2015年海南中考数学试题及答案.doc

海南省 2015 年初中毕业生学业水平考试
数 学 科 试 题
（考试时间 100 分钟，满分 120 分）

一、选择题（本大题满分 42 分，每小题 3 分）
在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的 答案的字母代号按．要．求．用 2B 铅笔涂黑．
1．- 2015 的倒数是

数学科试题 第 4 页（共 4 页）

A．－
1 B．

2015
1 C．- 2015 D．2015

2015

2．下列运算中，正确的是
A．a2＋a4= a6 B．a6÷a3=a2 C．(- a4)2= a6 D．a2·a4= a6
3．已知 x = 1，y = 2，则代数式 x - y 的值为
A．1 B．- 1 C．2 D．- 3

4．有一组数据：1、4、- 3、
3、4，这组数据的中位数为

A．- 3 B．1 C．3 D．4
5．图 1 是由 5 个完全相同的小正方体组成的几何体，则这个几何体的主视图是

正面
A B C D 图 1
6．据报道，2015 年全国普通高考报考人数约 9 420 000 人，数据 9 420 000 用科学记数法表 示为 9.42×10n，则 n 的值是
A．4 B．5 C．6 D．7

7．如图 2，下列条件中，不．能．证明△ABC≌△DCB 的是 A D

A．AB =DC，AC =DB
C．BO =CO，∠A =∠D
3 2
B．AB =DC，∠ABC =∠DCB
O
D．AB =DC，∠A =∠D
B C

8．方程
=

x x - 2
的解为 图 2

A．x = 2 B．x = 6 C．x = - 6 D．无解 9．某企业今年 1 月份产值为 x 万元，2 月份比 1 月份减少了 10%，3 月份比 2 月份增加了 15%
则 3 月份的产值是

A．(1- 10%)(1+15%)x 万元
C．(x- 10%)( x +15%)万元
B．(1- 10%+15%)x 万元
D．(1+10%- 15%)x 万元

10．点 A (- 1，1)是反比例函数 y = m + 1 的图象上一点，则 m 的值为
x
A．- 1 B．- 2 C．0 D．1
11．某校开展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的 3 名学生（2 男 1 女）中随机选 两名进行督导，则恰好选中两名男学生的概率是

A． 1
3
B． 4

9
C． 2

3
D． 2

9

12．甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程 S（米）与时间 t（分钟）之间的函数关系如 图 3 所示，则下列说法错．误．的是

A．甲、乙两人进行 1000 米赛跑
C．比赛到 2 分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等
B．甲先慢后快，乙先快后慢
D．甲先到达终点

13．如图 4，点 P 是□ABCD 边 AB 上的一点，射线 CP 交 DA 的延长线于点 E，则图中相 似的三角形有

A．0 对
S(米)
1000

700
600
500

0


2 2.5
AMB
图 3
B．1

甲 乙

3.25 4
对

E

t (分钟) B
C．2 对

A P
C
图 4
D．3 对

M
P
O
A
B
D

图 5

14．如图 5， 将⊙O 沿弦 AB 折叠，圆弧恰好经过圆心 O
∠ APB 的度数为
， 点 P 是优弧 ⌒ 上一点，则

A．45° B．30° C．75° D．60°

二、填空题（本大题满分 16 分，每小题 4 分）
15．分解因式：x2- 9 = ．
16．点（- 1，y1）、（2，y2）是直线 y = 2x+1 上的两点，则 y1 y2（填“＞”或“=”或“＜”）

17．如图 6，在平面直角坐标系中，将点 P (- 4，2)绕原点 O 顺时针旋转 90°，则其对应点

y
Q
P
O
x
Q 的坐标为 ．

A D

B C
图 6 图 7

18．如图 7，矩形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，则图中四个小矩形的周长之和为

三、解答题（本大题满分 62 分）

í x +
ì2x -1≤3

19 （满分 10 分）（1）计算：(- 1)3+ 9 - 12× 2-2
； （2）解不等式组： ï
3＞1 .

