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第二篇第二篇 运动学运动学第第5章章 点运动点运动 5-1 描述点运动变矢量法描述点运动变矢量法5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法5-3 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法第1页第1页第第5章章 点运动点运动 运动方程：运动方程：点在空间位置表示为时间函数点在空间位置表示为时间函数 速度：速度：点运动快慢点运动快慢 加速度：加速度：速度改变速度改变第2页第2页5-1 描述点运动变矢量法描述点运动变矢量法第第5章章 点运动点运动 第3页第3页5-1 描述点运动变矢量法描述点运动变矢量法 运动方程运动方程运动方程运动方程 运动方程运动方程变矢量法中，运动方程用点变矢量法中，运动方程用点 在任意瞬时在任意瞬时t位置矢量位置矢量r(t)表示。表示。r(t)简简 称为称为位矢位矢。x xz zy yrrrr=r(t)PPP第4页第4页5-1 描述点运动变矢量法描述点运动变矢量法 速速速速 度度度度xzyr(t)r(t t)PPvt 瞬时瞬时:矢径矢径 r(t)r(t)r(t t)r(t)点在点在 t 瞬时速度瞬时速度 t 时间间隔内矢径改变量时间间隔内矢径改变量t t 瞬时瞬时:矢径矢径 r(t t)或或r(t)r(t)r(t)第5页第5页5-1 描述点运动变矢量法描述点运动变矢量法 速速速速 度度度度速速 度度 描述点在描述点在 t 瞬时运瞬时运动快慢和运动方向。动快慢和运动方向。x xz zy yr r(t t)r r(t t t t)PP rv速度方向速度方向沿着运动轨迹切线，沿着运动轨迹切线，指向与点运动方向一致。指向与点运动方向一致。速度大小速度大小等于矢量模。等于矢量模。速度单位速度单位普通为普通为M/S第6页第6页5-1 描述点运动变矢量法描述点运动变矢量法 加加加加 速速速速 度度度度x xz zy yrP P v vP Prvt 瞬时瞬时:速度速度 v(t)v(t)v(t t)v(t)点在点在 t 瞬时加速度：瞬时加速度：t 时间间隔内速度改变量时间间隔内速度改变量vt t 瞬时瞬时:速度速度 v(t t)或或v(t)v(t)第7页第7页加速度加速度 描述点在描述点在 t 瞬时速度大小和方瞬时速度大小和方 向改变率。向改变率。5-1描述点运动变矢量法描述点运动变矢量法 加加加加 速速速速 度度度度加速度方向加速度方向为为 v极限方向极限方向(即沿速度即沿速度 矢端曲线切向矢端曲线切向)加速度大小加速度大小等于矢量等于矢量 a 模。模。加速度单位加速度单位普通为普通为M/S2第8页第8页5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法第第5章章 点运动点运动 第9页第9页x xz zy yO Oy yx xz zj ji ik kr ra av vP Px=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)运动方程运动方程5-2描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法第10页第10页x xz zy yO O5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法y yx xz zj ji ik kravP P 运动方程运动方程 点在空间位置由点在空间位置由3个方个方程拟定：程拟定：x=f1(t)y=f2(t)z=f3(t)第11页第11页x xz zy yO Oy yx xz zj ji ik kr ra av vP P 速速 度度(Oxyz)为定参考系为定参考系5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法第12页第12页x xz zy yO Oy yx xz zj ji ik kr ra av vP P 速速 度度5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法第13页第13页 速速 度度 点速度矢量在直角坐标轴上投影等于点速度矢量在直角坐标轴上投影等于 点相应坐标对时间一阶导数。点相应坐标对时间一阶导数。cos =vx/vcos =vy/vcos =vz/v5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法第14页第14页 加速度加速度 点加速度矢量在直角坐标轴上投影点加速度矢量在直角坐标轴上投影 等于点相应坐标对时间二阶导数。