝∠PCD+∠OCD＝90°，
∴PD是⊙O的切线．
（2）如图2，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴tanB＝＝
设AC＝m，BC＝2m，则由勾股定理得：m2+（2m）2＝102，解得：m＝，
AC＝2，BC＝4，
∵CE×AB＝AC×BC，即10CE＝2×4，
∴CE＝4，BE＝8，AE＝2
在Rt△OCE中，OE＝OA﹣AE＝3，OC＝5，
∴CE＝＝＝4，
∵
∴OP×OE＝OC×OC，即3OP＝5×5，
∴OP＝，PA＝OP﹣OA＝﹣5＝．
（3）AB2＝4OE•OP
如图2，∵PC切⊙O于C，
∴∠OCP＝∠OEC＝90°，
∴△OCE∽△OPC
∴，即OC2＝OE•OP
∵OC＝AB
∴
即AB2＝4OE•OP．

24．【解答】解：（1）y＝﹣x+4…①，
令x＝0，y＝4，令y＝0，则x＝4，
故点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，4），
抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），
即﹣4a＝4，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4…②；
（2）设点E（m，0），
直线BC表达式中的k值为4，EF∥BC，
则直线EF的表达式为：y＝4x+n，
将点E坐标代入上式并解得：
直线EF的表达式为：y＝4x﹣4m…③，
联立①③并解得：x＝（m+1），
则点F（，），
S△BEF＝S△OAB﹣S△OBE﹣S△AEF＝×4×4﹣×4m﹣（4﹣m）×＝，
解得：m＝，
故点E（，0）、点E（2，2）；
（3）△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，则点E′（，4），
当x＝时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣（）2+3×+4≠4，
故点E′不在抛物线上．

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