ï 2

20 （满分 8 分）小明想从“天猫”某网店购买计算器，经查询，某品牌 A 型号计算器的单 价比 B 型号计算器的单价多 10 元，5 台 A 型号的计算器与 7 台 B 型号的计算器的价钱相 同，问 A、B 两种型号计算器的单价分别是多少？

21 （满分 8 分）为了治理大气污染，我国中部某市抽取了该市 2014 年中 120 天的空气质量 指数，绘制了如下不完整的统计图表：

空 气质 量 指 数 统计 表
空气质量指数条形统计图

天数
48
42
36
30
24
18
12
6
0
24
18
15
9
6
级 别
指 数
天数
百分比
优
0－50
24
m
良
51－100
a
40%
轻度污染
101－150
18
15%
中度污染
151－200
15
12.5%
重度污染
201－300
9
7.5%
严重污染
大于 300
6
5%
合计
————
120
100%

优 良
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
轻度 中度 重度 污染 污染 污染
严重 级别
污染

（1）空气质量指数统计表中的 a = ，m = ；
（2）请把空气质量指数条形统计图补充完整；
（3）若绘制“空气质量指数扇形统计图”，级别为“优”所对应扇形的圆心角是 度
（4）估计该市 2014 年（365 天）中空气质量指数大于 100 的天数约有 天．

22 （满分 9 分）如图 8，某渔船在小岛 O 南偏东 75°方向的 B 处遇险，在小岛 O 南偏西 45° 方向 A 处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛 O 相距 8 海里，渔船在中国渔政船的正东方向上．
（1）求∠BAO 与∠ABO 的度数（直接写出答案）；
（2）若中国渔政船以每小时 28 海里的速度沿 AB 方向赶往 B 处救援，能否在 1 小时内

赶到？请说明理由 （参考数据： tan75°˜ 3.73，tan15°˜ 0.27， 2 ˜ 1.41，
6 ˜ 2.45

北

O
东

A 图 8 B

23 （满分 13 分）如图 9-1，菱形 ABCD 中，点 P 是 CD 的中点，∠BCD = 60°，射线 AP 交
BC 的延长线于点 E，射线 BP 交 DE 于点 K，点 O 是线段 BK 的中点．
（1）求证：△ADP≌△ECP；
（2）若 BP = n·PK，试求出 n 的值；
（3）作 BM⊥AE 于点 M，作 KN⊥AE 于点 N，连结 MO、NO，如图 9-2 所示． 请证明△MON 是等腰三角形，并直接写出∠MON 的度数．

A D A D
K M K
P P
O O N

B C
图 9-1
E B C E
图 9-2

24 （满分 14 分）如图 10-1，二次函数 y = ax2+bx+3 的图象与 x 轴相交于点 A (- 3，0)、B (1，0) 与 y 轴相交于点 C，点 G 是二次函数图象的顶点，直线 GC 交 x 轴于点 H (3，0)，AD 平 行 GC 交 y 轴于点 D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求证：四边形 ACHD 是正方形；
（3）如图 10-2，点 M (t，p)是该二次函数图象上的动点，并且点 M 在第二象限内，过 点 M 的直线 y = kx 交二次函数的图象于另一点 N．
①若四边形 ADCM 的面积为 S，请求出 S 关于 t 的函数表达式，并写出 t 的取值范围

②若△CMN 的面积等于 21 ，请求出此时①中 S 的值．
4

G y
C
A
B
H
O x
D

G
y
M
C
A
B
H
O x
D
N

图 10-1
图 10-2

2015年海南省中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共42分）
1．（2015•海南）﹣2015的倒数是（　　）
　 A． ﹣ B． C． ﹣2015 D． 2015

考点： 倒数．
分析： 根据倒数的意义，乘积是1的两个数叫做互为倒数，据此解答．
解答： 解：∵﹣2015×（﹣）=1，
∴﹣2015的倒数是﹣，
故选：A．
点评： 本题主要考查倒数的意义，解决本题的关键是熟记乘积是1的两个数叫做互为倒数．

2．（2015•海南）下列运算中，正确的是（　　）
　 A． a2+a4=a6 B． a6÷a3=a2 C． （﹣a4）2=a6 D． a2•a4=

考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．
解答： 解：A、a2•a4=a6，故错误；
B、a6÷a3=a3，故错误；
C、（﹣a4）2=a8，故错误；
D、正确；
故选：D．
点评： 本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．