等于点相应坐标对时间二阶导数。cos =ax/acos =ay/acos =az/a5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法第15页第15页 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法例题例题 1椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构椭圆规机构求：求：求：求：P P点运动方程、速度、加速度。点运动方程、速度、加速度。点运动方程、速度、加速度。点运动方程、速度、加速度。第16页第16页例题例题 1椭圆规机构，椭圆规机构，椭圆规机构，椭圆规机构，OA=AB=AC=LOA=AB=AC=L，BP=dBP=d求：求：P点运动方程、速度、加速度点运动方程、速度、加速度1、建立固定参考系、建立固定参考系Oxy；2、将所考察点置于坐、将所考察点置于坐标系中普通位置；标系中普通位置；3、依据已知约束条件、依据已知约束条件列写点运动方程。列写点运动方程。5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法第17页第17页1 1、建立固定参考系、建立固定参考系、建立固定参考系、建立固定参考系OxyOxy；2 2、将所考察点置于坐标系中普通位置；、将所考察点置于坐标系中普通位置；、将所考察点置于坐标系中普通位置；、将所考察点置于坐标系中普通位置；3 3、依据已知约束条件列写点运动方程。、依据已知约束条件列写点运动方程。、依据已知约束条件列写点运动方程。、依据已知约束条件列写点运动方程。P P点运动方程：点运动方程：点运动方程：点运动方程：从中消去从中消去从中消去从中消去 t t 得到得到得到得到P P点轨迹方程点轨迹方程点轨迹方程点轨迹方程解：解：解：解：5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法例题例题 1第18页第18页P P点运动方程：点运动方程：点运动方程：点运动方程：P P点速度：点速度：点速度：点速度：解：解：解：解：cos =vx/vcos =vy/vcos =vz/v5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法例题例题 1第19页第19页P P点速度：点速度：点速度：点速度：P P点加速度：点加速度：点加速度：点加速度：解：解：解：解：cos =ax/acos =ay/acos =az/a5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法例题例题 1第20页第20页几点讨论几点讨论1、建立运动方程时，建立运动方程时，一定要将所考察点置于一定要将所考察点置于坐标系中坐标系中普通位置普通位置：对于直线坐标，位于对于直线坐标，位于坐标轴正向；坐标轴正向；对于直角坐标系，位对于直角坐标系，位于坐标系第一象限。于坐标系第一象限。5-2 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法例题例题 1第21页第21页 描述点运动直角坐标法描述点运动直角坐标法几点讨论几点讨论2、关于、关于P点运动性质：点运动性质：何时作何时作加速加速运动？何时运动？何时作作减速减速运动？运动？a0，P加速运动吗？加速运动吗？a0，P减速运动吗？减速运动吗？请同窗们自己给结论。请同窗们自己给结论。例题例题 1第22页第22页5-3 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法第第5章章 点运动点运动 弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程 密切面与自然轴系密切面与自然轴系 速度速度 加速度加速度第23页第23页 弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程弧坐标要素与运动方程 假如点沿着已知轨迹运动，则点运假如点沿着已知轨迹运动，则点运假如点沿着已知轨迹运动，则点运假如点沿着已知轨迹运动，则点运动方程，可用点在已知轨迹上所走过动方程，可用点在已知轨迹上所走过动方程，可用点在已知轨迹上所走过动方程，可用点在已知轨迹上所走过弧长随时间改变规律描述。弧长随时间改变规律描述。弧长随时间改变规律描述。弧长随时间改变规律描述。