湖南省常德市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

2019年湖南省常德市中考数学试卷
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（3分）点（﹣1，2）关于原点的对称点坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，﹣1）
2．（3分）下列各数中比3大比4小的无理数是（　　）
A． B． C．3.1 D．
3．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．+＝ B．＝3 C．＝﹣2 D．＝
4．（3分）某公司全体职工的月工资如下：
月工资（元）
18000
12000
8000
6000
4000
2500
2000
1500
1200
人数
1（总经理）
2（副总经理）
3
4
10
20
22
12
6
该公司月工资数据的众数为2000，中位数为2250，平均数为3115，极差为16800，公司的普通员工最关注的数据是（　　）
A．中位数和众数 B．平均数和众数
C．平均数和中位数 D．平均数和极差
5．（3分）如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（　　）

A． B． C． D．
6．（3分）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为（　　）
A．10＜x＜12 B．12＜x＜15 C．10＜x＜15 D．11＜x＜14
7．（3分）如图，在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积是（　　）

A．20 B．22 C．24 D．26
8．（3分）观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是（　　）
A．0 B．1 C．7 D．8
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．（3分）数轴上表示﹣3的点到原点的距离是　 　．
10．（3分）不等式3x+1＞2（x+4）的解为　 　．
11．（3分）从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，你认为适合参加决赛的选手是　 　．
12．（3分）国产手机芯片麒麟980是全球首个7纳米制程芯片，已知1纳米＝0.000 000 001米，将7纳米用科学记数法表示为　 　米．
13．（3分）二元一次方程组的解为　 　．
14．（3分）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是　 　．

15．（3分）若x2+x＝1，则3x4+3x3+3x+1的值为　 　．
16．（3分）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若M、N的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），P是二次函数y＝x2的图象上在第一象限内的任意一点，PQ垂直直线y＝﹣1于点Q，则四边形PMNQ是广义菱形．其中正确的是　 　．（填序号）
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．（5分）计算：6sin45°+|2﹣7|﹣（）﹣3+（2019﹣）0．
18．（5分）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．（6分）先化简，再选一个合适的数代入求值：（﹣）÷（﹣1）．
20．（6分）如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．（7分）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．

22．（7分）如图，⊙O与△ABC的AC边相切于点C，与AB、BC边分别交于点D、E，DE∥OA，CE是⊙O的直径．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，EC＝6，求AC的长．

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．（8分）为了扎实推进精准扶贫工作，某地出台了民生兜底、医保脱贫、教育救助、产业扶持、养老托管和易地搬迁这六种帮扶措施，每户贫困户都享受了2到5种帮扶措施，现把享受了2种、3种、4种和5种帮扶措施的贫困户分别称为A、B、C、D类贫困户．为检査帮扶措施是否落实，随机抽取了若干贫困户进行调查，现将收集的数据绘制成下面两幅不完整的统计图：

请根据图中信息回答下面的问题：
（1）本次抽样调查了多少户贫困户？
（2）抽查了多少户C类贫困户？并补全统计图；
（3）若该地共有13000户贫困户，请估计至少得到4项帮扶措施的大约有多少户？
（4）为更好地做好精准扶贫工作，现准备从D类贫困户中的甲、乙、丙、丁四户中随机选取两户进行重点帮扶，请用树状图或列表法求出恰好选中甲和丁的概率．
24．（8分）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．

26．（10分）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．
（1）在图1中，求证：△BMC≌△CNB；
（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交BN于点F，求证：PE+PF＝BM；
（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：AM•PF+OM•BN＝AM•PE．

2019年湖南省常德市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
1．【解答】解：根据中心对称的性质，得点（﹣1，2）关于原点的对称点的坐标为（1，﹣2）．
故选：B．
2．【解答】解：∵四个选项中是无理数的只有和，而＞4，3＜＜4
∴选项中比3大比4小的无理数只有．
故选：A．
3．【解答】解：A、原式＝+2，所以A选项错误；
B、原式＝2，所以B选项错误；
C、原式＝2，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项正确．
故选：D．
4．【解答】解：∵数据的极差为16800，较大，
∴平均数不能反映数据的集中趋势，
∴普通员工最关注的数据是中位数及众数，
故选：A．
5．【解答】解：如图所示，该几何体的左视图是：
．
故选：C．
6．【解答】解：根据题意可得：，
可得：12＜x＜15，
∴12＜x＜15
故选：B．
7．【解答】解：如图，
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴＝（）2＝（）2＝
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x﹣9x＝7，解得x＝1，
∴S△ADE＝16，
∴四边形DBCE的面积＝42﹣16＝26．
故选：D．