3．（2015•海南）已知x=1，y=2，则代数式x﹣y的值为（　　）
　 A． 1 B． ﹣1 C． 2 D． ﹣3

考点： 代数式求值．
分析： 根据代数式的求值方法，把x=1，y=2代入x﹣y，求出代数式x﹣y的值为多少即可．
解答： 解：当x=1，y=2时，
x﹣y=1﹣2=﹣1，
即代数式x﹣y的值为﹣1．
故选：B．
点评： 此题主要考查了代数式的求法，采用代入法即可，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．

4．（2015•海南）有一组数据：1，4，﹣3，3，4，这组数据的中位数为（　　）
　 A． ﹣3 B． 1 C． 3 D． 4

考点： 中位数．
分析： 根据中位数的定义，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数求解即可．
解答： 解：将这组数据从小到大排列为：﹣3，1，3，4，4，中间一个数为3，则中位数为3．
故选C．
点评： 本题为统计题，考查中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．

5．（2015•海南）如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体．则这个几何体的主视图是（　　）

　 A． B． C． D．

考点： 简单组合体的三视图．
分析： 根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
解答： 解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层右边一个小正方形，
故选：B．
点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．

6．（2015•海南）据报道，2015年全国普通高考报考人数约为9 420 000人，数据9 420 000用科学记数法表示为9.42×10n，则n的值是（　　）www-2-1-cnjy-com
　 A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值，由于9420000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．
解答： 解：∵9420000=9.42×106，
∴n=6．
故选C．
点评： 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

7．（2015•海南）如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）

　 A． AB=DC，AC=DB B． AB=DC，∠ABC=∠DCB
　 C． BO=CO，∠A=∠D D． AB=DC，∠A=∠D

考点： 全等三角形的判定．
分析： 本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．
解答： 解：根据题意知，BC边为公共边．
A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；
D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．
故选：D．
点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

8．（2015•海南）方程=的解为（　　）
　 A． x=2 B． x=6 C． x=﹣6 D． 无解

考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 本题考查解分式方程的能力，观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．
解答： 解：方程两边同乘以x（x﹣2），得3（x﹣2）=2x，解得x=6，
将x=6代入x（x﹣2）=24≠0，所以原方程的解为：x=6，故选B．
点评： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．

9．（2015•海南）某企业今年1月份产值为x万元，2月份比1月份减少了10%，3月份比2月份增加了15%，则3月份的产值是21*cnjy*com
（　　）
　 A． （1﹣10%）（1+15%）x万元 B． （1﹣10%+15%）x万元
　 C． （x﹣10%）（x+15%）万元 D． （1+10%﹣15%）x万元

考点： 列代数式．
分析： 根据3月份、1月份与2月份的产值的百分比的关系列式计算即可得解．
解答： 解：3月份的产值为：（1﹣10%）（1+15%）x万元．
故选A
点评： 本题考查了列代数式，理解各月之间的百分比的关系是解题的关键．

10．（2015•海南）点A（﹣1，1）是反比例函数y=的图象上一点，则m的值为（　　）
　 A． ﹣1 B． ﹣2 C． 0 D． 1

考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 把点A（﹣1，1）代入函数解析式，即可求得m的值．
解答： 解：把点A（﹣1，1）代入函数解析式得：1=，
解得：m+1=﹣1，
解得m=﹣2．
故选B．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．

11．（2015•海南）某校幵展“文明小卫士”活动，从学生会“督查部”的3名学生（2男1女）中随机选两名进行督导，恰好选中两名男学生的概率是（　　）21教育网
　 A． B． C． D．

考点： 列表法与树状图法．
分析： 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中两名男学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答： 解：画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，恰好选中两名男学生的有2种情况，
∴恰好选中两名男学生的概率是：=．
故选A．
点评： 此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

12．（2015•海南）甲、乙两人在操场上赛跑，他们赛跑的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）

　 A． 甲、乙两人进行1000米赛跑
　 B． 甲先慢后快，乙先快后慢
　 C． 比赛到2分钟时，甲、乙两人跑过的路程相等
　 D． 甲先到达终点

考点： 函数的图象．
分析： 根据给出的函数图象对每个选项进行分析即可．
解答： 解：从图象可以看出，
甲、乙两人进行1000米赛跑，A说法正确；
甲先慢后快，乙先快后慢，B说法正确；
比赛到2分钟时，甲跑了500米，乙跑了600米，甲、乙两人跑过的路程不相等，C说法不正确；
甲先到达终点，D说法正确，
故选：C．
点评： 本题考查的是函数的图象，从函数图象获取正确的信息是解题的关键．