弧坐标含有下列要素：弧坐标含有下列要素：1、有、有坐标原点坐标原点(普通在轨迹上普通在轨迹上任选一参考点作为坐标原点任选一参考点作为坐标原点)；2、有、有正、负方向正、负方向(普通以点运普通以点运动方向作为正向动方向作为正向)；3、有、有相应坐标系相应坐标系(自然轴系自然轴系)。5-3 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法第24页第24页 密切面与自然轴系密切面与自然轴系5-3 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法第25页第25页 密切面与自然轴系密切面与自然轴系密切面与自然轴系密切面与自然轴系 密切面密切面 当当P点无限靠点无限靠近于近于 P点时，过点时，过这两点切线所构这两点切线所构成平面，称为成平面，称为P点点密切面密切面。5-3 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法第26页第26页 密切面与自然轴系密切面与自然轴系密切面与自然轴系密切面与自然轴系 由由密切面得到几点结论密切面得到几点结论 空间曲线上任意点都存在密切面，并且空间曲线上任意点都存在密切面，并且是唯一是唯一 空间曲线上任意点无穷小邻域内一段空间曲线上任意点无穷小邻域内一段弧长，能够看作是位于密切面内平面曲线。弧长，能够看作是位于密切面内平面曲线。曲线在密切面内弯曲程度，称为曲线曲线在密切面内弯曲程度，称为曲线曲率，用曲率，用1/表示。表示。曲线在垂直于密切面平面内曲率，称曲线在垂直于密切面平面内曲率，称为第二曲率。为第二曲率。5-3 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法第27页第27页 密切面与自然轴系密切面与自然轴系密切面与自然轴系密切面与自然轴系s-s+P PT T(切线切线切线切线)N N(主法线主法线主法线主法线)自然轴系自然轴系B B(副法线副法线副法线副法线)自然轴系自然轴系PTNBP空间曲线上动点；空间曲线上动点；T 过动点过动点P密切面内密切面内 切线，其正向指向切线，其正向指向 弧坐标正向；弧坐标正向；N 密切面内垂直于切线密切面内垂直于切线 直线，其正向指向直线，其正向指向 曲率中心；曲率中心；nB 过动点过动点P垂直于切线和主法线垂直于切线和主法线直线，其正向由直线，其正向由b=n拟定拟定。5-3 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法第28页第28页 密切面与自然轴系密切面与自然轴系密切面与自然轴系密切面与自然轴系 自然轴系自然轴系s s-s s+P PT T(切线切线切线切线)N N(主法线主法线主法线主法线)B B(副法线副法线副法线副法线)自然轴系自然轴系基矢量基矢量b=n n nb b直角坐标系直角坐标系基矢量基矢量k=i j 5-3 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法第29页第29页 密切面与自然轴系密切面与自然轴系密切面与自然轴系密切面与自然轴系 自然轴系自然轴系自然轴系自然轴系特点特点 自然轴系跟随自然轴系跟随动点在轨迹动点在轨迹曲线曲线上运动。上运动。自然轴系自然轴系能能作运动参考作运动参考系吗？系吗？5-3 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法第30页第30页 速速 度度5-3 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法第31页第31页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 速速速速 度度度度 弧坐标中速度表示弧坐标中速度表示其中其中其中其中因此因此因此因此方向与方向与方向与方向与P P点切线方向一致点切线方向一致点切线方向一致点切线方向一致而而而而第32页第32页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 速速速速 度度度度 弧坐标中速度表示弧坐标中速度表示第33页第33页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 速速速速 度度度度 弧坐标中速度表示弧坐标中速度表示 点速度只在切线轴上点速度只在切线轴上有投影，其等于弧坐标有投影，其等于弧坐标对时间一阶导数。对时间一阶导数。第34页第34页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 速速速速 度度度度 几点讨论几点讨论 若若,则则，即点沿着即点沿着s+方向运动；方向运动；反之点沿着反之点沿着s方向运动；方向运动；中中 v 和和 分别表示速度大小与分别表示速度大小与方向。