2015年河南省中考数学试题及答案.doc

2015年河南省普通高中招生考试试卷
数 学
注意事项：
1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在试卷上．
2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
题号
一
二
三
总分
1～8
9～15
16
17
18
19
20
21
22
23
分数

一、选择题（每小题3分，共24分）
下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内．
1．下列各数中最大的数是 【 】
（A）5 （B） （C）π （D）－8
2．如图所示的几何体的俯视图是 【 】

3．据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元．将数据40 570亿用科学记数法表示为
【 】
（A）4.0570×l09 （B）0.40570×l010 （C）40.570×l011 （D）4.0570×l012
4．如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1＝∠2，∠3＝125°，则∠4的度数为【 】
（A）550 （B）600 （C）700 （D）75。
5．不等式组的解集在数轴上表示为 【 】

6．小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2∶3∶5的比例确定成绩，则小王的成绩是 【 】
（A）255分 （B）184分 （C）84.5分 （D）86分
7．如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 【 】
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
8．如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线．点P从原点D出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015秒时，点P的坐标是 【 】
（A）（2014,0） （B）（2015,－1） （C）（2015,1） （D）（2016,0）

二、填空题（每小题3分，共21分）
9．计算：（－3）0＋3－1＝ .
10．如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，DE∥AC．若BD＝4，DA＝2，BE＝3，则EC＝ .
11．如图，直线与双曲线（x＞0）交于点A（1，a，）则k＝ .
12．已知点A（4，y1），B（，y2），C（－2，y 3）都在二次函数的图象上，则y1，y2，y 3，的大小关系是 .

13．现有四张分别标有数字1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的概率是 .
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝900，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E．以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝2，则阴影部分的面积为 .
15．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B'处．若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为 .
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）先化简，再求值：，其中a＝＋1，b＝－1.

17．（9分）如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD，PO．
（1）求证：△CDP≌△POB;

（2）填空：
①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为_________________;
②连接OD，当∠PBA的度数为________时，四边形BPDO是菱形．
18．（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图．

根据以上信息解答下列问题：
（1）这次接受调查的市民总人数是__________;
（2）扇形统计图中，“电视”所对应的圆心角的度数是__________;
（3）请补全条形统计图；
（4）若该市约有80万人，请你估计其中将“电脑和手机上网”作为“获取新闻的最主要途径”的总人数．

19．（9分）已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）＝．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．

20．（9分）如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）

21．（10分）某游泳馆普通票价20元／张，暑期为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元／张，每次凭卡不再收费；
②银卡售价150元／张，每次凭卡另收10元．
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A，B，C的坐标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．

22．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α
（1）问题发现
①当α＝0°时， ；②当α＝180°时， .
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α<360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

23．（11分）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（－4，0），连接PD，PE，DE．
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由；
（3）小明进一步探究得出结论：若将“使△PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．
请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE周长最小时“好点”的坐标．

2015年河南省普通高中招生考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：
1．如果考生的解答与本参考答案提供的解法不同，可根据提供的解法的评分标准精神进行评分．
2．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定对后面给分的多少，但原则上不超过后继部分应得分数之半．
3．评分标准中，如无特殊说明，均为累计给分．
4．评分过程中，只给整数分数．
一、选择题（每小题3分，共24分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
A
C
D
C
B
二、填空题（每小题3分，共21分）
题号
9
10
11
12
13
14
15
答案