13．（2015•海南）如图，点P是▱ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（　　）

　 A． 0对 B． 1对 C． 2对 D． 3对

考点： 相似三角形的判定；平行四边形的性质．
分析： 利用相似三角形的判定方法以及平行四边形的性质得出即可．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC，
∴△EAP∽△EDC，△EAP∽△CPB，
∴△EDC∽△CBP，
故有3对相似三角形．
故选：D．
点评： 此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．【出处：21教育名师】

14．（2015•海南）如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则∠APB的度数为（　　）

　 A． 45° B． 30° C． 75° D． 60°

考点： 圆周角定理；含30度角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）．
专题： 计算题．
分析： 作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，根据折叠的性质得OD=CD，则OD=OA，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OAD=30°，接着根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，
然后根据圆周角定理计算∠APB的度数．
解答： 解：作半径OC⊥AB于D，连结OA、OB，如图，
∵将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，
∴OD=CD，
∴OD=OC=OA，
∴∠OAD=30°，
而OA=OB，
∴∠CBA=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠APB=∠AOB=60°．
故选D．

点评： 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和折叠的性质．

二、填空题（每小题4分，共16分）
15．（4分）（2015•海南）分解因式：x2﹣9=　（x+3）（x﹣3）　．

考点： 因式分解-运用公式法．
分析： 本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
解答： 解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
点评： 主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．【版权所有：21教育】

16．（4分）（2015•海南）点（﹣1，y1）、（2，y2〕是直线y=2x+1上的两点，则y1　＜　y2（填“＞”或“=”或“＜”）

考点： 一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 根据k=2＞0，y将随x的增大而增大，得出y1与y2的大小关系．
解答： 解：∵k=2＞0，y将随x的增大而增大，2＞﹣1，
∴y1＜y2．
故y1与y2的大小关系是：y1＜y2．
故答案为：＜
点评： 本题考查一次函数的图象性质，关键是根据当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．

17．（4分）（2015•海南）如图，在平面直角坐标系中，将点P（﹣4，2）绕原点顺时针旋转90°，则其对应点Q的坐标为　（2，4）　．

考点： 坐标与图形变化-旋转．
分析： 首先求出∠MPO=∠QON，利用AAS证明△PMO≌△ONQ，即可得到PM=ON，OM=QN，进而求出Q点坐标．
解答： 解：作图如右，
∵∠MPO+∠POM=90°，∠QON+∠POM=90°，
∴∠MPO=∠QON，
在△PMO和△ONQ中，
∵，
∴△PMO≌△ONQ，
∴PM=ON，OM=QN，
∵P点坐标为（4，2），
∴Q点坐标为（2，4），
故答案为（2，4）．

点评： 此题主要考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握旋转后对应线段相等．

18．（4分）（2015•海南）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则图中五个小矩形的周长之和为　14　．

考点： 矩形的性质．
分析： 运用平移个观点，五个小矩形的上边之和等于AD，下边之和等于BC，同理，它们的左边之和等于AB，右边之和等于DC，可知五个小矩形的周长之和为矩形ABCD的周长．
解答： 解：将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至BC，所有左边平移至AB，所有右边平移至CD，
则五个小矩形的周长之和=2（AB+BC）=2×（3+4）=14．
故答案为：14．
点评： 本题考查了平移的性质，矩形性质，勾股定理的运用．关键是运用平移的观点，将小矩形的四边平移，与大矩形的周长进行比较．

三、解答题（本题共6小题，共62分）
19．（10分）（2015•海南）（1）计算：（﹣1）3﹣﹣12×2﹣2；
（2）解不等式组：．

考点： 实数的运算；负整数指数幂；解一元一次不等式组．
专题： 计算题．
分析： （1）原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
解答： 解：（1）原式=﹣1﹣3﹣12×=﹣1﹣3﹣3=﹣7；
（2），
由①得：x≤2，
由②得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（8分）（2015•海南）小明想从“天猫”某网店购买计算器，经査询，某品牌A号计算器的单价比B型号计算器的单价多10元，5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同，问A、B两种型号计算器的单价分别是多少？