方向。速度矢量速度矢量 位于密切面内。位于密切面内。第35页第35页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 加加 速速 度度第36页第36页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 加加加加 速速速速 度度度度依据加速度定义以及弧坐标中速度表示式依据加速度定义以及弧坐标中速度表示式 弧坐标中加速度表示弧坐标中加速度表示第37页第37页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 加加加加 速速速速 度度度度 弧坐标中加速度表示弧坐标中加速度表示?第38页第38页 n n P P 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 加加加加 速速速速 度度度度 弧坐标中加速度表示弧坐标中加速度表示 当当 0时，时，和和 以及以及 同处于同处于P点密切面内，这点密切面内，这时，时，极限方向垂直于极限方向垂直于 ，亦即亦即n方向方向。第39页第39页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 加加加加 速速速速 度度度度 弧坐标中加速度表示弧坐标中加速度表示?第40页第40页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 加加加加 速速速速 度度度度 弧坐标中加速度表示弧坐标中加速度表示第41页第41页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 加加加加 速速速速 度度度度 弧坐标中加速度表示弧坐标中加速度表示 加速度表示为自然轴系投影形式加速度表示为自然轴系投影形式切向加速度，沿切线方向切向加速度，沿切线方向切向加速度，沿切线方向切向加速度，沿切线方向法向加速度，沿半径指向曲率中心法向加速度，沿半径指向曲率中心法向加速度，沿半径指向曲率中心法向加速度，沿半径指向曲率中心第42页第42页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 加加加加 速速速速 度度度度ana a 第43页第43页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 加加加加 速速速速 度度度度 几点讨论几点讨论 切向加速度切向加速度 a 表示速度矢量大小改变率；表示速度矢量大小改变率；直线运动直线运动an=0第44页第44页 描述点运动弧坐标法描述点运动弧坐标法 加加加加 速速速速 度度度度 几点讨论几点讨论 ab=0,表明加速度表明加速度 a在副法线方向没有分量；在副法线方向没有分量；加速度矢量加速度矢量 a 位于密切面内。位于密切面内。匀速圆周运动匀速圆周运动a =0 切向加速度切向加速度 a 表示速度矢量大小改变率；表示速度矢量大小改变率；法向加速度法向加速度 an表示速度矢量方向改变率；表示速度矢量方向改变率；第45页第45页第第5章章 点运动点运动 oA AB BD DE E 已知：滑槽半径已知：滑槽半径R=OA=0.1m，=/8 sin2 t，单位为，单位为 S，rad求：求：1、B点运动方程点运动方程 2、t1=1/4s，t2=1s时时aB 解：解：轨迹已知，定轨迹已知，定O点为点为弧坐标原点弧坐标原点O O B点运动方程为：点运动方程为：S=R2 =/40 sin2 t(m)例题例题 2第46页第46页第第5章章 点运动点运动 oA AB BD DE E 求：求：1、B点运动方程点运动方程 2、t1=1/4 s，t2=1 s时时aB 解：解：O O S=R2 =/40 sin2 t(m)v=2/20cos2 t(m/s)a=-3/10 sin2 t(m/s2)t1=1/4 s时时(=45)an=v2/R=4/40cos22 t (m/s2)v=0,a=-3/10(m/s2)an=0,aB例题例题 2第47页第47页第第5章章 点运动点运动 oA AB BD DE E 求：求：2、t1=1/4 s，t2=1 s时时aB 解：解：O O v=2/20cos2 t(m/s)a=-3/10 sin2 t(m/s2)t1=1 s时时(=0)an=v2/R=4/40cos22 t (m/s2)v=2/20(m/s)an=4/40(m/s2)a=0,aB例题例题 2第48页第48页第第5章章 点运动点运动 例题例题 3已知：一点在已知：一点在xoy平面内以不变加速度平面内以不变加速度 a 运动，运动，a=2 m/s2,方向与方向与x轴平行，初瞬时点速度为轴平行，初瞬时点速度为v0=2 m/s,方向与方向与y轴夹角轴夹角=30 求：求：t=1 s时，该点轨迹曲率半径时，该点轨迹曲率半径思绪：思绪：a 积分求积分求 v，？