广西贵港市2019年中考数学真题试题（含解析）.docx

2019年广西贵港市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 计算（-1）3的结果是（　　）
A. -1 B. 1 C. -3 D. 3
2. 某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（　　）
A. B. C. D.
3. 若一组数据为：10，11，9，8，10，9，11，9，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A. 9，9 B. 10，9 C. 9，9.5 D. 11，10
4. 若分式x2-1x+1的值等于0，则x的值为（　　）
A. ±1 B. 0 C. -1 D. 1
5. 下列运算正确的是（　　）
A. a3+(-a)3=-a6 B. (a+b)2=a2+b2 C. 2a2⋅a=2a3 D. (ab2)3=a3b5
6. 若点P（m-1，5）与点Q（3，2-n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（　　）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
7. 若α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，且1α+1β=-23，则m等于（　　）
A. -2 B. -3 C. 2 D. 3
8. 下列命题中假命题是（　　）
A. 对顶角相等 B. 直线y=x-5不经过第二象限
C. 五边形的内角和为540∘ D. 因式分解x3+x2+x=x(x2+x)
9. 如图，AD是⊙O的直径，AB=CD，若∠AOB=40°，则圆周角∠BPC的度数是（　　）
A. 40∘
B. 50∘
C. 60∘
D. 70∘

10. 将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC（图中阴影部分），若∠ACB=45°，则重叠部分的面积为（　　）

A. 22cm2 B. 23cm2 C. 4cm2 D. 42cm2
11. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6，则线段CD的长为（　　）
A. 23
B. 32
C. 26
D. 5

12. 如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是（　　）

A. S1+S2=CP2 B. 4F=2FD C. CD=4PD D. cos∠HCD=35
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 有理数9的相反数是______．
14. 将实数3.18×10-5用小数表示为______．
15. 如图，直线a∥b，直线m与a，b均相交，若∠1=38°，则∠2=______．

16. 若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数不小于3的概率是______．
17. 如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为23，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为______．
18. 我们定义一种新函数：形如y=|ax2+bx+c|（a≠0，且b2-4a＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y=|x2-2x-3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（-1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x=1；③当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x=-1或x=3时，函数的最小值是0；⑤当x=1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）
19. （1）计算：4-（3-3）0+（12）-2-4sin30°；
（2）解不等式组：6x-2＞2(x-4)23-3-x2≤-x3，并在数轴上表示该不等式组的解集．

20. 尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：
如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．

21. 如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1，0），点D（4，4）在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，直线y=23x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．
（1）求k，b的值；
（2）求△ACE的面积．

22. 为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“安全知识”考试．阅卷后，学校团委随机抽取了100份考卷进行分析统计，发现考试成绩（x分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．请根据图表提供的信息，解答下列问题：
分数段（分）
频数（人）
频率
51≤x＜61
a
0.1
61≤x＜71
18
0.18
71≤x＜81
b
n
81≤x＜91
35
0.35
91≤x＜101
12
0.12
合计
100
1
（1）填空：a=______，b=______，n=______；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）该校对考试成绩为91≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．

23. 为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．
（1）求这两年藏书的年均增长率；
（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

24. 如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA=2，PC=4，求AE的长．

25. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，-5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；
（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．

26. 已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．

（1）如图1，当∠CA′D=15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．
①写出旋转角α的度数；
②求证：EA′+EC=EF；
（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB=2，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）

