2022年广西河池市中考数学真题（解析版）.docx

2022年广西河池市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。请用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。）
1. 如果将“收入50元”记作“+50元”，那么“支出20元”记作( )
A. +20元 B. ﹣20元 C. +30元 D. ﹣30元
【答案】B
【解析】
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【详解】解：“正”和“负”相对，
所以如果+50元表示收入50元，
那么支出20元表示为﹣20元．
故选：B．
【点睛】此题考查的是正数和负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2. 下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
【详解】解：A.三棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误；
B.圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；
C.圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误；
D.球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
3. 如图，平行线a，b被直线c所截，若∠1＝142°，则∠2的度数是( )

A. 142° B. 132° C. 58° D. 38°
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行同位角相等是解题的关键．
4. 下列运算中，正确的是( )
A. x2+x2＝x4 B. 3a3•2a2＝6a6
C. 6y6÷2y2＝3y3 D. （﹣b2）3＝﹣b6
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，积的乘方运算法则逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. x2+x2＝2x2，故该选项不正确，不符合题意；
B. 3a3•2a2＝6a5，故该选项不正确，不符合题意；
C. 6y6÷2y2＝3y4，故该选项不正确，不符合题意；
D （﹣b2）3＝﹣b6，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
5. 希望中学规定学生的学期体育成绩满分为100，其中体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%．若小强的三项成绩（百分制）依次是95，90，91．则小强这学期的体育成绩是( )
A. 92 B. 91.5 C. 91 D. 90
【答案】B
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算公式，用95分，90分，91分别乘以它们的百分比，再求和即可．
【详解】解：根据题意得
即小强这学期的体育成绩是
故选：B．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题关键．
6. 多项式因式分解的结果是( )
A. x（x﹣4）+4 B. （x+2）（x﹣2） C. （x+2）2 D. （x﹣2）2
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．
7. 东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是( )

A. B.
C.
D.

【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而可以解答本题．
【详解】因为对边的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，
故适合表示y与t的对应关系的是选项C．
故选：C．
【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是( )

A. AB＝AD B. AC⊥BD C. AC＝BD D. ∠DAC＝∠BAC
【答案】C
【解析】
【分析】根据菱形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确，
不能得出，故C选项不正确，
故选：C.
【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．
9. 如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解．
【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故选D．
【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
10. 如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )

A. 25° B. 35° C. 40° D. 50°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．
【详解】，∠ABC＝25°，
，
AB是⊙O的直径，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．
11. 某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50 B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50 D. 30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
12. 如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为( )

A. 25π+24 B. 5π+24 C. 25π D. 5π
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴所扫过的面积为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分。请把答案写在答题卡上对应的答题区域内。）
13. －2022的相反数是______．
【答案】2022
【解析】
【详解】解：的相反数是2022．
【点睛】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握该知识点是解题关键．
14. 若二次根式有意义，则a的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】要根据二次根式有意义的条件列式计算即可求解．
【详解】解：由题意得，
a－1≥0，
解得，a≥1，
故答案为：
【点睛】此题主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义时被开方数为非负数是解题的关键．
15. 如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∵图象位于第二象限内，
∴，
∴该反比例函数解析式为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
16. 如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EH＝BE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝_____．

【答案】##0.625
【解析】
【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH，得出
∠BAG=∠EBH，进而求出∠AOB=90°，再判断出△AOB~△ABG，求出，再判断出△OBM～△OAN，求出BM=1，即可求出答案．
【详解】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC，AD=BC，
∴，
∴四边形ABEF是矩形，
由题意知，AD=2AB，
∴AF=AB，
∴矩形ABEF是正方形，
∴AB=BE，∠ABE=∠BEF=90°，
∵BG=EH，
∴△ABG≌△BEH（SAS），
∴∠BAG=∠EBH，
∴∠BAG+∠ABO=∠EBH+∠ABO=∠ABG=90°，
∴∠AOB=90°，
∵BG＝EH＝BE＝2，
∴BE=5，
∴AF=5，
∴，
∵∠OAB=∠BAG，∠AOB=∠ABG，
∴△AOB∽△ABG，
∴，即，
∴，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=90°=∠AOB，
∴∠BOM=∠AON，
∵∠BAG+∠FAG=90°，∠ABO+∠EBH=90°，∠BAG=∠EBH，
∴∠OBM=∠OAN，
∴△OBM～△OAN，
∴，
∵点N是AF的中点，
∴，
∴，解得：BM=1，
∴AM=AB-BM=4，
∴．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM是解本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤。请将解答写在答题卡上对应的答题区域内。）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题的关键．
18. 先化简,再求值,其中
【答案】
【解析】
【分析】按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式分解的要因式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．
【详解】
＝
＝
=
=-a+1；
当a=3时，原式=-3+1=-2．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19. 如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为，并写出点B2的坐标．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标得到A1、B1、C1的坐标，然后描点连线得到△A1B1C1．
（2）把A、B、C的坐标都乘以-2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点连线即可．
【小问1详解】
如图，为所作．
【小问2详解】
如图，为所作，点B2的坐标为（-4，-6）．

【点睛】本题考查位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
20. 如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．

（1）求证：∠ACB＝∠DFE；
（2）连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．
【答案】（1）见解析 （2）四边形BFEC是平行四边形
【解析】
【分析】（1）证△ABC≌△DEF（SSS），再由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）可知，∠ACB=∠DFE，则BC∥EF，再由平行四边形的判定即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵AF=CD，
∴AF ＋ CF = CD ＋ CF，
即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，