考点： 一元一次方程的应用．
分析： 设A号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是（x﹣10）元，依据“5台A型号的计算器与7台B型号的计算器的价钱相同”列出方程并解答．
解答： 解：设A号计算器的单价为x元，则B型号计算器的单价是（x﹣10）元，
依题意得：5x=7（x﹣10），
解得x=35．
所以35﹣10=25（元）．
答：A号计算器的单价为35元，则B型号计算器的单价是25元．
点评： 本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

21．（8分）（2015•海南）为了治理大气污染，我国中部某市抽取了该市2014年中120天的空气质量指数，绘制了如下不完整的统计图表：空气质量指数统计表
级别 指数 天数 百分比
优 0﹣50 24 m
良 51﹣100 a 40%
轻度污染 101﹣150 18 15%
中度污染 151﹣200 15 12.5%
重度污染 201﹣300 9 7.5%
严重污染 大于300 6 5%
合计 120 100%
请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
（1）空气质量指数统计表中的a=　48　，m=　20%　；
（2）请把空气质量指数条形统计图补充完整：
（3）若绘制“空气质量指数扇形统计图”，级别为“优”所对应扇形的圆心角是　72　度；
（4）估计该市2014年（365天）中空气质量指数大于100的天数约有　146　天．

考点： 条形统计图；用样本估计总体；统计表；扇形统计图．
分析： （1）用24÷120，即可得到m；120×40%即可得到a；
（2）根据a的值，即可补全条形统计图；
（3）用级别为“优”的百分比×360°，即可得到所对应的圆心角的度数；
（4）根据样本估计总体，即可解答．
解答： 解：（1）a=120×40%=48，m=24÷120=20%．
故答案为：48，20%；
（2）如图所示：

（3）360°×20%=72°．
故答案为：72；
（4）365×=146（天）．
故答案为：146．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21·cn·jy·com

22．（9分）（2015•海南）如图，某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险，在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上．
（1）求∠BAO与∠ABO的度数（直接写出答案）；
（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时内赶到？请说明理由．（参考數据：tan75°≈3.73，tan15°≈0.27，≈1.41，≈2.45）

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．
分析： （1）作OC⊥AB于C，根据方向角的定义得到∠AOC=45°，∠BOC=75°，由直角三角形两锐角互余得出∠BAO=90°﹣∠AOC=45°，∠ABO=90°﹣∠BOC=15°；
（2）先解Rt△OAC，得出AC=OC=OA≈5.64海里，解Rt△OBC，求出BC=OC•tan∠BOC≈21.0372海里，那么AB=AC+BC≈26.6772海里，再根据时间=路程÷速度求出中国渔政船赶往B处救援所需的时间，与1小时比较即可求解．
解答： 解：（1）如图，作OC⊥AB于C，由题意得，∠AOC=45°，∠BOC=75°，
∵∠ACO=∠BCO=90°，
∴∠BAO=90°﹣∠AOC=90°﹣45°=45°，
∠ABO=90°﹣∠BOC=90°﹣75°=15°；

（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到．理由如下：
∵在Rt△OAC中，∠ACO=90°，∠AOC=45°，OA=8海里，
∴AC=OC=OA≈4×1.41=5.64海里．
∵在Rt△OBC中，∠BCO=90°，∠BOC=75°，OC=4海里，
∴BC=OC•tan∠BOC≈5.64×3.73=21.0372海里，
∴AB=AC+BC≈5.64+21.0372=26.6772海里，
∵中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，
∴中国渔政船所需时间：26.6772÷28≈0.953小时＜1小时，
故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，直角三角形的性质，锐角三角函数定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

23．（13分）（2015•海南）如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．
（1）求证：△ADP≌△ECP；
（2）若BP=n•PK，试求出n的值；
（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．

考点： 四边形综合题．
分析： （1）根据菱形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理证明结论；
（2）作PI∥CE交DE于I，根据点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质证明结论；
（3）作OG⊥AE于G，根据平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，证明△MON是等腰三角形，根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠MON的度数．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
在△ADP和△ECP中，
，
∴△ADP≌△ECP；
（2）如图1，作PI∥CE交DE于I，
则=，又点P是CD的中点，
∴=，
∵△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
∴==，
∴BP=3PK，
∴n=3；
（3）如图2，作OG⊥AE于G，
∵BM丄AE于，KN丄AE，
∴BM∥OG∥KN，
∵点O是线段BK的中点，
∴MG=NG，又OG⊥MN，
∴OM=ON，
即△MON是等腰三角形，
由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=，
则AP=，
根据三角形面积公式，BM=，
由（2）得，PB=3PO，
∴OG=BM=，
MG=MP=，
tan∠MOG==，
∴∠MOG=60°，
∴∠MON的度数为120°．