答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：（-1）3表示3个（-1）的乘积，
所以（-1）3=-1．
故选：A．
本题考查有理数的乘方运算．
乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是1．
2.【答案】B
【解析】
解：从正面看去，一共两列，左边有2竖列，右边是1竖列．
故选：B．
先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共两列，左边有2竖列，右边是1竖列，结合四个选项选出答案．
本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是具有几何体的三视图及空间想象能力．
3.【答案】C
【解析】
解：将数据重新排列为8，9，9，9，10，10，11，11，
∴这组数据的众数为9，中位数为=9.5，
故选：C．
根据众数和中位数的概念求解可得．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
4.【答案】D
【解析】
解：==x-1=0，
∴x=1；
故选：D．
化简分式==x-1=0即可求解；
本题考查解分式方程；熟练掌握因式分解的方法，分式方程的解法是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】
解：a3+（-a3）=0，A错误；
（a+b）2=a2+2ab+b2，B错误；
（ab2）3=a3b5，D错误；
故选：C．
利用完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则运算即可；
本题考查整式的运算；熟练掌握完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：∵点P（m-1，5）与点Q（3，2-n）关于原点对称，
∴m-1=-3，2-n=-5，
解得：m=-2，n=7，
则m+n=-2+7=5．
故选：C．
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
7.【答案】B
【解析】
解：α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两实根，
∴α+β=2，αβ=m，
∵+===-，
∴m=-3；
故选：B．
利用一元二次方程根与系数的关系得到α+β=2，αβ=m，再化简+=，代入即可求解；
本题考查一元二次方程；熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】
解：A．对顶角相等；真命题；
B．直线y=x-5不经过第二象限；真命题；
C．五边形的内角和为540°；真命题；
D．因式分解x3+x2+x=x（x2+x）；假命题；
故选：D．
由对顶角相等得出A是真命题；由直线y=x-5的图象得出B是真命题；由五边形的内角和为540°得出C是真命题；由因式分解的定义得出D是假命题；即可得出答案．
本题考查了命题与定理、真命题和假命题的定义：正确的命题是真命题，错误的命题是假命题；属于基础题．
9.【答案】B
【解析】
解：∵=，∠AOB=40°，
∴∠COD=∠AOB=40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，
∴∠BOC=100°，
∴∠BPC=∠BOC=50°，
故选：B．
根据圆周角定理即可求出答案．
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】
解：如图，过B作BD⊥AC于D，则∠BDC=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠CBD=45°，
∴BD=CD=2cm，
∴Rt△BCD中，BC==2（cm），
∴重叠部分的面积为×2×2=2（cm），
故选：A．
过B作BD⊥AC于D，则∠BDC=90°，依据勾股定理即可得出BC的长，进而得到重叠部分的面积．
本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
11.【答案】C
【解析】
解：设AD=2x，BD=x，
∴AB=3x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴DE=4，=，
∵∠ACD=∠B，
∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠ACD，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴=，
设AE=2y，AC=3y，
∴=，
∴AD=y，
∴=，
∴CD=2，
故选：C．
设AD=2x，BD=x，所以AB=3x，易证△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出DE的长度，以及，再证明△ADE∽△ACD，利用相似三角形的性质即可求出得出=，从而可求出CD的长度．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
12.【答案】D
【解析】
解：∵正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，
∴S1=CD2，S2=PD2，
在Rt△PCD中，PC2=CD2+PD2，
∴S1+S2=CP2，故A结论正确；
连接CF，
∵点H与B关于CE对称，
∴CH=CB，∠BCE=∠ECH，
在△BCE和△HCE中，

∴△BCE≌△HCE（SAS），
∴BE=EH，∠EHC=∠B=90°，∠BEC=∠HEC，
∴CH=CD，
在Rt△FCH和Rt△FCD中

∴Rt△FCH≌Rt△FCD（HL），
∴∠FCH=∠FCD，FH=FD，
∴∠ECH+∠ECH=∠BCD=45°，即∠ECF=45°，
作FG⊥EC于G，
∴△CFG是等腰直角三角形，
∴FG=CG，
∵∠BEC=∠HEC，∠B=∠FGE=90°，
∴△FEG∽△CEB，
∴==，
∴FG=2EG，
设EG=x，则FG=2x，
∴CG=2x，CF=2x，
∴EC=3x，
∵EB2+BC2=EC2，
∴BC2=9x2，
∴BC2=x2，
∴BC=x，
在Rt△FDC中，FD===x，
∴3FD=AD，
∴AF=2FD，故B结论正确；
∵AB∥CN，
∴=，
∵PD=ND，AE=CD，
∴CD=4PD，故C结论正确；
∵EG=x，FG=2x，
∴EF=x，
∵FH=FD=x，
∵BC=x，
∴AE=x，
作HQ⊥AD于Q，
∴HQ∥AB，
∴=，即=，
∴HQ=x，
∴CD-HQ=x-x=x，
∴cos∠HCD===，故结论D错误，
故选：D．
根据勾股定理可判断A；连接CF，作FG⊥EC，易证得△FGC是等腰直角三角形，设EG=x，则FG=2x，
利用三角形相似的性质以及勾股定理得到CG=2x，CF=2x，EC=3x，BC=x，FD=x，即可证得3FD=AD，可判断B；根据平行线分线段成比例定理可判断C；求得cos∠HCD可判断D．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用以及平行线分线段成比例定理，作出辅助线构建等腰直角三角形是解题的关键．
13.【答案】-9
【解析】
解：9的相反数是-9；
故答案为-9；
根据相反数的求法即可得解；
本题考查相反数；熟练掌握相反数的意义与求法是解题的关键．
14.【答案】0.0000318
【解析】
解：3.18×10-5=0.0000318；
故答案为0.0000318；
根据科学记数法的表示方法a×10n（1≤a＜9）即可求解；
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
15.【答案】142°
【解析】
解：如图，
∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠2=180°-38°=142°．
故答案为142°．
如图，利用平行线的性质得到∠2=∠3，利用互补求出∠3，从而得到∠2的度数．
本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
16.【答案】23
【解析】
解：随机掷一枚均匀的骰子有6种等可能结果，其中点数不小于3的有4种结果，
所以点数不小于3的概率为=，
故答案为：．
骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数不小于3的情况有几种，直接应用求概率的公式求解即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
17.【答案】23
【解析】
解：连接AB，过O作OM⊥AB于M，