与与 v和和 an相关相关 a与与 a 求求 an，a？第49页第49页第第5章章 点运动点运动 例题例题 3已知：一点在已知：一点在xoy平面内以不变加速度平面内以不变加速度 a 运动，运动，a=2 m/s2,方向与方向与x轴平行，初瞬时点速度为轴平行，初瞬时点速度为v0=2 m/s,方向与方向与y轴夹角轴夹角=30 求：求：t=1 s时，该点轨迹曲率半径时，该点轨迹曲率半径解：解：ax=2 m/s2ay=0v0 x=1 m/sv0y=1.732 m/s积分求积分求 vx，vy，v对对 v 微分求微分求 a 第50页第50页 结论与讨论结论与讨论第第5章章 点运动点运动 第51页第51页 结论与讨论结论与讨论 描述点运动三种办法比较描述点运动三种办法比较 变矢量法变矢量法结果简明，含有概括性，结果简明，含有概括性，普通用于推导。普通用于推导。直角坐标法直角坐标法实际问题中，一个广泛应用实际问题中，一个广泛应用 办法办法。弧坐标法弧坐标法应用于运动轨迹已知情形，使应用于运动轨迹已知情形，使 速度与加速度矢量速度与加速度矢量大小改变率大小改变率 和和方向改变率方向改变率区别开来，物理意区别开来，物理意 义愈加清楚。义愈加清楚。第52页第52页 结论与讨论结论与讨论运动量在运动量在直角坐标直角坐标中中 与在与在自然轴坐标自然轴坐标中关系中关系x=f1(t)y=f2(t)vxaxvyayvaa an 第53页第53页 结论与讨论结论与讨论 点运动学应用两类问题点运动学应用两类问题 第一类问题：（微分运算）第一类问题：（微分运算）已知运动规律，拟定速度与加速度；已知运动规律，拟定速度与加速度；第二类问题：（积分运算）第二类问题：（积分运算）已知加速度以及运动初始条件，拟定已知加速度以及运动初始条件，拟定 速度和运动规律速度和运动规律 第一类问题反运算。第一类问题反运算。第54页第54页 结论与讨论结论与讨论 速度、加速度标量表示与矢量表示速度、加速度标量表示与矢量表示 主要区别主要区别速度大小速度大小速度方向速度方向第55页第55页 结论与讨论结论与讨论 速度、加速度标量表示与矢量表示速度、加速度标量表示与矢量表示 主要区别主要区别速度大小改变率速度大小改变率速度方向改变率速度方向改变率第56页第56页 结论与讨论结论与讨论 点匀变点匀变 速、匀速运动公式：速、匀速运动公式：匀变匀变 速：速：a =常量常量v=v0+a tS=s0+v0t+(1/2)a t2匀匀 速：速：v=常量，常量，a=0 S=s0+vt第57页第57页 结论与讨论结论与讨论 点以不变加速度点以不变加速度a沿任意曲线运动。沿任意曲线运动。请判断点运动性质：请判断点运动性质：(A)点在做匀变速运动点在做匀变速运动(C)点运动性质不可判断点运动性质不可判断(D)点在做变速运动点在做变速运动(B)点在做匀速运动点在做匀速运动aaaa第58页第58页 结论与讨论结论与讨论 点沿着一螺旋线自点沿着一螺旋线自外向内运动。点所走外向内运动。点所走过弧长与时间一过弧长与时间一次方成正比。请判断次方成正比。请判断点运动性质：点运动性质：(A)越跑越快；越跑越快；(C)加速度越来越大；加速度越来越大；(D)加速度越来越小。加速度越来越小。(B)越跑越慢；越跑越慢；S=k t第59页第59页指出在下列情况下指出在下列情况下,点点M作何种运动作何种运动?,(匀变速直线运动匀变速直线运动)(匀速圆周运动匀速圆周运动)(匀速直线运动或静止匀速直线运动或静止)(直线运动直线运动)(匀速运动匀速运动)(圆周运动圆周运动)(匀速运动匀速运动)(直线运动直线运动)(匀速曲线运动匀速曲线运动)(匀变速曲线运动匀变速曲线运动)60第60页第60页 点作曲线运动点作曲线运动,判断下列情况下点运动判断下列情况下点运动判断下列运动是否可判断下列运动是否可 能出现能出现,若能出现判断是什么运动若能出现判断是什么运动?(加速运动加速运动)(不也许不也许)(匀速曲线运动匀速曲线运动)(不也许或改不也许或改作作 直线加速运动直线加速运动)(不也许或改作不也许或改作直线减速运动直线减速运动)(不也许不也许)(减速曲线运动减速曲线运动)M1 1点作匀速运动点作匀速运动M2点作加速运动点作加速运动M3点作减速运动点作减速运动61第61页第61页作业：作业：第五章思考题第五章思考题题题 5-3,5-6，5-7，5-9，5-10第62页第62页