△ABC≌△DEF（SSS）

【小问2详解】
如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：
由（1）可知，∠ACB=∠DFE，
∶∴BC EF，
又∶ BC = EF，
四边形BFEC是平行四边形．

【点睛】本题考查了平行网边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
21. 如图，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对他所在小区居民楼AB的高度进行测量，从小敏家阳台C测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD＝36m，求居民楼AB的高度（结果保留整数．参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．

【答案】59m
【解析】
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，先证明四边形BECD是矩形，BE＝CD＝36m，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，BE＝CE＝CD＝36m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，求得AE≈23.4m，进而得到居民楼AB的高度．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，则∠AEC＝∠BEC＝90°，

由题意可知∠CDB＝∠DBE＝90°，
∴四边形BECD是矩形，
∴BE＝CD＝36m，
由题意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，
∴∠EBC＝90°－∠BCE＝45°，
∴∠EBC＝∠BCE，
∴BE＝CE＝CD＝36m，
在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，
∴AE＝CEtan33°≈23.4m，
∴AB＝AE＋BE＝234＋36＝59.4≈59（m）．
答：居民楼AB的高度约为59m．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
22. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大公的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 　 　，圆心角β＝　 　度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
【答案】（1）50，144；
（2）见解析 （3）480
（4）
【解析】
【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
（2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
（3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
（1）本次调查的样本容量是：
10+20%=50，
则圆心角β=360°×= 144°，
故答案为：50，144；
【小问2详解】
成绩优秀的人数为：
50-2-10-20=18(人)，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
1200×（人）
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
【小问4详解】
画树状图如下，

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为
【点睛】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 为改善村容村貌，阳光村计划购买一批桂花树和芒果树．已知桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元．
（1）桂花树和芒果树的单价各是多少元？
（2）若该村一次性购买这两种树共60棵，且桂花树不少于35棵．设购买桂花树的棵数为n，总费用为w元，求w关于n的函数关系式，并求出该村按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少元？
【答案】（1）桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵；
（2）；当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元．
【解析】
【分析】（1）设桂花树单价x元/棵，芒果树的单价y元/棵，根据桂花树的单价比芒果树的单价多40元，购买3棵桂花树和2棵芒果树共需370元，列出二元一次方程组解出即可；
（2）设购买挂花树n棵，则芒果树为棵，根据题意求出w关于n的函数关系式，然后根据桂花树不少于35棵求出n的取值范围，再根据n是正整数确定出购买方案及最低费用．
【小问1详解】
解：设桂花树单价x元/棵，芒果树的单价y元/棵，
根据题意得：，
解得：，
答：桂花树单价90元/棵，芒果树的单价50元/棵；
【小问2详解】
设购买桂花树的棵数为n，则购买芒果树的棵数为棵，
根据题意得，
，
∴w随n的增大而增大，
∴当时，元，
此时，
∴当购买35棵挂花树，25棵芒果树时，费用最低，最低费用为4400元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
24. 如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D．且∠PCA＝∠CBD．

（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若PC＝BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长．
【答案】（1）见解析 （2）⊙O的半径为3，BE的长为2
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据角平分线求得∠ABC = ∠CBD，由等边对等角可得∠PCA= ∠OCB，由AB是直径和等量代换可得∠PCO = 90°，即可得证；
（2）设OB=OC=r，证明OP=3r，可得4r=12，推出r=3，利用相似三角形的判定与性质和平行线分线段成比例定理求出BD，BE即可求解．
【小问1详解】
证明：连接OC，
∵BC平分∠ABE，
∴∠ABC = ∠CBD，
∵OC=OB，
∴∠ABC = ∠OCB，
∵∠PCA= ∠CBD，
∴∠PCA= ∠OCB，
∵AB是直径，
∴∠ACB = 90°，
∴∠ACO+∠OCB= 90°，
∴∠PCA+∠ ACO= 90°，
∴∠PCO = 90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是OO的切线；
【小问2详解】
连接 ， 设 ，
，
，
，
，
，
，
由 可知， ，
，

，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线L1：y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；
（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EF⊥x轴于点F，设EF＝m，问：当m为何值时，△BFE与△DEC的面积之和最小；
（3）若将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），抛物线顶点
（2）时，△BFE与△DEC面积之和最小
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；
（2）如图1中，连接BC，过点C作CH⊥BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．首先证明∠DCB=90°，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x=5，M（6，-3）．设P（5，m），分三种情形：当BP=BM时，当PB=PM时，当BM=PM时，分别构建方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵y＝ax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3），
，
∴，
抛物线的解析式为；
由
抛物线顶点；
【小问2详解】
如图1中，连接BC，过点C作CH⊥ BD于点H．设抛物线的对称轴交x轴于点T．

，
，
，
，
，
，
轴， 轴，
，
，
，
，
与 的面积之和
，

S有最小值，最小值为，此时，
时，△BFE与△DEC的面积之和有最小值．
【小问3详解】
存在，如图2，

，，的对称轴为直线，
将抛物线L1绕点B旋转180°得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N．
抛物线的对称轴为直线，
设 ，
当 时，
，
，
，
当 时，
，
解得， ，
，
当 时，
，
解得， ，

综上所述，满足条件的的坐标为 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质，中心对称变换等知识，解题的关键是学会根据二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．