∵∠AOB=120°，OA=OB，
∴∠BAO=30°，AM=，
∴OA=2，
∵=2πr，
∴r=
故答案是：
利用弧长=圆锥的周长这一等量关系可求解．
本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键．
18.【答案】4
【解析】
解：①∵（-1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y=|x2-2x-3|，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=-1或x=3，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，当x＜-1或x＞3，函数值要大于当x=1时的y=|x2-2x-3|=4，因此⑤时不正确的；
故答案是：4
由（-1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y=|x2-2x-3|，∴①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x=1，②也是正确的；
根据函数的图象和性质，发现当-1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y=0，求出相应的x的值为x=-1或x=3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜-1或x＞3，函数值要大于当x=1时的y=|x2-2x-3|=4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
理解“鹊桥”函数y=|ax2+bx+c|的意义，掌握“鹊桥”函数与y=|ax2+bx+c|与二次函数y=ax2+bx+c之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
19.【答案】解：（1）原式=2-1+4-4×12
=2-1+4-2
=3；

（2）解不等式6x-2＞2（x-4），得：x＞-32，
解不等式23-3-x2≤-x3，得：x≤1，
则不等式组的解集为-32＜x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

【解析】

（1）先计算算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20.【答案】解：如图，

△DEF即为所求．
【解析】

先作一个∠D=∠A，然后在∠D的两边分别截取ED=BA，DF=AC，连接EF即可得到△DEF；
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
21.【答案】解：（1）由已知可得AD=5，
∵菱形ABCD，
∴B（6，0），C（9，4），
∵点D（4，4）在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴k=16，
将点C（9，4）代入y=23x+b，
∴b=-2；
（2）E（0，-2），
直线y=23x-2与x轴交点为（3，0），
∴S△AEC=12×2×（2+4）=6；
【解析】

（1）由菱形的性质可知B（6，0），C（9，4），点D（4，4）代入反比例函数y=，求出k；将点C（9，4）代入y=x+b，求出b；
（2）求出直线y=x-2与x轴和y轴的交点，即可求△AEC的面积；
本题考查反比例函数、一次函数的图象及性质，菱形的性质；能够将借助菱形的边长和菱形边的平行求点的坐标是解题的关键．
22.【答案】10   25   0.25
【解析】
解：（1）a=100×0.1=10，b=100-10-18-35-12=25，n==0.25；
故答案为：10，25，0.25；
（2）补全频数分布直方图如图所示；
（3）2500××=90（人），
答：全校获得二等奖的学生人数90人．
（1）利用×这组的频率即可得到结论；
（2）根据（1）求出的数据补全频数分布直方图即可；
（3）利用全校2500名学生数×考试成绩为91≤x≤100考卷占抽取了的考卷数×获得二等奖学生人数占获奖学生数即可得到结论．
本题考查的是频数分布直方图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．直方图能清楚地表示出每个项目的数据，也考查了利用样本估计总体的思想．
23.【答案】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，
5（1+x）2=7.2，
解得，x1=0.2，x2=-2.2（舍去），
答：这两年藏书的年均增长率是20%；
（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2-5）×20%=0.44（万册），
到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：5×5.6%+0.447.2×100%=10%，
答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．
【解析】