2
y3＞y1＞y2

16或4
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．原式＝ ……………………………4分
＝………………………………6分
＝. ………………………………6分
当a＝,b＝时，原式＝ ………………8分
17．（1）∵D是AC的中点，且PC＝PB,
∴DP//AB,DP＝AB．∴∠CPD＝∠PBO． ……………3分
∵OB＝AB，∴DP＝OB.∴△DPU）△POB.…………………5分
（2）①4:；…………………………………．7分
②60。．（注：若填为60，不扣分）……………………9分
18．（1）1000；…………………2分
（2）54。：（注：若填为54，不扣分）…………………．4分
（3）（按人数为100正确补全条形图）；………………6分
（4）80×（26%＋40%）＝80×66%＝52.8（万人）．
所以估计该市将“电脑和手机上网”作为“获取新闻最主要途径”的总人数约为52．8万人.…………………9分
19．（1）原方程可化为x2－5x＋6－＝0．…………………．1分
∴Δ＝（－5）2－4×l×（6－）＝25－24＋4＝1＋4．………………．3分
∵≥0，∴1＋4＞o．
∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根．……………4分
（2）把x＝l代入原方程，得＝2．∴m＝±2．………………6分
把＝2代入原方程，得x2－5x＋4＝0.∴x1＝1，x2＝4．
∴m的值为±2，方程的另一个根是4．………9分
20．延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H．
由题意知：∠DAE＝∠BGA＝30°,DA＝6，∴GD＝DA＝6．
∴GH＝AH＝DA·cos30°＝6×＝.∴GA＝6.…………………2分
设BC的长为x米，左Rt△GBC中，GC＝＝＝……4分
在Rt△ABC中，AC＝＝………6分
∵GC－AC＝GA，∴x－＝6………8分
∴x≈13．即大树的高度约为13米．………………9分
21．（1）银卡：y＝10x＋150；………1分
普通票：y＝20x．…………2分
（2）把x＝0代入y＝l0x＋150，得y＝150．∴A(0,150).………3分
由题意知∴∴B(15,300)………4分
把y＝600代入y＝l0x＋150,得x＝45．∴C（45,600）．………………5分
（3）当0<x<15时，选择购买普通票更合算；（注：若写为0≤x<15，不扣分）
当x＝15时，选择购买银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；
当15<x<45时，选择购买银卡更合算；
当x＝45时，选择购买金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；
当x＞45时，选择购买金卡更合算．……………10分
22．(1)①;………………1分
②.……2分
（2）无变化．（注：若无判断，但后续证明正确，不扣分）…………………．3分
在图1中,∵DE是△ABC的中位线，∴DE//AB．∴,∠EDC＝∠B＝90°．
如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴仍然成立．…………………………4分
又∵∠ACE＝∠BCD＝α，
∴△ACE∽△BCD．∴.……………6分
在Rt△ABC中，AC＝.
∴∴……………………………………8分
(3)4……………………………………10分
【提示】当△EDC在BC上方，且A,D,E三点共线时，四边形ABCD为矩形，∴BD＝AC＝;当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，由勾股定理可求得AD＝8，∴AE＝6，根据可求得BD＝
23．（1）抛物线解析式为y＝－x2＋8．…………………………………… 3分
（2）正确，理由：
设P(x, －x2＋8），则PF＝8－(－x2＋8)＝x2．………………………4分
过点P作PM⊥y轴于点M,则
PD2＝PM2＋DM2＝（－x2）＋[6－(－x2＋8)]2＝
∴PD＝ ……………………………………6分
∴PD－PF＝＝2 ∴猜想正确， ……………………7分
（3）“好点”共有11个； ………………………9分
在点P运动时，DE大小不变，∴PE与PD的和最小时，△PDE的周长最小．
∴PD－PF＝2，∴PD＝PF＋2．∴PE＋PD＝PE＋PF＋2．．
当P，E，F三点共线时，PE＋PF最小．
此时点P，E的横坐标都为－4．
将x＝－4代入y＝，得y＝6．
∴P（－4，6），此时△PDE的周长最小，且△PDE的面积为12，点P恰为“好点”，
∴△PDE的周长最小时“好点”的坐标为（－4，6）．………………………11分
【提示】△PDE的面积S＝.由－8≤x≤0，知4≤S≤13，
所以S的整数值有10个，由函数图象知，当S＝12时，对应的“好点”有2个．所以“好点”共有11个．