8．【解答】解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，
∴个位数4个数一循环，
∴（2019+1）÷4＝505，
∴1+7+9+3＝20，
∴70+71+72+…+72019的结果的个位数字是：0．
故选：A．
二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）
9．【解答】解：在数轴上表示﹣3的点与原点的距离是|﹣3|＝3．
故答案为：3．
10．【解答】解：3x+1＞2（x+4），
3x+1＞2x+8，
x＞7．
故答案为：x＞7．
11．【解答】解：∵S甲2＝2.83，S乙2＝1.71，S丙2＝3.52，
而1.71＜2.83＜3.52，
∴乙的成绩最稳定，
∴派乙去参赛更好，
故答案为乙．
12．【解答】解：7纳米＝0.000 000 007米＝7×10﹣9米．
故答案为：7×10﹣9．
13．【解答】解：
②﹣①得x＝1 ③
将③代入①得y＝5
∴
故答案为：
14．【解答】解：∵将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，
∴∠BAC＝∠CAD'＝45°，AD＝AD'
∴∠AD'D＝67.5°，∠D'AB＝90°
∴∠ABD＝22.5°
故答案为：22.5°
15．【解答】解：∵x2+x＝1，
∴3x4+3x3+3x+1＝3x2（x2+x）+3x+1＝3x2+3x+1＝3（x2+x）+1＝3+1＝4；
故答案为：4．
16．【解答】解：①根据广义菱形的定义，正方形和菱形都有一组对边平行，一组邻边相等，①正确；
②平行四边形有一组对边平行，没有一组邻边相等，②错误；
③由给出条件无法得到一组对边平行，③错误；
④设点P（m，m2），则Q（m，﹣1），
∴MP＝＝，PQ＝+1，
∵点P在第一象限，
∴m＞0，
∴MP＝+1，
∴MP＝PQ，
又∵MN∥PQ，
∴四边形PMNQ是广义菱形．
④正确；
故答案为①④；
三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）
17．【解答】解：原式＝6×﹣2+7﹣8+1＝．
18．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；
∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17；
∴x＝
＝，
∴x1＝，x2＝．
四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）
19．【解答】解：（﹣）÷（﹣1）
＝[]÷[]
＝
＝
＝
＝，
当x＝2时，原式＝＝．
20．【解答】解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
设P（x，0），
∴PC＝|3﹣x|，
∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，
∴x＝﹣2或x＝8，
∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）．
五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）
21．【解答】解：（1）设y甲＝k1x，根据题意得5k1＝100，解得k1＝20，∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x+100，根据题意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，∴y乙＝10x+100；

（2）①y甲＜y乙，即20x＜10x+100，解得x＜10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②y甲＝y乙，即20x＝10x+100，解得x＝10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③y甲＞y乙，即20x＞10x+100，解得x＞10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
22．【解答】（1）证明：连接OD、CD，
∵CE是⊙O的直径，
∴∠EDC＝90°，
∵DE∥OA，
∴OA⊥CD，
∴OA垂直平分CD，
∴OD＝OC，
∴OD＝OE，
∴∠OED＝∠ODE，
∵DE∥OA，
∴∠ODE＝∠AOD，∠DEO＝∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC，
∵AC是切线，
∴∠ACB＝90°，
在△AOD和△AOC中

∴△AOD≌△AOC（SAS），
∴∠ADO＝∠ACB＝90°，
∵OD是半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵BD是⊙O切线，
∴BD2＝BE•BC，
设BE＝x，∵BD＝4，EC＝6，
∴42＝x（x+6），
解得x＝2或x＝﹣8（舍去），
∴BE＝2，
∴BC＝BE+EC＝8，
∵AD、AC是⊙O的切线，
∴AD＝AC，
设AD＝AC＝y，
在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，
∴（4+y）2＝y2+82，
解得y＝6，
∴AC＝6，
故AC的长为6．

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）
23．【解答】解：（1）本次抽样调查的总户数为260÷52%＝500（户）；
（2）抽查C类贫困户为500×24%＝120（户），
补全图形如下：

（3）估计至少得到4项帮扶措施的大约有13000×（24%+16%）＝5200（户）；
（4）画树状图如下：

由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好选中甲和丁的有2种结果，
所以恰好选中甲和丁的概率为＝．
24．【解答】解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，
∵AB＝25，DE＝50，
∴sin37°＝，cos37°＝，
∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，
∴BF＝50﹣15＝35，
∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，
∴∠GBA＝53°，
∴∠CBF＝55°，
∴∠BCF＝35°，
∵tan35°＝，
∴CF≈＝50，
∴FE＝50+130＝180，
∴GD＝FE＝180，
∴AD＝180﹣20＝160，
∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）
25．【解答】解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，
故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；
（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），
则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，
矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，
∵﹣2＜0，故当x＝﹣＝2，C有最大值，最大值为10，
此时x＝2，点N（0，3）与点D重合；
（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的，
则S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，
连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，
过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，
过点P作PK∥⊥CD于点K，

将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，
OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，
解得：PH＝＝HG，
则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，
解得：x＝，
故点P（，），
直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，
联立①②并解得：x＝，
即点P′、P″的坐标分别为（，）、（，）；
故点P坐标为：（，）或（，）或（，）．
26．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵CM⊥AB，BN⊥AC，
∴∠BMC＝∠CNB＝90°，
在△BMC和△CNB中，
，
∴△BMC≌△CNB（AAS）；
（2）∵△BMC≌△CNB，
∴BM＝NC，
∵PE∥AB，
∴△CEP∽△CMB，
∴＝，
∵PF∥AC，
∴△BFP∽△BNC，
∴＝，
∴+＝+＝1，
∴PE+PF＝BM；
（3）同（2）的方法得到，PE﹣PF＝BM，
∵△BMC≌△CNB，
∴MC＝BN，
∵∠ANB＝90°，
∴∠MAC+∠ABN＝90°，
∵∠OMB＝90°，
∴∠MOB+∠ABN＝90°，
∴∠MAC＝∠MOB，又∠AMC＝∠OMB＝90°，
∴△AMC∽△OMB，
∴＝，
∴AM•MB＝OM•MC，
∴AM×（PE﹣PF）＝OM•BN，
∴AM•PF+OM•BN＝AM•PE．

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