（1）根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以得到这两年藏书的年均增长率；
（2）根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著，从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几．
本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答，这是一道典型的增长率问题．
24.【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO=∠OCE=90°，
∵OE⊥OA，
∴∠AOE=90°，
∴∠BAO+∠AOB=∠AOB+∠COE=90°，
∴∠BAO=∠COE，
∴△ABO∽△OCE，
∴ABOC=AOOE，
∵OB=OC，
∴ABOB=AOOE，
∵∠ABO=∠AOE=90°，
∴△ABO∽△AOE，
∴∠BAO=∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，
∴∠ABO=∠AFO=90°，
在△ABO与△AFO中，∠BAO=∠FAO∠ABO=∠AFOAO=AO，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴OF=OB，
∴AE是半圆O的切线；
（2）解：∵AF是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，
∴AF2=AP•AC，
∴AF=2(2+4)=23，
∴AB=AF=23，
∵AC=6，
∴BC=AC2-AB2=26，
∴AO=AB2+OB2=3，
∵△ABO∽△AOE，
∴AOAE=ABAO，
∴3AE=233，
∴AE=332．
【解析】

（1）根据已知条件推出△ABO∽△OCE，根据相似三角形的性质得到∠BAO=∠OAE，过O作OF⊥AE于F，根据全等三角形的性质得到OF=OB，于是得到AE是半圆O的切线；
（2）根据切割线定理得到AF==2，求得AB=AF=2，根据勾股定理得到BC==2，AO==3，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】解：（1）函数表达式为：y=a（x=4）2+3，
将点B坐标代入上式并解得：a=-12，
故抛物线的表达式为：y=-12x2+4x-5；
（2）A（4，3）、B（0，-5），则点M（2，-1），
设直线AB的表达式为：y=kx-5，
将点A坐标代入上式得：3=4k-5，解得：k=2，
故直线AB的表达式为：y=2x-5；
（3）设点Q（4，s）、点P（m，-12m2+4m-5），
①当AM是平行四边形的一条边时，
点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，
同样点P（m，-12m2+4m-5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s），
即：m-2=4，-12m2+4m-5-4=s，
解得：m=6，s=-3，
故点P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，-3）；
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点定理得：4+2=m+4，3-1=-12m2+4m-5+s，
解得：m=2，s=1，
故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）；
故点P、Q的坐标分别为（6，1）或（2，1）、（4，-3）或（4，1）．
【解析】

（1）函数表达式为：y=a（x=4）2+3，将点B坐标代入上式，即可求解；
（2）A（4，3）、B（0，-5），则点M（2，-1），设直线AB的表达式为：y=kx-5，将点A坐标代入上式，即可求解；
（3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏．
26.【答案】（1）①解：旋转角为105°．
理由：如图1中，

∵A′D⊥AC，
∴∠A′DC=90°，
∵∠CA′D=15°，
∴∠A′CD=75°，
∴∠ACA′=105°，
∴旋转角为105°．

②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM=EC，连接CM．
∵∠CED=∠A′CE+∠CA′E=45°+15°=60°，
∴∠CEA′=120°，
∵FE平分∠CEA′，
∴∠CEF=∠FEA′=60°，
∵∠FCO=180°-45°-75°=60°，
∴∠FCO=∠A′EO，∵∠FOC=∠A′OE，
∴△FOC∽△A′OE，
∴OFA'O=OCOE，
∴OFOC=A'OOE，
∵∠COE=∠FOA′，
∴△COE∽△FOA′，
∴∠FA′O=∠OEC=60°，
∴△A′OF是等边三角形，
∴CF=CA′=A′F，
∵EM=EC，∠CEM=60°，
∴△CEM是等边三角形，
∠ECM=60°，CM=CE，
∵∠FCA′=∠MCE=60°，
∴∠FCM=∠A′CE，
∴△FCM≌△A′CE（SAS），
∴FM=A′E，
∴CE+A′E=EM+FM=EF．

（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．

由②可知，∠EA′F=′EA′B′=75°，A′E=A′E，A′F=A′B′，
∴△A′EF≌△A′EB′，
∴EF=EB′，
∴B′，F关于A′E对称，
∴PF=PB′，
∴PA+PF=PA+PB′≥AB′，
在Rt△CB′M中，CB′=BC=2AB=2，∠MCB′=30°，
∴B′M=12CB′=1，CM=3，
∴AB′=AM2+B'M2=(2+3)2+12=6+26．
∴PA+PF的最小值为6+26．
【解析】

（1）①解直角三角形求出∠A′CD即可解决问题．
②连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM=EC，连接CM．首先证明△CFA′是等边三角形，再证明△FCM≌△A′CE（SAS），即可解决问题．
（2）如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．证明△A′EF≌△A′EB′，推出EF=EB′，推出B′，F关于A′E对称，推出PF=PB′，推出PA+PF=PA+PB′≥AB′，求出AB′即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

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