2009年高考重庆理科数学试题及答案(精校版).doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）
本试卷满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件互斥，那么
如果事件相互独立，那么
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率

以为半径的球体积：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离
2．已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）
A． B． C． D．
3．的展开式中的系数是（ ）
A．16 B．70 C．560 D．1120
4．已知，则向量与向量的夹角是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设的三个内角，向量，，若，则=（ ）
A． B． C． D．
8．已知，其中，则的值为（ ）
A．6 B． C． D．
9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．
11．若，，则 ．
12．若是奇函数，则 ．
13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．
14．设，，，，则数列的通项公式= ．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
设函数．
（Ⅰ）求的最小正周期．
（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．

17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；
（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）
设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：
（Ⅰ）点到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的大小

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．
（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；
（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．
（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；
（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；

2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题（理工农医类）答案
一、 选择题：每小题5分，满分50分 .
(1) B (2) A (3) D (4) C (5) A (6) C
(7) C (8) D (9) B (10) B.
二．填空题：每小题5分，满分25分 .
(11) (0,3) (12) (13) 36 (14) (15) (1, )
三．解答题：满分75分 .
(16)（本小题13分）
解：（Ⅰ）=
=
=
故的最小正周期为T = =8
(Ⅱ）在的图象上任取一点，它关于的对称点 .
　　由题设条件，点在的图象上，从而

　　　　　　　　　 =
=
当时，，因此在区间上的最大值为

　 .
(17)（本小题13分）
解：设表示甲种大树成活k株，k＝0，1，2
　　表示乙种大树成活l株，l＝0，1，2
　　则，独立. 由独立重复试验中事件发生的概率公式有
, .
据此算得
　　 , , .
, , .
(Ⅰ) 所求概率为
　　　　　.
(Ⅱ) 的所有可能值为0，1，2，3，4，且
,
,

= ,
.
.
综上知有分布列

0
1
2
3
4
P
1/36
1/6
13/36
1/3
1/9
从而，的期望为

（株）
18、（本小题13分）
解（Ⅰ）因
又在x=0处取得极限值，故从而
由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知
该切线斜率为2，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

令
（1）当

（2）当
K=1时，g（x）在R上为增函数
（3）方程有两个不相等实根

当函数
当时，故上为减函数
时，故上为增函数
（19）（本小题12分）
解法一：
（Ⅰ）因为AD//BC,且所以从而A点到平面的距离等于D点到平面的距离。
因为平面故,从而，由AD//BC，得,又由知，从而为点A到平面的距离，因此在中

(Ⅱ)如答（19）图1，过E电作交于点G，又过G点作,交AB于H，故为二面角的平面角，记为，过E点作EF//BC,交于点F,连结GF,因平面,故.
由于E为BS边中点，故,在中，
,因，又
故由三垂线定理的逆定理得,从而又可得
因此而在中，

在中，可得，故所求二面角的大小为
解法二：
（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面
即点A在xoz平面上，因此
又

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面
yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.
(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.
ΔBCS为直角三角形 ,
知
设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .
在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD .
由故
①　
又点G在直线CD上，即，由=（），则有　②
联立①、②，解得G＝　,
故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .
因为=，,所以

故所求的二面角的大小为 .

(20)（本小题12分）
　　解：（Ⅰ）由题设条件知焦点在y轴上，故设椭圆方程为（a ＞b＞ 0 ）.
设，由准线方程得.由得，解得 a = 2 ,c = ，从而 b = 1，椭圆方程为 .
又易知C，D两点是椭圆的焦点，所以,
从而，当且仅当，即点M的坐标为　时上式取等号，的最大值为4　.
（II）如图（20）图，设
.因为，故

①
因为

所以 . ②
记P点的坐标为，因为P是BQ的中点
所以
由因为 ，结合①，②得

故动点P的估计方程为

（21）（本小题12分）
解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故
解得或（舍去）。因此
又 。解得
从而当时，

当时，由是公比为d的等比数列得

因此
（II）由题意得

有①得 ④
由①，②，③得，
故. ⑤
又，故有
.⑥
下面反证法证明：
若不然，设
若取即，则由⑥得，而由③得
得由②得而
④及⑥可推得（）与题设矛盾
同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数
由均值不等式得

由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而
又，由④和⑥得

因此由⑤得