点评： 本题考查的是菱形的性质和相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，灵活运用判定定理和性质定理是解题的关键，注意锐角三角函数在解题中的运用．www.21-cn-

24．（14分）（2015•海南）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴相交于点C，点G是二次函数图象的顶点，直线GC交x轴于点H（3，0），AD平行GC交y轴于点D．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）求证：四边形ACHD是正方形；
（3）如图2，点M（t，p）是该二次函数图象上的动点，并且点M在第二象限内，过点M的直线y=kx交二次函数的图象于另一点N．
①若四边形ADCM的面积为S，请求出S关于t的函数表达式，并写出t的取值范围；
②若△CMN的面积等于，请求出此时①中S的值．

考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），应用待定系数法，求出a、b的值，即可求出二次函数的表达式．
（2）首先分别求出点C、G、H、D的坐标；然后判断出AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，判断出四边形ACHD是正方形即可．
（3）①作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，根据四边形ADCM的面积为S，可得S=S四边形AOCM+S△AOD，再分别求出S四边形AOCM、S△AOD即可．
②首先设点N的坐标是（t1，p1），则NI=|t1|，所以S△CMN=S△COM+S△CON=（|t|+|t1|），再根据t＜0，t1＞0，可得S△CMN=（|t|+|t1|）==，据此求出t1﹣t=；然后求出k1、k2的值是多少，进而求出t1、t2的值是多少，再把它们代入S关于t的函数表达式，求出S的值是多少即可．
解答： 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴相交于点A（﹣3，0）、B（1，0），
∴
解得
∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3．

（2）如图1，
，
∵二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴点G的坐标是（﹣1，4），
∵点C的坐标为（0，3），
∴设CG所在的直线的解析式是y=mx+3，
则﹣m+3=4，
∴m=﹣1，
∴CG所在的直线的解析式是y=﹣x+3，
∴点H的坐标是（3，0），
设点D的坐标是（0，p），
则，
∴p=﹣3，
∵AO=CO=DO=HO=3，AH⊥CD，
∴四边形ACHD是正方形．

（3）①如图2，作ME⊥x轴于点E，作MF⊥y轴于点F，
，
∵四边形ADCM的面积为S，
∴S=S四边形AOCM+S△AOD，
∵AO=OD=3，
∴S△AOD=3×3÷2=4.5，
∵点M（t，p）是y=kx与y=﹣x2﹣2x+3在第二象限内的交点，
∴点M的坐标是（t，﹣t2﹣2t+3），
∵ME=﹣t2﹣2t+3，MF=﹣t，
∴S四边形AOCM=×3×（﹣t2﹣2t+3）=﹣t2﹣t+，
∴S=﹣t2﹣t++4.5=﹣t2﹣t+9，﹣3＜t＜0．

②如图3，作NI⊥x轴于点I，
，
设点N的坐标是（t1，p1），
则NI=|t1|，
∴S△CMN=S△COM+S△CON=（|t|+|t1|），
∵t＜0，t1＞0，
∴S△CMN=（|t|+|t1|）==，
，
联立
可得x2﹣（k+2）x﹣3=0，
∵t1、t是方程的两个根，
∴
∴=﹣4t1t=（k+2）2﹣4×（﹣3）==，
解得，，
a、k=﹣时，
由x2+（2﹣）x﹣3=0，
解得x1=﹣2，或（舍去）．
b、k=﹣时，
由x2+（2﹣）x﹣3=0，
解得x3=﹣，或x4=2（舍去），
∴t=﹣2，或t=﹣，
t=﹣2时，
S=﹣t2﹣t+9
=﹣×4﹣×（﹣2）+9
=12
t=﹣时，
S=﹣×﹣×+9
=，
∴S的值是12或．
点评： （1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合方法的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．21世纪教育网版权所有
（2）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，以及方程的根与系数的关系，要熟练掌握．
（3）此题还考查了三角形的面积的求法，以及正方形的判定和性质的应用，要熟练掌握．

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